求圆的方程
求圆的方程
求圆的方程
圆是一种几何图形，它是由一组点组成的，这些点都离圆心距离相等。
圆的方程是一种表示圆的数学表达式，它可以用来描述圆的特征，以及圆的位置和大小。
圆的方程可以用一般式来表示，即：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中a和b分别表示圆心的横纵坐标，r表示圆的半径。
圆的方程可以用不同的方式来表示，比如可以用标准形式来表示，即：x²+y²+2gx+2fy+c=0，其中g和f分别表示圆心的横纵坐标，c表示圆的半径。
另外，圆的方程还可以用参数形式来表示，即：(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=r，其中a和b分别表示圆心的横纵坐标，r表示圆的半径，θ表示圆心到圆上任意一点的角度。
圆的方程可以用来解决很多几何问题，比如求圆的面积、求圆的周长、求圆的切线等。
圆的方程也可以用来求解更复杂的几何问题，比如求圆的外接矩形、求圆的内切圆等。
总之，圆的方程是一种表示圆的数学表达式，它可以用来描述圆的特征，以及圆的位置和大小，也可以用来解决很多几何问题。
因此，圆的方程是几何学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地理解圆的特性，以及圆的相关问题。
圆的方程的求解和对称问题
圆的方程的求解和对称问题1. 圆的方程（1） 圆的定义：平面上与一个定点的距离等于定长的点的集合.确定一个圆：圆心和半径（2）圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r 2,方程表示圆心为 ( a, b ),半径为r 的圆. 特别地，x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心，半径为r 的圆（3）圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(1) 当D2+E2-4F>0时,表示圆心为( -D/2 , -E/2 ),半径的圆.(2)当D2+E2-4F=0时,表示一个点( -D/2 , -E/2 ); (3)当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形.2. 与圆有关的对称 （1） 圆关于点对称：只需用中点坐标公式求出所求圆圆心即可.（2） 圆关于直线对称：只需求出所求圆圆心即可.① 已知圆圆心与所求圆圆心两点构成的直线的斜率与已知直线斜率之积为-1.② 已知圆圆心与所求圆圆心两点中点在已知直线上.圆的方程的求解：方法：待定系数法Eg1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程.20)1(22=++y xEg 2:过点A （4，1）的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2，1）,则圆C 的方程为 （x-3）2+y 2=2对称问题：Eg1：已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为( C ) A. (x+1)2+y2=1 B. x2+y2=1C. x2+(y+1)2=1D. x2+(y-1)2=1Eg2:圆(X+2)2+Y2=5 关于原点( O, O )对称的圆的方程为( A )A. (x-2)2+y2=5 +(y-2)2=5C. (x+2)2+(y+2)2=5 +(y+2)2=5。
圆的方程
六、圆与方程一．求圆的方程：[例1] 求与x 轴切于点(5,0)，并在y 轴上截取弦长为10的圆的方程． [分析] 由于所求的圆与x 轴切于点(5,0)，所以圆心必在直线x ＝5上，可设所求圆的圆心坐标为(5，b )，显然所求圆半径为r ＝|b |.[解析] 解法1：设所求圆的方程(x －5)2＋(y －b )2＝b 2，它与y 轴交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B ) 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)2＋(y －b )2＝b2x ＝0得y 2－2by ＋25＝0由韦达定理得y A ＋y B ＝2b ，y A ·y B ＝25∵|y A －y B |＝10∴(y A －y B )2＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝4b 2－100＝100∴b ＝±52故所求圆方程(x －5)2＋(y ±52)2＝50解法2：如图，过圆心C 作CM ⊥AB ，垂足M ，由平面几何知识得|AM |＝|BM |＝5又已知|MC |＝5，|AC |＝r ，故在Rt △AMC 中，r 2＝52＋52，即|r |＝52，∴圆心C (5，±52)，r ＝52，∴方程为(x －5)2＋(y ±52)2＝50.[例2] 求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －6＝0x 2＋y 2－4y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x x 2＋y 2－4y －6＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝3∴两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)．线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－(x －1)x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，∴所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.解法2：同解法1求得A (－1，－1)、B (3,3)．设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －4＝0(－1－a )2＋(－1－b )2＝r2(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－1r 2＝16∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y＋1)2＝16.解法3：设经过已知两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)．则其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ，∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6－13(x 2＋y 2－4y －6)＝0，即x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.解法4：所求圆经过两圆的交点A ，B .故圆心必在线段AB 的中垂线(即连心线)上，两圆圆心C 1(2,0)，C 2(0,2)，连心线方程x 2＋y2＝1.即x ＋y ＝2.又圆心在直线x －y －4＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －y －4＝0得圆心C (3，－1)．由x 2＋y 2－4x －6＝0与x 2＋y 2－4y －6＝0相减得直线AB 方程x －y ＝0，圆x 2＋y 2－4x －6＝0，圆心C 1(2,0)，半径r ＝10，C 1到AB 距离d ＝2，∴半弦长12|AB |＝22，圆心(3，－1)到直线AB 距离d ′＝|3＋1|2＝22，∴半径R ＝4，∴圆方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.二．直线与圆的位置关系：[例3] 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线P A 、PB ，A 、B 为切点．(1)求P A 、PB 所在直线的方程； (2)求切线长|P A |； (3)求AB 的方程．[解析] (1)设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，又C (1,2)，半径r ＝2，由点到直线的距离公式得：2＝|k －2－2k －1|k 2＋1解之得：k ＝7或k ＝－1.故所求切线P A 、PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连结AC 、PC ，则AC ⊥AP ，在Rt △APC 中，|AC |＝ 2.|PC |＝(2－1)2＋(－1－2)2＝10∴|P A |＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2(3)解法1：A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则(x 1－1)2＋(y 1－2)2＝2，(x 2－1)2＋(y 2－2)2＝2.∵CA ⊥AP ，∴k CA ·k AP ＝－1，即y 1－2x 1－1·y 1＋1x 1－2＝－1变形得(x 1－1)2＋(y 1－2)2＋3y 1－x 1－5＝0∵(x 1－1)2＋(y 1－2)2＝2∴上式可化简为x 1－3y 1＋3＝0同理可得：x 2－3y 2＋3＝0∵A 、B 两点的坐标都满足方程x －3y ＋3＝0，∴直线AB的方程是x －3y ＋3＝0.变形得(x 1－1)2＋(y 1－2)2＋3y 1－x 1－5＝0∵(x 1－1)2＋(y 1－2)2＝2∴上式可化简为x 1－3y 1＋3＝0同理可得：x 2－3y 2＋3＝0∵A 、B 两点的坐标都满足方程x －3y ＋3＝0，∴直线AB 的方程是x －3y ＋3＝0. 解法2：∵∠CAP ＝∠CBP ＝90°∴A 、B 两点在以CP 为直径的圆上．CP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，又12|CP |＝102∴以CP 为直径的圆的方程为：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫1022即x 2＋y 2－3x －y ＝0①又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一般方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0② ②－①得：x －3y ＋3＝0为直线AB 的方程．解法3：以P 为圆心P A 为半径的圆方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，与⊙C 的方程作差得公共弦AB 所在直线方程为x －3y ＋3＝0. 三．数形结合法：[例4] 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝ 2B ．－1＜b ≤1，或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上结论均不对[分析] 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝kx ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找到问题的解决办法．[解析] 将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)，当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2，观察右图，可得当b ＝－2或－1＜b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．∴应选B. 四．求轨迹方程：（1）代入法；（2）几何法；（3）参数法；（4）交轨法等。
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
圆的标准方程的例题
圆的标准方程的例题圆是我们生活中常见的几何图形之一，它在数学中有着重要的地位。
圆的标准方程是我们学习圆的基础，通过掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解圆的性质和特点。
下面，我们通过几个例题来深入学习圆的标准方程。
例题一，求圆心在坐标原点，半径为5的圆的标准方程。
解，圆的标准方程为，(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
因为圆心在坐标原点，所以a=0，b=0；半径为5，所以r=5。
带入公式得，x² + y² = 25。
所以，圆的标准方程为x² + y² = 25。
例题二，已知圆的圆心坐标为(-3, 4)，且半径为7，求圆的标准方程。
解，根据圆的标准方程公式，圆的标准方程为，(x-a)² + (y-b)² = r²。
将圆心坐标(-3, 4)代入，得，(x+3)² + (y-4)² = 49。
所以，圆的标准方程为(x+3)² + (y-4)² = 49。
例题三，已知圆的标准方程为x² + y² 6x + 8y 12 = 0，求圆的圆心坐标和半径。
解，将圆的标准方程与标准方程公式进行比较，得到圆心坐标为(a, b) = (3, -4)，半径r² = a² + b² c = 3² + (-4)² (-12) = 9 + 16 + 12 = 37，所以半径r = √37。
综上所述，圆的标准方程为x² + y² = 25；(x+3)² + (y-4)² = 49；圆心坐标为(3, -4)，半径为√37。
通过以上例题的学习，我们对圆的标准方程有了更深入的理解，希望大家能够灵活运用这些知识，解决实际问题，提高数学水平。
过点求圆的方程
过点求圆的方程求解几何问题有时会需要求出某一点通过或过某一圆，这一问题也可以称作“过点求圆”。
然而，这类问题要解决需要用到一系列的方程和等式，其解题步骤也比较复杂，所以要了解如何求解这类问题，我们就可以通过下面的公式来完成。
过点求圆的方程式可以分为三个部分：一是确定圆心的方程，二是通过给定的点求出圆的半径，最后通过圆的方程求出圆的圆心和半径来求解这个问题。
第一，确定圆心。
圆心的确定需要两个方程式来完成，即：（1）求圆心x、y坐标：∑（x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，a、b分别是圆心的x坐标和y坐标，r为圆的半径；（2）求圆心x、y坐标：x=a+rcosθy=b+rsinθ其中，θ为给定点的极坐标角。
第二，求出圆的半径。
圆的半径只要求一个方程就可以，即：（3）求圆的半径：∑（x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，a、b分别是圆心的x坐标和y坐标，r为圆的半径。
第三，求出圆的方程。
圆的方程需要求出圆心和半径，即：（4）求出圆的方程：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，a、b分别是圆心的x坐标和y坐标，r为圆的半径。
以上就是求解“过点求圆”问题所需要的所有方程。
有了这些方程，我们就可以更加方便、快捷地解决这类几何问题。
从数学的角度来看，通过是过点求圆的方程可以有效解决某一点通过或过某一圆的问题，这是一个基本的几何问题。
但是，在实际应用中，我们还可以将这类问题应用到更广泛的方面，比如机器人运动学拓扑规划，坐标测距等等。
从而实现实现更加有效的解决方案。
总之，“过点求圆”问题是一类常见的几何问题，要解决这类问题，我们需要用到确定圆心的方程，求出圆的半径的方程和圆的方程，只要掌握了这些方程，就可以有效地解决这类问题。
同时，此类问题的解决方案也可以应用到机器人运动学拓扑规划、坐标测距等方面，为实现更有效的解决方案提供了基础。
以上就是关于“过点求圆”的方程的介绍，从这些方程我们可以看出，解决这类问题有助于我们熟练掌握和运用几何知识，也有助于我们在实际应用中更有效地解决实际问题。
圆的方程
圆的方程学科：数学教学内容：圆的方程【基础知识精讲】1.圆的方程：三个独立条件确定一个圆，按照已知条件可用待定系数法求圆的方程时，如果已知圆心或半径，或圆心到某直线的距离，通常用圆的标准方程，如果已知圆通过某些点，通常可用一样式.学习圆的方程，要正确把握几何性质.和对应条件：(1)过原点的圆x2+y2+Dx+Fy=0或(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(2)圆心在x轴上的圆x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)或(x-a)2+y2=r2(3)圆心在y轴上的圆x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0)或x2+(y-b)2=r2(4)圆心在x轴上，且与y轴相切的圆x2+y2+px=0，或(x-a)2+y2=a2(5)圆心在y轴上，且与x轴相切的圆x2+y2+Ey=0或x2+(y-b)2=b22.直线和圆的位置关系直线与圆心位置关系的判定方法有两种：(1)判不式法(代数法)：将直线和圆的方程联立得到一个关于x、y的二元二次方程组，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程，则△＞0⇔直线和圆相交(有两个公共点)△=0⇔直线和圆相切(有一个公共点)△＜0⇔直线和圆相离(无公共点)若涉及到弦长等咨询题，则可结合韦达定理进一步解决.(2)几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r，则d＜r⇔直线与圆相交(有两个公共点)d=r⇔直线与圆相切(有一个公共点)d＞r⇔直线与圆相离(无公共点)若涉及到弦长等咨询题，则可抓住圆心到直线的距离d、圆的半径r、弦长的一半l三者组成的直角三角形解决.3.圆与圆的位置关系，设两个圆的半径分不为R、r，圆心距为d,则(1)两个圆外离⇔d＞R+r(2)两个圆外切⇔d=R+r(3)两个圆相交⇔｜R-r｜＜d＜R+r(4)两个圆内切⇔d=｜R-r｜(5)两个圆内含⇔0≤d＜｜R-r｜4.圆系方程：(1)过直线l:Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的公共点的圆的方程能够写作(Ax+By+C)+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0；(2)过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F2=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆(除C2外)的方程能够写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D 2x+E2y+F2)=0.专门地，令λ=-1即得过两个圆的公共点的直线的方程：(D1-D2)x+(E 1-E2)y+(F1-F2)=0.5.圆的参数方程：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为6.应用代入法、几何法、参数法等方法求与圆有关的轨迹咨询题.本节学习方法：(1)数形结合的思想方法；(2)充分利用圆的几何性质，简化运算；(3)循序渐近的学习方法.【重点难点解析】同学们现在所学习的圆与初中所学习的圆是一样的，也确实是讲，圆的几何性质仍旧成立.所不同的是现在我们把圆放到平面直角坐标系中去研究.这就需要大伙儿在学习本节时，先复习圆的几何意义，几何性质，要复习曲线与方程的概念，从而学习“圆的方程”这一节内容.例1 求通过点A(-2，-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8，6)的圆的方程.分析一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则整理得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=-+363100682042E D F E D F E D解得D=-11,E=3,F=-30分析二 设圆心C(a,b)且圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ∵｜CA ｜=｜CB ｜,CB ⊥l解得a=211,b=-23 从而r=2125 故所求的方程的(x-211)2+(y+23)2=2125 分析三 设圆心为C ，则CB ⊥l ，∴CB 的方程为y-6=3(x-8),即3x-y+18=0，又AB 的垂直平分线的方程为x+y-4=0 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--04)23,211(0183y x C y x 得圆心∴半径r=22)623()8211(--+-=2125 ∴所求圆的方程为(x-211)2+(y+23)2=2125 例2 当m 为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一 (判不式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0∵△=4m(3m+4)当△=0时，得m=0或m=-34时，直线与圆相切.当△＞0时,得m ＞0或m ＜-34时，直线与圆相交.当△＜0时，得-34＜m ＜0时，直线与圆相离.分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=21112m m m +---=212m m +-当d=2时，即m=0或m=-34时，相切 当d ＞2时，即-34＜m ＜0时，相离 当d ＜2时，即m ＞0或m ＜-34时，相交例3 已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R)(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交.(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短的长度及现在的直线方程.分析 若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l 的距离恒小于半径即可.但注意到直线l 的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l 恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，咨询题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=5＜25∴点(3，1)在圆内如此，不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l 过定点M(3，1)，且与过此点的圆O 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长｜AB ｜最短.∵｜MO ｜=22)21()13(-+-=5且r=5∴弦长=2·525-=45 现在kl=-OM k 1 ∴-112++m m =-31121--=2 ∴m=-43代入直线l 得方程2x-y-5=0 例4 求两圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和C2:x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程.分析 要确定公切线的条数，应先判定两圆的位置关系，圆C1的圆心O1(-1,-3),半径r1=1，圆C2的圆心O2(3，-1)，半径r2=3∵｜O1O2｜=25＞4=r1+r2∴两圆相离，公切线有四条.设公切线的交点为M(x0,y0)(1)外公切线点M 分有向线段O2O1的比为λ=12MO M O =-21r r =-3 由定比分点公式得⎩⎨⎧-=-=4300y x 设两圆外公切线方程为y+4=k(x+3)即kx-y+3k-4=0由圆心O1（-1，-3）到其距离为1得143)3()1(2+-+---k k k =1即有k=0或k=34.∴两圆的外公切线方程为y+4=0和4x-3y=0(2)内公切线点M （x0,y0）分有向线段O2O1的比为λ′=12MO M O =21r r =-3 由定比分点公式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-•+-==+-•+=2531)3(31031)1(3300y x 设两圆内公切线方程为y+25=kx 即2kx-2y-5=0由点O1(-1，-3)到其距离为1得 244562k k +-+-=1解得k=-34 ∴切线方程为3x+4y+10=0但由两圆外离，公切线应为4条，讲明另一条公切线斜率不存在，则它的方程为x=0.【难题巧解点拨】例1 求过两圆x2+y2+4x-3=0与x2+y2-4y-3=0的交点，且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.分析 一样思路是先求出两交点坐标，再结合圆心在直线上，由这三个条件求圆的方程.但运算量较大.能够考虑过两圆交点的圆系方程可设为(x 2+y2+4x-3)+λ(x2+y2-4y-3)=0(λ为参数且λ≠-1)整理得圆心坐标为(-λ+12，λλ+12) 又∵圆心在直线2x-y-4=0上代入得：-λ+14-λλ+12-4=0 解得λ=-34代入整理即得所求圆的方程为x2+y2-12x-16y-3=0.例2 已知定点A(3，0)和B(0，4)，P 是△AOB 内切圆上的动点(O 是原点)，求｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO ｜2的最大，最小值.解：本题可直截了当设P 点坐标为(x0,y0),先求出内切圆心方程.再结合P 点满足圆的方程代入求其最大.最小值.也可采纳参数法求解：由已知｜AO ｜=3，｜BO ｜=4，则｜AB ｜=5.设△AOB 的内切圆半径为r ，则 r=25432ABBO AO -+=-+=1 故△AOB 的内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1因此可设P 点坐标为(1+cos θ,1+sin θ)，有｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO2｜=(2-cos θ)2+(1+sin θ)2+(1+cos θ)2+(3-sin θ)2+(1+cos θ)2+(1+sin θ)2=20-2sin θ∵-1≤sin θ≤1 ∴18≤20-2sin θ≤22∴｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO ｜2的最大值是22，最小值是18.例3 已知圆O ：x2+y2=4，与点A(4，0)，过A 点作圆O 的割线交圆O 于B 、C 两点，求BC 中点M 的轨迹方程.解法一：(定义法)因为BC 为圆O 的弦，M 为弦BC 的中点，由垂线定理得OM ⊥BC ，即OM ⊥MA.∴M 点在以OA 为直径的圆上.又OA 的中点为(2，0)，｜OA ｜=4.因此点M 所在圆心方程为(x-2)2+y2=4.因为ABC 是割线，故M 点的轨迹是此圆在圆O 内部的一段弧.将方程x2+y2=4的两边减去方程(x-2)2+y2=4得x=1,∴M 点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x ＜1)解法二：(直截了当法)设M 点的坐标为(x,y)(1)当x ≠0时，kOM=x y ,kBC=kMA=4-x y 由解法一知DM ⊥MA ，∴kOM ·kBC=-1 即x y ·4-x y =-1，化简得x2-4x+y2=0 (2)当x=0时，易知M 的坐标为(0，0)，它满足上述方程，∴结合解法一知点M 的轨迹方程为x2-4x+y2=0(0≤x ＜1＝解法三：(点差法)设M 点的坐标为(x,y)，B 、C 的坐标分不为(x1,y1),(x 2,y2)，则有③-④得x21-x22+y21-y22=0即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0∵x1≠x2(否则B 与C 会重合)∴x1+x2+(y1+y2)·2121x x y y --=0⑤ 又∵A 、M 、B 、C 共线，∴kBC=kMA=4-x y ⑥ 将①②、⑥代入⑤得2x+2y ·4-x y =0 化简得x2+y2-4x=0同法一得0≤x ＜1.即所求的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x ＜1)解法四：(几何法)∵OM ⊥MA ，∴｜OM ｜2+｜MA ｜2=｜OA ｜2 即x2+y2+(x-4)2+y2=16即x2+y2-4x=0同解法一得0≤x ＜1∴所求轨迹方程的x2+y2-4x=0(0≤x ＜1)例4 已知定点A(4，0)和圆x2+y2=4上的动点B ，点P 分AB 之比为2∶1，求点P 的轨迹方程.解：(代入法)设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0)∵λ=PB AP =2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=212212300y y x x 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 2344300 代入圆方程x2+y2=4，得(243-x )2+49y2=4 ∴P 点的轨迹方程为(x-34)2+y2=916【课本难题解答】教材第82页，习题7.79.答：(1)2x-y-7＝0;(2)(x-1)2+(y+1)2＝2510.答：⎩⎨⎧+=+=θθθsin 22cot 2cos 2y x (0<θ<π)，θ为参数【典型热点考题】例1 设圆满足①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的方程.分析 第一求出满足条件①、②的圆的圆心轨迹方程；然后求出圆心到直线x-2y=0的最小距离，最后列出满足圆心坐标与半径r 的方程组，确定圆的方程.解法一：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r ，则P 点到x 轴，y 轴的距离分不为｜b ｜,｜a ｜.由条件②知圆P 被x 轴截得的劣弧所对的圆心角为90°，从而圆P 截x 轴所得的弦长为2r.∴r2=(2｜b ｜)2=2b2又圆P 截y 轴所得的弦长为2，因此有 r=221+a ,∴r2=a2+1∴圆心P 的坐标为(a,b)满足方程2b2-a2=1，又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=52ba - 因此｜a-2b ｜2=a2+4b2-4ab ≥(a2+4b2)-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当a=b 时上式等号成立，现在5d2=1,从而d 取最小值. 由此有⎪⎩⎪⎨⎧==-=2222212b r a b b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===211r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=211r b a因此，所求圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：同解法一得d=52ba -∴a-2b=±5d,即a=2b ±5 d得a2=4b2±45bd+5d2将a2=2b2-1代入上式，整理得2b2±45bd+5d2+1=0把它看作关于b 的二次方程，由于方程有实根，故判不式非负.即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1因此5d2有最小值1，从而d 有最小值55. 代入方程2b2±45db+5d2+1=0得b=±1 将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由a2=2b2-1得a=±1综上知a=±1，b=±1,r2=2将d=55代入d=52b a -得：｜a-2b ｜=1知a,b 同号.(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=2讲明：要确定圆心坐标及半径，本题的关键是求出圆心到直线的最小值，解法一利用了差不多不等式a2+b2≥2ab 求最值.而解法二利用判不式法求最值，这是求最值的两种常用方法.例2 设有圆心为(ak,0)，半径为rk(k=1,2,3,…)的一系列半圆C1，C2，C3，……，每相邻两个半圆互相外切，同时都和直线l:y=-43x+1相切，直线l 分不切圆Ck 、Ck-1于A 、B 两点(1)用rk 表示ak;(2)用rk-1表示rk;(3)若a1＜0,半圆C1和y 轴相切，求r1(4)在(3)中的半圆C1是这一系列半圆的左起每一个半圆，面积为S1，第k 个半圆的面积为Sk(k=1,2,3,…)求S1+S2+…+Sk+……分析 由题设条件，联想到点到直线的距离公式、数列的有关知识进行解题.解：(1)由题设得直线l 的方程为3x+4y-4=0.∴rk=d=224343+-k a =543-k a ∴ak=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+354345k k r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥)34a ()34a (k k 当当(2)连ACk 、BCk-1，过Ck 作CkD ⊥Ck-1B ，则四边形ABDCk 为矩形. ∵kAB=kCD ，kAB=tan α=-43 设直线l 分不与x,y 轴交于M 、N 两点.∴tan ∠OMN=tan(180°-α)=-tan α=43sin ∠OMN=53 又∵sin ∠OMN=k k k C C D C 11--=k k k k r C r r +--11 ∴k k k k r C r r +--11=53 rk=41rk-1 (3)∵a1＜0,r1＞0,∴r1=-a1由点到直线距离公式，得r1=5431-a =5431+r ∴r1=2(4)由(2)得rk=41rk-1 r1=2,r2=21,r3=81 ∴r1,r2,r3,…等比数列，q=41又S1=21πr21=2πS2=21 πr22=81π S3=21 πr23=1281π,…… 可知S1，S2，S3……也成等比数例，公比q ′=161＜1， ∴S=S1+S2+…=q s -11=16112-π=1532π. 例3 当实数x,y 满足x2-2x+y2=3时，求｜x ｜+｜y ｜的最大值与最小值.分析 圆心方程可化为(x-1)2+y2=4. 令t=｜x ｜+｜y ｜,∵它的图形是顶点在坐标轴上的正方形，如此咨询题转化为正方形与圆有公共点时，求t 的最大值与最小值.与圆有公共点的最小正方形是顶点为(1，0)，(0，1)，(-1，0)，(0，-1)故t 的最小值为1，与圆有公共点的最大正方形是两边与圆相切的正方形，由⎩⎨⎧=+-=+3222y x x t y x 得2x2-2(t+1)x+t2-3=0，由△=0,得t=1+22(1-22 舍去)，即t 的最大值为1+22，(t 的最大值也可用圆心到直线的距离等于半径去解)【同步达纲练习】A级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范畴是( )A.-3＜a＜7B.-6＜a＜4C.-7＜a＜3D.-21＜a＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1)B.(3，-2)C.(4，1)D.(2+2，2-3)4.若直线x+y=r与圆x2+y2=r(r＞0)相切，则实数r的值等于( )2B.1 C.2 D.2A.25.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.7.设集合m={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)｜(x-a)2+y2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范畴是.8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是，过点P的最长弦所在直线方程是.三、解答题9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范畴.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a 的取值范畴是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51C.｜a ｜＜121 D.｜a ｜＜131 3.关于x,y 的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D2+E2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D2+E2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D2+E2-4AF ＞04.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1) 5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x2+2=4的内部，则k 的范畴是( ) A.- 51＜k ＜-1 B.- 51 ＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x2+y2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分不是 .7.若方程a2x2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 .三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，通过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素养优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( ) A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 2.关于满足x2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范畴是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1) 3.若实数x ，y 满足x2+y2=1,则12--y y 的最小值等于( ) A. 41 B. 43 C. 23 D.2 4.过点P(1，2)的直线l 将圆x2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要通过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米二、填空题6.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是.7.若集合A={(x、y)｜y=-｜x｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y2=a2}满足A∩B= ，则实数a的取值范畴是.8.过点M(3，0)作直线l与圆x2+y2=16交于A、B两点，当θ=时，使△AOB的面积最大，最大值为(O为原点).三、解答题9.令圆x2+y2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M，有｜P M｜=｜PO｜,求使｜PM｜最小的P点坐标.10.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N，求证：∠MAN为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并讲明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l与m所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级 1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- 2a ,0), 2a 7.-1 8.(- 103，101) 9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素养优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arc cot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4x2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45.当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ 12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x2+(y ±2a)2=(2a )2轨迹是分不以CO ，CD 为直径的两个圆.。
圆的标准方程
几何法
平面内，直线与圆的位置关系判断一般方法是： 1.由，可得，（其中B不等于0），代入，即成为一个关于x的一元二次方程。利用判别式的符号可确定圆与 直线的位置关系如下： 如果，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为，即，它平行于y轴（或垂直于x轴），将化为。令y=b，求出此时的两个x值，并且规定， 那么： 当或时，直线与圆相离； 当时，直线与圆相交； 在直角坐标系中，圆的标准方程为： ;
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方程推导
在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b)点P(x,y)是圆上任意一点。 圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。 所以。 两边平方，得到。
点与圆
点P（x1,y1)与圆的位置关系： ⑴当时，则点P在圆外。 ⑵当时，则点P在圆上。 ⑶当时，则点P在圆内。
直线与圆
代数法
位置关系
=> =>圆心坐标为
如果直线方程，圆的方程为,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程,那么： a.当△<0时，直线与圆没有公共点； b.当△=0时，直线与圆相切； c.当△>0时，直线与圆相交。
求出圆心到直线的距离d，半径为r： d>r，则直线与圆相离； d=r，则直线与圆相切； d<r，则直线与圆相交。
两圆位置关系
若两圆的方程分别为C1：，C₂： ： 则两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含.
一般式
此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：， 其圆心坐标：， 半径为， 此方程满足为圆的方程的条件是:。 若不满足,则不可表示为圆的方程。 已知直径的两个端点坐标A(m，n)、B(p，q)设圆上任意一点C(x，y)。则有：；可推出方程：再整理即可得 出一般方程。
已知圆心半径求圆方程
已知圆心半径求圆方程在我们的数学学习中，求圆方程是非常基础的一部分。
当我们知道圆心和半径的信息时，就可以通过简单的公式来求解圆方程。
下面我们就来详细地介绍一下该方法的具体步骤。
STEP1 确认圆心和半径首先，我们需要确认题目中给出的圆心和半径信息是否具有一定的准确性。
圆心通常标记为(x0, y0)，半径则表示为r，当我们确定了这些信息之后，就可以开始下一步的计算。
STEP2 套用圆的标准方程根据圆的标准方程，圆的方程可以表示为(x-x0)²+(y-y0)² = r²。
在这个方程中，x和y分别代表圆上任意一点的坐标，x0和y0则是圆心的横纵坐标，r则是圆的半径。
STEP3 将圆的标准方程转化为一般式我们可以通过简单的运算来将圆的标准方程转化为一般式，即x²+y²+ax+by+c=0。
这个过程可以分为以下几步：- 将(x-x0)²展开，得到x²-2xx0+x0²。
- 将(y-y0)²展开，得到y²-2yy0+y0²。
- 代入r²，得到x²-2xx0+x0²+y²-2yy0+y0² = r²。
- 整理一下，将常数项移到等式右边，得到x²+y²-2xx0-2yy0+x0²+y0²-r² = 0。
- 为了将结果变为一般式，我们需要将之前的系数4统一除掉，即得到x²+y²-2xx0-2yy0+x0²+y0²-r² / 4 = 0。
- 再将x²和y²的系数拼接起来，得到x²+y²-2xx0+0y-2yy0+0=-x0²-y0²+r²/4。
STEP4 画图验证最后，我们可以画出该圆的图像来验证一下我们求解的结果是否正确。
求圆的方程的方法
归纳总结：当圆心在一条直线上时，可以用一个未知数设出 圆心坐标，从而减少未知数个数，简化计算。
D ＋E －4F r＝ . 2 ，半径为
2
2
<三>、已知圆上两点且圆心在一条直线上 (1)已知圆上两点且圆心在一条直线上 例5圆过点A(1，－2)，B(－1,4)， 圆心在直线2x－y－4＝0上，求 圆的方程。
（2）圆心在直线上且与另一条直线相切 例6 求圆心在直线2x+y＝0上, 且与直线y=-x+1相切于点(2，-1)的圆 的方程.
2 2 2 2 ＝ －b) 2 > 2 2 2
r； r； r.
2 2
2
②点在圆外：(x0－a) ＋(y0－b) ③点在圆内：(x0－a) ＋(y0
2 < －b)
（2） ．圆的一般方程 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D ＋E
2 2
2 2
－4F>0 ，其中圆心为
D E － ，－ 2 2
§4.1. 圆的方程yOCxr
一．圆的定义 在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫 圆． 二．圆的方程 （1） ．圆的标准方程 (x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)，其中 (a，b) 为圆心，r 为 半径．
2 2 2
点与圆的位置关系 设圆的标准方程(x－a) ＋(y－b) ＝r ，点 M(x0，y0) ①点在圆上：(x0－a) ＋(y0
圆的方程
题型三 与圆有关的轨迹方程 题型三 与圆有关的轨迹方程 例3 设定点 M （3， ， 4）动点 N 在圆
x2 + y 2 = 4
上，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP， 求点 P 的轨迹。
思维启迪：求轨迹方程的一般步骤： 思维启迪 建系，设点，列式，化简，证明
思想方法
方法与技巧
感悟提高
探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合 适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种 方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出 圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用 待定系数法求解．
题型二 ＝0.
与圆有关的最值问题
例 2 已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1 (1)求 y－x 的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大 致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、F 的方程组； (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程 或一般方程．
6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆 的 标 准 方 程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 ， 点 M(x0，y0)
思维启迪：根据待定系数法求相应的量即可．
解
(1)∵AB 的中垂线方程为 3x＋2y－15＝0，
x＝7， 解得 y＝－3.
3x＋2y－15＝0， 由 3x＋10y＋9＝0，
∴圆心为 C(7，－3)．又|CB|＝ 65. 故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 P、Q 点的坐标分别代入得 2D－4E－F＝20， ①
求圆的标准方程的方法
求圆的标准方程的方法
圆的一般式方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）
半径公式为：
推导过程：
扩展资料：
1、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，
b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
2、在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。
圆的一般方程
x
解：设点M的坐标是（x, y ),点A的坐标是（x0 , y0 ). 由于点B的坐标是（ 4,3），且点M是线段AB的中点， x0 4 y0 3 x ,y , 于是有： 2 2 x0 2 x 4, y0 2 y 3 （x 1) y 4，即（x0 1) y0 4
②没有xy这样的二次项 圆 的 标 准 方 程
圆 的 一 般 方 程
展 开 整 理
( x a) ( y b) r
2 2
2
标准方程易于看出圆心与半径
当(D2+E2-4F>0)时，配方
例 题
讲解
例4（课本P122）
求过三点O（0,0）M （ ），M （ ）的圆 1 1,1 1 4,2 的方程，并求这个圆的 半径长和圆心坐标。
(1) x 2 y 2 2 x 4 y 1 0, (2) x y 2 x 4 y 6 0
2 2
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配
2
方
2
( x 1) ( y 2) 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
(2)
配
方
①
D 2 E 2 D 2 E 2 4F （x ) ( y ) 2 2 4
1 当D 2 E 2 4F 0时，方程 (2) 表示 D E D E 4F 以( , )为圆心， 为半径的圆 2 2 2
2 2
2 当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）只有实数解 D E D E x , y ，它表示一个点 ( , )。 2 2 2 2
2 2
由于a, b, r均为常数
圆的一般方程
变式3、圆(x+2)2+y2=5关于y=-x+1对
(x-1)2+(y-3)2=5 称的圆的方程__________
变式4、点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上， 点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则 a=___ ，b=___. （法一）因为点P（2，1）关于x+y-1=0的对 称点为P′(0,-1)， 4+1+2a-2+b=0 所以 1+2+b=0 b=-3 a （法二）由已知圆心（ ，1)在直线x+y-1=0上， 2
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看
是否成立即可.
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B ､C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3) 代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆 心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 是 圆心（3，-1）半径 10 不是
圆的方程
(xD )2 (yE )21(D 2 E 2 4 F )
2
24
圆心 ( D , E ) 半径 22
圆的标准方程
展开 配方
D2 E2 4F 2
圆的一般程
基础训练
(x1)2(y1)21
1、以点C(1，1)为圆心，半径为1的圆的标准方程为
.
2、方程 x2y24xm20表示圆，则实数m的取值范围是( 2, 2 ).
两种思路
理清思路是关键
①待定系数法是求圆的方程的基本方法：
选形式
定参数
②数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算
一种能力
运算准确是保证
运算能力
变1 ：求过点A(2，3),B(-1，2)，圆心在直线x-y=0上的圆的方程．
变2：求过点A(2,3)，且与直线x-2y+6=0切于点C(0,3)的圆的方程．
变3：过点B(-1,2)，圆心在直线y=x上，被直线3x-y+3=0截得弦长为
10 的圆的方程．
变4：求过点A(2,3),B(-1,2)两点，且在两坐标轴上的四个 截距之和为4，求此圆方程．
4、圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在x+y=0上，则圆C的
方程为 (x1)2(y1.)22
5、已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y=x-1被该
圆所截得的弦长为2 2 ，圆C的标准方程 (x3)2y2 4.
课堂小结
三个条件
看清条件是基础
求圆的方程时需要三个“独立”的条件
确定一个圆的方程，需要三个独立条件．
待定系数法是求圆的方程的基本方法
选形式，定参数
①若已知条件和圆心、半径有关，通常选圆的标准方程，确定a,b,r
求圆的标准方程
求圆的标准方程
圆的标准方程是：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这个方程可以用来表示圆的几何性质。
(x - a)^2 + (y - b)^2 表示点(x,y)到圆心(a,b)的距离的平方，等于
r^2表示到圆心距离是r，即这个点在圆上。
具体地，在二维坐标系中，圆心坐标是(a,b)，圆的半径为r的圆的标准方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
例如：圆心坐标为(3,4)，半径为5的圆的标准方程为：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2 即：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
如果你知道圆上的一个点坐标，可以用这个标准方程来确定圆心坐标和半径。
还有一种圆的标准方程是：x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，其中g、f、c为常数
这种标准方程需要首先将圆心平移到原点(0,0)，然后再求出g、f、c 的值。
圆心平移到原点后，圆心坐标为(0,0),标准方程为：x^2 + y^2 = r^2 将其带入标准方程x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，得：x^2 + y^2
+ 2gx + 2fy = -c
将x^2 + y^2 = r^2代入上式，得：r^2 + 2gx + 2fy = -c
根据上面的等式，得出g=-a/2，f=-b/2，c=a^2+b^2-r^2
所以x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0的标准方程为:x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
这两种标准方程都可以用来表示圆的几何性质，具体使用哪种方程取决于具体问题。
圆的方程
圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。
的圆方程的适用范围。
一、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；⑵圆的一般方程：x2+y2+D x+E y+F=0（D2+E2-4F>0）,圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED-+.注①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y--+--=,其中1122(,),(,)A x yB x y是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：A x+B y+C=0，圆：x2+y2+D x+E y+F=0，联立得方程组22Ax By Cx y Dx Ey F++=⎧⎨++++=⎩−−−→消元一元二次方程24b ac=-−−−→判别式△>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩△相交△相切△相离（2）几何法：直线:A x+B y+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d rd rd r>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩相离相切相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O1O2|>r1+r2⇔两圆外离；②|O1O2|=r1+r2⇔两圆外切；③| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2⇔两圆相交；④| O1O2 |=| r1-r2|⇔两圆内切；⑤0<| O1O2|<| r1-r2|⇔两圆内含。
注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.圆的方程四、圆的切线:1.求过圆上的一点00(,)x y圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1-k,由点斜式方程可求得切线方程;2.求过圆外一点00(,)x y圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为00()y y x x-=-k即00-0x y x y-+=k k,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为00()y y x x-=-k,即00y x x y=-+k k代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=.圆的方程 例23.若直线()011＝+++y x a 与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为( ) ()11A -或 ()22B -或 1)(C 1)(-D 例24. 两圆x 2+y 2-4x +2y+1=0与(x +2)2+(y -2)2=9的位置关系是（ ） (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 例25. 已知圆C 与圆(x -1)2+y 2=1关于直线y =-x 对称，则圆C 的方程为( ) (A) (x +1)2+y 2=1 (B) x 2+y 2=1 (C)x 2+(y +1)2=1 (D)x 2+(y -1)2=1 例26. 若直线4x -3y -2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ） (A)-3＜a ＜7 (B)-6＜a ＜4 (C)-7＜a ＜3 (D)-21＜a ＜19 例27. 把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α为参数）化为普通方程，结果是 . 例28. 过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为例29. 圆的方程为x 2+y 2－6x －8y ＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
圆的方程
圆是高考重点考查的内容，主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的几何性质。
高考题型以选择题、填空题为主，属容易、中档题。
圆的方程：⑴圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )，半径r ＞0⑵圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心()22，D E -- r =注意：当D 2＋E 2－4F ＝0时，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2表示点；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形。
【例1】已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (a ，2)，B (-4，a )，C (a ＋1，1)，则三角形ABC 的外接圆的方程是_____。
【例2】若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝____。
A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1⑶圆的参数方程：圆x 2＋y 2＝R 2(R ＞0)的参数方程为cos sin x R y R θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)； 圆(x －a )2＋(y －b )2＝R 2(R ＞0)的参数方程为 cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数) 。
【例3】圆C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，(θ为参数)的普通方程为__________，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____。
圆的参数方程的应用——求最值问题：【例4】圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求x ＋y 的最大值和最小值。
点与圆的位置关系：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)到圆心的距离为d ，则有：⑴d ＞r 点M 在圆外；⑵d ＝r 点M 在圆上；⑶d ＜r 点M 在圆内。
【例5】已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆。
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培优练习1：求圆的方程
一：圆的方程。
（1）标准方程（几何式）： （圆心为A(a,b),半径为r ）
（2）圆的一般方程（代数式）：02
2
=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心 半径
提示：求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。
定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为02
2
=++++F Ey Dx y x (2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。
求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．
二：点与圆的位置关系的判断方法，),(00y x P ，r b a 半径圆心),,(： 若 ，则点P 在圆上； 若 ,则点P 在圆外； 若 ,则点P 在圆内；
基础自测
1．方程22
()()0x a y b +++=表示的图形是（ ） A ．点(,)a b B ．点(,)a b --
C ．以(,)a b 为圆心的圆
D ．以(,)a b --为圆心的圆
2 圆22
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A 22
(2)5x y -+=
B 22
(2)5x y +-=
C 22
(2)(2)5x y +++=
D 22
(2)5x y ++=
3.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是_________
4、方程02
2
=++-+a cy bx y x 表示圆心为C （2，-1）半径为2的圆，则
c b a ,,的值依次为（ ）
A 、-4,2，3
B 、3,4,2
C 、2，-4,6
D 、3,-12,4
5.已经圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，则b =__________
6、已知点（-a ,3）在圆074422
22=+-++++a a y ax y x 外，则实数a 的取值范围_________
例1：已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --= 上，求此圆的标准方程（三种方法求解）。
练习1．求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程____________ 2 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆
C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A 03222=--+x y x
B 0422=++x y x
C 0322
2
=-++x y x D 042
2
=-+x y x
3.求过三点O(0,0),A(1,0),B(0,1)的圆的方程________________________.
4 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的
弦长为72，求圆C 的方程
5.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120,l x y -+=直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.
6、已知圆C 过点（2,1），圆心在直线x y 2=上，且与圆4)1()2(2
2=-++y x 相外切，求圆C 的方程
思考：已知方程0916)41(2)3(24
222=++-++-+m y m x m y x 表示一个
圆，（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；
求圆的方程
一：圆的方程。
（1）标准方程（几何式）： （圆心为A(a,b),半径为r ）
（2）圆的一般方程（代数式）：02
2=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心 半径
提示：求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。
定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为02
2=++++F Ey Dx y x (2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。
求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．
二：点与圆的位置关系的判断方法，),(00y x P ，r b a 半径圆心),,(： 若 ，则点P 在圆上； 若 ,则点P 在圆外； 若 ,则点P 在圆内； 基础自测
1．方程22
()()0x a y b +++=表示的图形是（ B ） A ．点(,)a b B ．点(,)a b --
C ．以(,)a b 为圆心的圆
D ．以(,)a b --为圆心的圆
2 圆22
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( A )
A 22
(2)5x y -+=
B 22
(2)5x y +-=
C 22
(2)(2)5x y +++=
D 22
(2)5x y ++=
3.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是
12
-∞（，） 4、方程02
2
=++-+a cy bx y x 表示圆心为C （2，-1）半径为2的圆，则
c b a ,,的值依次为（ ）
A 、-4,2，3
B 、3,4,2
C 、2，-4,6
D 、3,-12,4
5.已经圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，则b =2±
6、已知点（-a ,3）在圆074422
22=+-++++a a y ax y x 外，则实数a 的取值范围___⎪⎭
⎫ ⎝⎛7,43______
例1：已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --= 上，求此圆的标准方程（三种方法求解）。
练习1．求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程____________ 2 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆
C 相切，则圆C 的方程为（
D ） A 03222=--+x y x
B 0422=++x y x
C 0322
2
=-++x y x
D 042
2
=-+x y x
3.求过三点O(0,0),A(1,0),B(0,1)的圆的方程________________________. 3 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的
弦长为72，求圆C 的方程
3 解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =，令d =
=
而22222
,927,1r d t t t =--==±
22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=
4.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120,l x y -+=直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.
解：设所求圆的圆心O 坐标为（0，b ），半径为r,则圆心到直线12,l l 的相等均为r ，所以
31241255b b r -+--==，解得1284
0,24,55
b r b r ===-=或， 因此，所求圆的方程为2
2
22221284
(
)(24)()55
x y x y +=++=或 5、已知圆C 过点（2,1），圆心在直线x y 2=上，且与圆4)1()2(2
2=-++y x
相外切，求圆C 的方程
9)4()2(22=-+-y x
20，已知方程0916)41(2)3(24
222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆， （1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；解：（1）依题意
可知：224
44(14)4(169)0m m +--+>（
m+3） 解之得：1
(71)-10, -17
m m m +<∴<<（） （
2
）
由
于
227
r ===≤
所以：0r <≤
(3)由于：22
3
m: y=4(x-3)1(14)
x m y m =+⎧-⎨=--⎩消去 由于120
-
1477
m x <<<<，可得， 所以圆心的轨迹方程为：y=4(x-3)2-1 (20/7<x<4)
2 若)1,2(-P 为圆25)1(2
2=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的
方程（ A ）
A 03=--y x
B 032=-+y x
C 01=-+y x
D 052=--y x
3 圆01222
2=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是
（ B ） 。
3．求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。