全国统考2022高考数学一轮复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型学案理含解析北师大版.docx
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第2节 古典概型与几何概型
9
A.32
9
B.64
4
C.25
6
D.25
π
θ∈[2 ,π)的概率为(
)
6
答案:(1)
35
(2)D
解析:(1)从正方体的 8 个顶点中任选 4 个,有C84 =70(种)选法.
4 个顶点在同一平面的情况有 6 个表面和 6 个对角面,共 12 种,
12
故所求概率为
以OA为半径作大圆O,以AB为直径作小圆.在整个图形中
随机取一点,此点取自阴影部分的概率为(
π+2
A.
2π+1
π+1
C.2π-1
π+1
B.
π+2
π-1
D.2π+1
)
答案:(1)A (2)A
解析:(1)A={(x,y)|(x-1)(y-1)≥0}={(x,y)|x≥1,且y≥1或x≤1,且y≤1},集合B
5.随机模拟方法
使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事
件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.
研考点•精准突破
考点一
古典概型的概率(多考向探究)
考向1 以生活实际为题境的古典概型
例1(1)(2022陕西榆林一模)已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生,从
中任选2人参加该校组织英语演讲比赛,则恰有1名女生被选到的概率是
81>77.5+2 ,解得
a≤7,
8
∵a∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴所求概率为
10
=
4
.故选
5
D.
2022年高中数学新人教版A版精品教案《古典概型（一轮复习）》
学案古典概型导学目标： 1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率．自主梳理1．古典概型一般地，一次试验有下面两个特征1有限性．试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；2等可能性．每个根本领件的发生都是等可能的，称这样的概率模型为古典概型．2．古典概型的概率公式如果一次试验的等可能根本领件共有n个，那么每一个等可能根本领件发生的概率都是________；如果某个事件A包含了其中m个等可能根本领件，那么事件A发生的概率为、n作为点3”，用公式求解．【答题模板】解1甲、乙二人抽到的牌的所有情况方片4用4′表示，其他用相应的数字表示为2,3，2,4，2,4′，3,2，3,4，3,4′，4,2，4,3，4,4′，4′，2，4′，3，4′，4，共12种不同情况．[6分]2甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为错误![10分]3甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有3,2，4,2，4,3，4′，2，4′，3，共5种，故甲胜的概率4”4”；③代入公式，求概率值．课后练习总分值：90分一、填空题每题6分，共48分1．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为________．2．将一枚骰子抛掷两次，假设先后出现的点数分别为b，c，那么方程2＋b＋c＝0有实根的概率为________．3．在五个数字1,2,3,4,5中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率是________结果用数值表示．4．连续掷两次骰子分别得到点数m、n，那么向量m，n与向量－1,1的夹角θ>90°的概率为________．5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．假设选到男教师的概率为错误!参加联欢会的教师共有________人．7．在集合{|＝错误!，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程co＝错误!的概率为________．8．现有5根竹竿，它们的长度单位：m分别为,,,,，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．二、解答题共42分9．14分袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．1写出所有不同的结果；2求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；3求至少摸出1个黑球的概率．10．14分某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．1求中三等奖的概率；2求中奖的概率．11．14分实数a，b∈{－2，－1,1,2}．1求直线＝a＋b不经过第四象限的概率；2求直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点的概率．古典概型答案自主梳理2．错误!错误!自我检测1．错误!2．错误!3．错误!4．解析卡号是7的倍数有：7,14,21，…，98共有m＝错误!＋1＝14，总共n＝100∴＝5．错误!解析∵A、C、E在直线＝上，B、C、D在直线＝－＋2上，任取三点列举知有10种取法，共线有2种取法．∴取三点能构成三角形的概率为错误!＝错误!课堂活动区例1 解题导引计算古典概型所含根本领件总数的方法：1树形图；2列表法；3另外，还可以用坐标系中的点来表示根本领件．解1这个试验的根本领件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4．2事件“出现点数之和大于3”包含以下13个根本领件：1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4．3事件“出现点数相等〞包含以下4个根本领件：1,1，2,2，3,3，4,4．变式迁移1 解1分别记白球为1,2,3号，黑球为A，B号，从中摸出2只球，有如下根本领件：1,2，1,3，1，A，1，B，2,3，2，A，2，B，3，A，3，B，A，B，因此，共有10个根本领件．2上述10个根本领件发生的可能性相同，且只有3个根本领件是摸到两只白球记为事件A，即1,2，1,3，2,3，故由此可知，利用列举法算出所有根本领件的个数n以及事件A包含的根本领件数m是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举根本领件．解1利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果如下列图所示．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为2021为每次都随机抽取，因此这2021果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A1表示事件“连续抽取2人一男一女〞，A2表示事件“连续抽取2人都是女生〞，那么A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生〞，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得0.5”0.5”4c，n·－1,1＝－根本领件总共有6×6＝36个，符合要求的有2,1，3,1，3,2，4,1，4,2，4,3，5,1，…，5,4，6,1，…，6,5，共1＋2＋3＋4＋5＝15个．∴P＝错误!＝错误!5．错误!解析由袋中随机取出2个小球的根本领件总数为10，取出小球标注数字之和为3的事件为1,2取出小球标注数字之和为6的事件为1,5或2,4∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝错误!＝错误!6．12021析设男教师有n人，那么女教师有n＋12人．由从这些教师中选一人，选到男教师的概率P＝错误!＝错误!n＝54，故参加联欢会的教师共有120217．错误!解析co错误!＝co错误!＝错误!，共2个．总体共有10个，所以概率为错误!＝错误!8．解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的情况是和,和两种，∴概率P＝错误!＝9．解1ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de5分2记“恰好摸出1个黑球和1个红球〞为事件A，那么事件A包含的根本领件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个根本领件．所以PA＝错误!＝所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为10分3记“至少摸出1个黑球〞为事件B，那么事件B包含的根本领件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个根本领件，所以PB＝错误!＝所以至少摸出1个黑球的概率为14分10．解设“中三等奖〞的事件为A，“中奖〞的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有0,0，0,1，0,2，0,3，1,0，1,1，1,2，1,3，2,0，2,1，2,2，2,3，3,0，3,1，3,2，3,316种不同的方法．4分1两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：0,3、1,2、2,1、3,0．故PA＝错误!＝错误!10分2由1知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：1,3，2,2，3,1，12分两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：2,3，3,2，PB＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!14分11．解由于实数对a，b的所有取值为：－2，－2，－2，－1，－2,1，－2,2，－1，－2，－1，－1，－1,1，－1,2，1，－2，1，－1，1,1，1,2，2，－2，2，－1，2,1，2,2，共16种．5分设“直线＝a＋b不经过第四象限〞为事件A，“直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点〞为事件B1假设直线＝a＋b不经过第四象限，那么必须满足错误!即满足条件的实数对a，b有1,1，1,2，2,1，2,2，共4种．∴PA＝错误!＝错误!故直线＝a＋b不经过第四象限的概率为错误!9分2假设直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点，那么必须满足错误!≤1，即b2≤a2＋111分假设a＝－2，那么b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对a，b有4种不同取值；假设a＝－1，那么b＝－1,1符合要求，此时实数对a，b有2种不同取值；假设a＝1，那么b＝－1,1符合要求，此时实数对a，b有2种不同取值，假设a＝2，那么b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对a，b有4种不同取值．∴满足条件的实数对a，b共有12种不同取值．∴PB＝错误!＝错误!故直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点的概率为错误!14分。
2022版高考数学一轮复习第十二章计数原理概率随机变量及其分布12.4古典概型几何概型课件理北师大版
第十五页，编辑于星期六：四点 十五分。
必备知识·自主学习
【解析】设红球为A1,A2,A3,黄球为B1,B2,共有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,
A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2 10种,其中不同色的有6种,P=
答案: 3
5
6 ＝ 3. 10 5
第十六页，编辑于星期六：四点 十五分。
乙3),共9种结果,其中甲、乙参加一个小组的有(甲1,乙1),(甲2,乙2),(甲3,乙
3),共3个结果,所以所求的概率为
3 1. 93
第十页，编辑于星期六：四点 十五分。
必备知识·自主学习
(4)√.根据几何概型的意义,判断正确. (5)×.基本事件空间的度量是这个圆的面积,事件“这个点恰好落在圆x2+y2=1内”对 应的度量也是这个圆的面积,所以它的概率为1,但不是必然事件,因为有可能落在圆上,事 件“这个点恰好落在圆x2+y2=1上”对应的图形是这个圆(圆周),它的面积为0,所以它 的概率为0,但不是不可能事件.
的有(1,2),(2,4),(3,6)共三个,故共线的概率是 1- 1 ＝ 1 1 .
12 12
,从3 而＝ 不1 共线的概率是
36 12
第十四页，编辑于星期六：四点 十五分。
必备知识·自主学习
2.(必修3P135例2改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个, 黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为
必备知识·自主学习
3.(必修3P153A组T2改编)一个路口的红绿灯,红灯的时间为30 s,黄灯的时间为 5 s,绿灯的时间为40 s,当某人到达路口时能直接通过的概率是 ( )
高考数学总复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线距离小于或等于半径,由此得
出a≤b,则满足a≤b基本事件个数就能求出来,从而转化成与概率
基本事件相关问题.
3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上二次函数f(x)图
象对称轴与x轴交点横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难
得出b≤a包含基本事件数.所以也转化成了与概率基本事件相关问
②等可能性:每个结果发生含有等可能性.
(3)公式:
构成事件的区域长度(面积或体积)
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
4.随机模拟方法
使用计算机或者其它方式进行模拟试验,方便经过这个试验求出
随机事件概率近似值方法就是随机模拟方法.
3/36
-4知识梳理
考点自测
1.任一随机事件概率都等于组成它每一个基本事件概率和.
C 35 C 13 C 25 C 23
3 (C 1 C 3 A(2)B
2
1 2 2
C(1)D
5 3 5 2 +C 3 C 5 C 3 )
C 25 C 23
C 23
5
D.7
关闭
3
= C 3 A 2 +C 2 C 2 = A 2 +C 2 = 5.
5 2
5 3
2
3
解析
答案
12/36
-13考点1
考点2
考点3
与圆(x-2)2+y2=2有公共点概率为
.
思索怎样把直线与圆有公共点问题转化成与概率基本事件相关
问题?
关闭
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有
(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 种,其中满足直线 ax+by=0 与圆
高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第五节 古典概型、几何概型课件
解析：甲站在中间的情况有两种，而基本事件为 6 种， 1 所以 P＝ . 3
答案：C
nπ 3．在集合{x|x＝ ，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素， 6 1 所取元素恰好满足方程 cosx＝ 的概率是________． 2 π 5π 解析： 基本事件的个数为 10， 其中只有 x＝ 和 x＝ 时， 3 3 1 2 1 cosx＝ ，故其概率为 ＝ . 2 10 5
【思路导引】
求x的值 → 求y＋z的值 →
求初三年级应抽取的人数 → 求基本事件总数 → 求所求事件包含的基本事件数 → 计算所求概率 x 【解析】 (1)因为 ＝0.19，所以 x＝380. 2 000
(2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500. 500 应在初三年级抽取的人数为 48× ＝12. 2 000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A，初三年级女 生、男生数记为(y，z)，由(2)知 y＋z＝500，且 y、z 为正整 数． 基本事件有(245,255)， (246,254)， (247,253)， …， (255,245) 共 11 个，事件 A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)， 5 (253,247)，(254,246)，(255,245)共 5 个，所以 P(A)＝ . 11
1 答案： 5
•4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数不大 于1.5的概率为( ) •A．0.25 B．0.5 •C．0.6 D．0.75
解析：在[1,3]内任取一数，这个数不大于 1.5 的概率 P 区间[1，1.5]的长度 0.5 ＝ ＝ ＝0.25. 2 区间[1，3]的长度
•答案：A
•5 ．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40 秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概 率 各 是 (1) 红 灯 ________ ； (2) 黄 灯 __________；(3)不是红灯________． •解析：在75秒内，每一时刻到达路口的时候 是等可能的，属于与长度有关的几何概型．
高考数学一轮复习第十二章概率第二节古典概型几何概型课件文北师大版
()
(4)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (5)随机地从集合C: {(x， y)|x2y21}内取点,则这个点恰好落在圆x2+y2=1内的 概率为1,所以这个事件是必然事件,这个点恰好落在圆x2+y2=1上的概率为0,所 以这个事件是不可能事件. ( )
93
(4)√.根据几何概型的意义,判断正确. (5)×.基本事件空间的度量是这个圆的面积,事件“这个点恰好落在圆x2+y2=1 内”对应的度量也是这个圆的面积,所以它的概率为1,但不是必然事件,因为有可 能落在圆上,事件“这个点恰好落在圆x2+y2=1上”对应的图形是这个圆(圆周), 它的面积为0,所以它的概率为0,但不是不可能事件.
36
【思想方法指导】 (1)先确定基本事件空间,再确定事件A包含的基本事件个数,最后代入概率公 式求解.
(2)先按照x1的取值分成六类: x1=1,x2=1,2,3,4,5,6, x1=2,x2=1,2,3,4,5,6, x1=3,x2=1,2,3,4,5,6, x1=4,x2=1,2,3,4,5,6, x1=5,x2=1,2,3,4,5,6, x1=6,x2=1,2,3,4,5,6, 从而确定基本事件空间中的元素个数为36.
222 8
答案: 7
8
思想方法 分类讨论思想在古典概型与几何概型中的应用 【典例】某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏,受到大家的一 致追捧.游戏规则如下:游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子,记第i次得 到的点数为xi,若存在正整数n,使得x1+x2+…+xn=6,则称正整数n为游戏参与者 的幸运数字. 世纪金榜导学号 (1)求游戏参与者的幸运数字为1的概率; (2)求游戏参与者的幸运数字为2的概率.
高考数学一轮复习 第十二章 概率统计 12.2 随机事件与概率、古典概型与几何概型讲义
§12.2随机事件与概率、古典概型与几何概型考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.随机事件与概率求随机事件概率 A5题5分填空题★☆☆2.古典概型求古典概型事件的概率B7题5分4题5分7题5分填空题★★★3.几何概型求几何概型事件的概率A 填空题★☆☆分析解读随机事件与概率、古典概型、几何概型是江苏高考必考内容,重点考查古典概型,试题难度中等.五年高考考点一随机事件与概率1.(2016天津改编,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为.答案2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案教师用书专用(3—4)3.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05(10分) 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a元.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.(12分)4.(2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额0 1 000 2 000 3 000 4 000(元)车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解析(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.考点二古典概型1.(2017天津文改编,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为.答案2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案3.(2016课标全国Ⅰ改编,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是.答案4.(2016北京改编,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为.答案5.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.答案6.(2016课标全国Ⅲ改编,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.答案7.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案8.(2014浙江,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.答案9.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案10.(2014四川,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3), (2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3), (3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P()=1-=.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.教师用书专用(11—18)11.(2014湖北改编,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则p1,p2,p3的大小关系为.答案p1<p3<p212.(2014陕西改编,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为.答案13.(2014课标Ⅱ,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.答案14.(2013安徽改编,5,5分)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为.答案15.(2013浙江,12,4分)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.答案16.(2013重庆,13,5分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.答案17.(2014天津,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)==.18.(2013山东,17,12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指19.2 25.1 18.5 23.3 20.9标(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2个,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.解析(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78米以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P==.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=.考点三几何概型1.(2016课标全国Ⅱ改编,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.答案2.(2014重庆,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答).答案3.(2013陕西理改编,5,5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是.答案1-教师用书专用(4)4.(2013湖南改编,9,5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则= .答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一随机事件与概率1.(苏教必3,三,2,5,变式)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为.答案0.32.(苏教必3,三,1,5,变式)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.答案0.25考点二古典概型3.(2018江苏淮安宿迁高三期中)连续抛一枚质地均匀的硬币3次,恰好2次正面向上的概率为.答案4.(2017江苏南京、盐城一模,5)在数字1、2、3、4中随机选两个数字,则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.答案5.(2017江苏南京学情调研,4)现有4名学生A,B,C,D平均分乘两辆车,则“A,B两人恰好乘坐同一辆车”的概率为.答案6.(2017镇江高三上学期期末)袋中有形状、大小都相同的5个球,其中3个白球,2个黄球,从袋中一次随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为.答案7.(2017南京、盐城第二次模拟考试,3)某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为.答案考点三几何概型8.(苏教必3,三,3,5,变式)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为.答案9.(苏教必3,三,3,3,变式)已知△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为.答案10.(2016江苏泰州模拟)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏徐州四校模拟)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是.答案二、解答题(共15分)2.(2017江苏南京溧水中学质检,16)某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究,他们每天在实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠,然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数,得到如下资料:日期 4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差10 13 11 12 7感染数23 32 24 29 17(1)求这5天的平均感染数;(2)从4月1日至4月5日中任取2天,记感染数分别为x,y,用(x,y)的形式列出所有的基本事件,其中(x,y)和(y,x)视为同一事件,并求|x-y|≤3或|x-y|≥9的概率.解析(1)由题意得,这5天的平均感染数为=25.(2)(x,y)的所有取值情况为(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17),基本事件总数n=10,设满足|x-y|≥9的事件为A,则事件A包含的基本事件为(23,32),(32,17),(29,17),共有m=3个,∴P(A)=,设满足|x-y|≤3的事件为B,则事件B包含的基本事件为(23,24),(32,29),共有m'=2个,∴P(B)=,∴|x-y|≤3或|x-y|≥9的概率P=P(A)+P(B)=+=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 古典概型1.(2017江苏东海中学质检)一个均匀的正四面体面上分别标有1、2、3、4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别记为b、c.若方程x2-bx-c=0至少有一根a∈{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,方程为“漂亮方程”的概率为.答案2.(2016江苏苏北四市调研,5)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天值班的概率为.答案方法2 几何概型3.(2017江苏南京溧水中学质检,6)长为4、宽为3的矩形ABCD的外接圆为圆O,在圆O内任意取点M,则点M在矩形ABCD内的概率为.答案4.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.解析(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个);由a·b=-1得-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0}.画出图形如图,矩形的面积S矩形=25,阴影部分的面积S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.。
高考数学(人教A)一轮课件：12-2古典概型与几何概型
考点
考纲要求
考查角度
1.掌握古典概型的特点及 1.用列举法求概率
古典概型 概率的计算公式
2.用排列组合知识
2.用列举法求概率
求事件的概率(理)
几何概型
了解几何概型的概念，会 解决与长度、面积、体 积、角度相关的几何概型 的问题
考查几何概型和线 性规划、圆等综合 知识
1.从近几年高考试题来看，古典概型、几何概型是高考热点． 2．从题型上看，既有选择题、填空题，又有解答题，题目 难度中低档． 3．命题切入点：直接考查古典概率的运算与平面图形面积 计算结合等知识，考查几何概率的计算．
答案：B
2．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们
作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
1
1
A.10
B.8
C.16
D.15
解析：设正六边形为 ABCDEF，从 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，可以看作随机选取 2 个顶点，剩下的 4 个顶点构成四边 形，有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE， CF，DE，DF，EF 共 15 种．若要构成矩形，只要选相对顶点即 可，有 AD，BE，CF，共 3 种，故其概率为135＝15.
特别提醒：应用古典概型计算概率时，要验证试验中基本事 件的两个条件．
3．几何概型
(1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域
的 长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型．
(2)计算公式：
构成事件A的区域
P(A)＝ 试验的全部结果所构成区域
全国统考2022高考数学一轮复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习：12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件.②等可能性:每个基本事件出现的可能性..(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A 包括的结果有m 个,则P (A )=mn.( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( ) 2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( )A.23 B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 的概率为( )A.19B.29C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .5.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于16 cm 2的概率为 .关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是 ( )A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564B.516C.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314D.1114考古典概型与统计点的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);;第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn 第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.√24D.√23(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=√3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE⏜,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为( )A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 对应的区域,在图形中画出事件A 对应的区域,然后用公式P (A )=构成事件A 的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )A.14B.12C.58D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O ,则四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为 .考向3 与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域为Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为( )A.π4B.π8C.π5D.π10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练6(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:√30.8269≈2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2古典概型与几何概型必备知识·预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥(2)基本事件3.(1)①只有有限个②相等4.(1)长度 (3)构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 4本名著选两本共有C 42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C 31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为36=12.故选B .3.C 由图形得,△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x ,由DE ∥BC 则有ADAC =DECB ,即4-x 4=x 2,解得x=43,设在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 为事件A ,由几何概型中的面积比得P (A )=S 正方形DEFC S △ABC=(43)212×4×2=49.故选C .4.19 本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a ,b ,每个样本点记为(a ,b ),则所有的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19. 5.25 设线段AC 的长为x cm,则线段CB 长为(10-x )cm,那么矩形面积为x (10-x )<16,解得x<2或x>8,又0<x<10, 所以该矩形面积小于16cm 2的概率为P=410=25.关键能力·学案突破例1(1)A (2)B (1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A .(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A 55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A 22A 33+A 22A 32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn =24120=15.故选B .对点训练1(1)A (2)A (1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C 62=15,所以概率是P=mn =1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C 82=28(种),其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C 32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30, 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30×115=2,女生人数为45×115=3.则从5人中任意选取2人共有C 52=10种,抽取的2人中没有男生有C 32=3(种),则至少有一名男生有C 52−C 32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x =4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a 1,a 2,非优秀服务网点有4个,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ,则事件M 包含的可能情况有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),共8种,故所求概率P (M )=815.例3(1)C (2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k (x+3)的距离d=|3k |√1+k2≤1,解得-√24≤k ≤√24,所以所求的概率为√222=√24,故选C.(2)连接AC ,如图所示,tan ∠CAB=CB AB =1√3=√33,所以∠CAB=π6,直线AP 在∠CAB 内时,直线AP 与线段BC 有公共点,所以所求事件的概率为π6π2=13.对点训练3(1)B (2)16 (1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟. 所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B .(2)因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16.例4(1)C (2)A (1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为R ,则4πR 2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V 1=13×π×22×4=16π3(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V 1V=16π34000π3=0.004.对点训练4(1)D (2)2764 (1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r ,则S 大扇形=α2R 2,S 小扇形=α2r 2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为α2R 2-α2r 2α2R 2=R 2-r 2R 2=3r 24r 2=34.(2)当四棱锥O-ABCD 的体积为23时,设点O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA=2,所以PH PA=34,所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD=PH PA 3=343=2764. 例5D 作出不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T ,如图所示:则区域Ω表示△ABC ,由{2x -y +4=0,x +2y -3=0,解得点B (-1,2).又A (-2,0),C (3,0), ∴S △ABC =12×(3+2)×2=5,又区域T 表示圆面,且圆心M (1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC 内的面积为12π×12=π2,∴所求的概率为π25=π10.对点训练5D 因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω={(x ,y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A 可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=302-152302=34,故选D .例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n 个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S 圆S 正方形=14π×1212≈m n,所以π≈4m n.故选C .对点训练6A 设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r×√32r=3√32r 2,因而所求该实验的频率为3√32r 2πr 2=3√32π=0.8269,则π=3√32×0.8269≈3.1419.。
高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2 古典概型学案
§12.2古典概型考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 2017古典概型理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.理解19(1),7分12(文),4分9,5分14(文),4分04(2)(自选),5分04(2)(自选),5分分析解读 1.古典概型的概率求法是高考常考内容,是高考的命题热点.2.考查古典概型的概率的计算是本节最为常见的考查内容,往往与排列、组合相结合,并体现对分类讨论思想的考查.3.预计2019年高考试题中,对古典概型的考查可能性很大.五年高考考点古典概型1.(2017课标全国Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.答案 C3.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A. B. C. D.1答案 B4.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.答案 C5.(2014浙江文,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.答案6.(2013浙江文,12,4分)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.答案7.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案8.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案9.(2014广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.答案10.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.答案11.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解析从袋中取出3个球,总的取法有=35种;其中白球比红球多的取法有+·=13种.因此取出的白球比红球多的概率为.12.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析本题考查古典概型.(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{ B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为:P==.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为:P=.教师用书专用(13—15)13.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案14.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n= .答案815.(2013湖南,18(1))某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率.解析所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点古典概型1.(2017浙江杭州质检,3)有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,若从这五条线段中任取三条,则所取的三条线段能构成三角形的概率为( )A. B. C. D.答案 B2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)甲、乙等五名工人被随机地分到A,B,C三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人,则甲、乙被同时安排在A岗位的概率为.答案3.(2018浙江杭州二中期中,13)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个小球.若两个小球颜色不同,则有种不同的取法(用数字回答),在两个球颜色不同的条件下,两球编号之差最大的概率为.答案96;4.(2017浙江衢州质量检测,12)一个袋中装有质地均匀,大小相同的2个黑球和3个白球.从袋中一次任意摸出2个球,则恰有1个是白球的概率为;从袋中一次任意摸出3个球,摸出白球个数ξ的数学期望Eξ是.答案;5.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),18)一个口袋中装有n个红球(n≥4且n∈N*)和5个白球,从中摸2个球,2个球颜色相同则为中奖.(1)若一次摸2个球,其中奖的概率为,求n的值;(2)当n=4时,若先摸1个球,记下颜色后,把球放回,然后再摸1个球,并记下颜色,求此时中奖的概率.解析(1)一次从(n+5)个球中摸2个球,有种结果,其中两球不同色有种结果,则一次摸2个球中奖的概率P=1-=.由=,得n=4或n=5.(2)若n=4,则所求概率是×+×=.6.(2016浙江高考冲刺卷(二),“计数原理与概率”模块,1)袋子中放有大小和质地相同的10个小球,其中红球5个,白球3个,黄球2个.若从袋子中随机抽取一个球,取到红球得1分,取到白球得2分,取到黄球得3分.求从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分的概率.解析从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分有以下2种情况:①抽到的2个球都是白球,其概率为P1===,②抽到的2个球中,一个是红球,另一个是黄球,其概率为P2===.所以从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分的概率为P=P1+P2=.7.(2016浙江模拟训练卷(四),“计数原理与概率”模块,1)4名男生3名女生排成一排,求3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的概率.解析7人排成一排共有种不同的排法,其中3名女生互不相邻的排法有·种,3名女生排在一起的排法有·种,则3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的排法有-·-·种.故3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的概率为P==.B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,4)袋中共有7个球,其中3个红球,2个白球,2个黑球.若从袋中任取3个球,则所取3个球中至多有1个红球的概率为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017浙江宁波期末,5)袋中有5个质地和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以ξ表示取出球的最小号码,则Eξ=()A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6答案 B二、填空题3.(2018浙江名校协作体期初,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种,学生甲被单独安排去金华的概率是.答案150;4.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),15)某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校,则这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的概率为.答案5.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),14)甲口袋里有大小相同、编号不同的4个黑球和3个白球,乙口袋里有大小相同、编号不同的3个黑球和2个白球,现从甲、乙两个口袋中各摸出2个球,则摸出的4个球全是白球的概率为;摸出的4个球中黑球个数ξ的数学期望是.答案;三、解答题6.(2016浙江高考冲刺卷(一),“计数原理与概率”模块,1)某学校把6件学生作品排成一排进行展览,求A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的概率.解析6件作品排成一排共有种排法.A作品有排在首位或末位2种情况,B,C两件作品看作整体作为一件作品与其余的三件作品排在一起.故A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的排法总数为2×2×.故A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的概率为P==.7.(2016浙江高考调研模拟卷二,“计数原理与概率”模块,2)袋中有6个红球和8个白球,任意取5个放入A 盒中,其余9个球放入B盒中,求A盒中白球个数与B盒中红球个数之和不是质数的概率.解析A盒中白球个数与B盒中红球个数之和不是质数只有两种情形:①A盒中没有白球,B盒中有1个红球,其个数之和不是质数;②A盒中有4个白球,B盒中有5个红球,其个数之和不是质数.故所求概率为P==.C组2016—2018年模拟·方法题组方法古典概型的概率计算的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,3)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数,则取出的两个数不是连续整数的概率是( )A. B. C. D.答案 D2.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,14)设各个数位上不同的数字的个数为ξ(规定:各个数位上不同数字的个数为1),则ξ=4时的概率是,ξ的数学期望是.答案0.504;3.一个口袋里有2个红球和4个黄球,从中随机地连取3个球,每次取一个,记事件A=“恰有一个红球”,事件B=“第3个是红球”.求:(1)每次取后不放回时,事件A,B的概率;(2)每次取后放回时,事件A,B的概率.解析(1)由不放回抽样可知,第一次从6个球中取一个,第二次只能从5个球中取一个,第三次从4个球中取一个,基本事件共有6×5×4=120个,又事件A包含的基本事件共有3×2×4×3=72个(第1个是红球,则第2,3个是黄球,取法有2×4×3种,第2个是红球和第3个是红球与第1个是红球的取法一样多),∴P(A)==.第三次抽取红球对前两次没有什么要求,因为红球数占总球数的,每一次取到红球都是随机的等可能事件,∴P(B)=.(2)由放回抽样知,每次都是从6个球中任取一个,取法有63=216种,事件A包含的基本事件数为3×2×4×4=96种.∴P(A)==.第三次取到红球包括B1={红,黄,红},B2={黄,黄,红},B3={黄,红,红},B4={红,红,红}四种两两互斥的情形,P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,P(B4)==.∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)=+++=.。
高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.2古典概型与几何概型课件理新人教B版
= S 阴 = 3 ,故1选C.
S正方形 1 3
答案 C
2-1 (2016广西南宁月考,15,5分)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为
.
答案 1
3
3, 3 x 1,
解析
设f(x)=|x+1|-|x-2|,则f(x)=|x+1|-|x-2|=
求几何概型概率的基本步骤:
例2 (2015贵州红花岗模拟)设实数a,b均为区间[0,1]内的随机数,则关于x的不等式bx2+ax+ 1 <0
4
有实数解的概率为( )
A. 1
B1.
C1 .
2 D.
2
6
3
3
解析 当b=0,a=0时,不等式bx2+ax+ 1
4
<0等价于ax+ 1 <0,有实数解;
4
<0等价于1
突破方法
方法1 古典概型
求古典概型概率的基本步骤:
注意:较为复杂的问题的处理方法: (1)转化为几个互斥事件的和; (2)采用间接法,利用P(A)=1-P( A ). 例1 (2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不 小于该正方形边长的概率为 ( )
【知识拓展】 1.对古典概型的理解 (1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能 性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关 键. (2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型. 2.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件是等可能的,不同点 是基本事件数一个是有限的,一个是无限的.对于几何概型,基本事件可以抽象为点,这些点尽管 是无限的,但它们所占据的区域是有限的,根据等可能性,一个点落在区域的概率与该区域的几 何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关.
高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第五节 古典概型、几何概型课件
h
34
•【方法探究】 对于较复杂事件的概率，关 键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为 概率模型，用分析法、列表法求出基本事件的 总数，必要时将所求事件转化成彼此互斥的事 件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再 用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率 公式求出所求事件的概率．
h
35
•2．(理)本例中条件不变，在该团中随机采访3名游 客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率．
8
1．一枚硬币连掷 3 次，只有一次出现正面的概率是
()
3
2
A.8
B.3
1
1
C.3
D.4
h
9
解析：一枚硬币连掷 3 次，共有：(正，正，正)，(正， 正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反， 正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)8 种情况，而只有一 次出现正面的情况有：(正，反，反)，(反，正，反)，(反， 反，正)3 种情况，故 P＝38.
•在几何概型中，事件A的概率的计算公式如
下：
构成事件A的区域长度面积或体积
P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
h
7
•2．古典概型与几何概型有什么区别？
•提示：古典概型与几何概型中基本事件 发生的可能性都是相等的，但古典概型要 求基本事件有有限个，几何概型要求基本 事件有无限多个．
h
解析：基本事件的个数为 10，其中只有 x＝3π和 x＝53π时， cosx＝12，故其概率为120＝15.
答案：51
h
12
•4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数不大
于的概率为( )
•A．0.25
B．
•C．0.6
高考数学一轮必备 12.2《古典概型》考情分析学案
12.2古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 基础知识1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card A card I ＝m n. 2. (1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一 基本事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二古典概型【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件， 事件M 由C 13C 12＝6， 因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三 古典概型的综合应用【例3】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.【变式3】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点突破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析： 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16 B.15 C.13D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A。
高考数学一轮复习 12-2 古典概型课件 新人教A版
有的基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率为ccaarrdd（（AI））.
(√ )
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(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一
袋，测其重量，属于古典概型．
(×)
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2．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任
取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率
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4．(人教A必修3P127例3改编)同时掷两个骰子，向上点数不 相同的概率为________．
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 个可能的
结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概
率 P5 6
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5．从分别写1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每 张卡片被取到概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则 取到的两张卡上的数字之和为偶数的概率为________． 解析 法一 从分别写有 1，2，3，4，5 的五张卡片中任 取两张，可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1， 6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3， 6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共 15 种，其中和为偶数的情 况有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，6)，共 6 种，所以所求的概率是25.
为
()
A.15
B.25
C.35
D.45
解析 根据题意知，取两个点的所有情况为 C25种，2 个点
的距离小于该正方形边长的情况有 4 种，故所求概率 P＝1
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12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件.②等可能性:每个基本事件出现的可能性..(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.();如果某个事件A包括的结果有m个,则(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1nP(A)=m.() n(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( )A.23 B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 的概率为( )A.19B.29C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .5.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于16 cm 2的概率为 .关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是 ( )A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( )A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A ;②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ;③利用古典概型的概率公式P (A )=mn ,求出事件A 的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法 适用条件列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状 图法 树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为( )A.1564B.516C.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314 D.1114考点古典概型与统计的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);;第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn 第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.√24D.√23(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=√3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE⏜,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为( )A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 对应的区域,在图形中画出事件A 对应的区域,然后用公式P (A )=构成事件A 的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )A.14B.12C.58D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O ,则四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为 .考向3 与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域为Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为( )A.π4B.π8C.π5D.π10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练6(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:√30.8269≈2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2古典概型与几何概型必备知识·预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥(2)基本事件3.(1)①只有有限个②相等4.(1)长度 (3)构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 4本名著选两本共有C 42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C 31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为36=12.故选B .3.C 由图形得,△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x ,由DE ∥BC 则有ADAC =DECB ,即4-x 4=x 2,解得x=43,设在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 为事件A ,由几何概型中的面积比得P (A )=S 正方形DEFC S △ABC=(43)212×4×2=49.故选C .4.19 本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a ,b ,每个样本点记为(a ,b ),则所有的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19. 5.25 设线段AC 的长为x cm,则线段CB 长为(10-x )cm,那么矩形面积为x (10-x )<16,解得x<2或x>8,又0<x<10, 所以该矩形面积小于16cm 2的概率为P=410=25.关键能力·学案突破例1(1)A (2)B (1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A .(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A 55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A 22A 33+A 22A 32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn =24120=15.故选B .对点训练1(1)A (2)A (1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C 62=15,所以概率是P=mn =1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C 82=28(种),其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C 32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30, 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30×115=2,女生人数为45×115=3.则从5人中任意选取2人共有C 52=10种,抽取的2人中没有男生有C 32=3(种),则至少有一名男生有C 52−C 32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x =4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a 1,a 2,非优秀服务网点有4个,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ,则事件M 包含的可能情况有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),共8种,故所求概率P (M )=815.例3(1)C (2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k (x+3)的距离d=|3k |√1+k2≤1,解得-√24≤k ≤√24,所以所求的概率为√222=√24,故选C.(2)连接AC ,如图所示,tan ∠CAB=CB AB =1√3=√33,所以∠CAB=π6,直线AP 在∠CAB 内时,直线AP 与线段BC 有公共点,所以所求事件的概率为π6π2=13.对点训练3(1)B (2)16 (1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟. 所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B .(2)因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16.例4(1)C (2)A (1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为R ,则4πR 2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V 1=13×π×22×4=16π3(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V 1V=16π34000π3=0.004.对点训练4(1)D (2)2764 (1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r ,则S 大扇形=α2R 2,S 小扇形=α2r 2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为α2R 2-α2r 2α2R 2=R 2-r 2R 2=3r 24r 2=34.(2)当四棱锥O-ABCD 的体积为23时,设点O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA=2,所以PH PA=34,所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD=PH PA 3=343=2764. 例5D 作出不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T ,如图所示:则区域Ω表示△ABC ,由{2x -y +4=0,x +2y -3=0,解得点B (-1,2).又A (-2,0),C (3,0), ∴S △ABC =12×(3+2)×2=5,又区域T 表示圆面,且圆心M (1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC 内的面积为12π×12=π2,∴所求的概率为π25=π10.对点训练5D 因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω={(x ,y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A 可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=302-152302=34,故选D .例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n 个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S 圆S 正方形=14π×1212≈m n,所以π≈4m n.故选C .对点训练6A 设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r×√32r=3√32r 2,因而所求该实验的频率为3√32r 2πr 2=3√32π=0.8269,则π=3√32×0.8269≈3.1419.。