理解行列式的定义与性质
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式的认识
行列式的认识行列式（Determinant）是线性代数中的重要概念，它是一个方阵的一个标量值。
行列式可以用于描述线性方程组的解的情况，它能够衡量矩阵的几何性质和线性方程组的解的个数。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i和j的取值范围都是1到n，行列式的定义如下：当n=1时，行列式的取值就是矩阵中唯一的元素a_11。
当n>1时，行列式的取值等于所有排列的乘积之和，即det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn + a_11 * a_23 * ... * a_nn-1 + ... + (-1)^(1+n) * a_1n * a_22 * ... * a_n-1n在上述定义中，排列的符号为(-1)^(1+i)。
二、行列式的性质1. 行列式与转置：行列式的值不变，当A的转置记为A_T时，有det(A) = det(A_T)。
2. 行列式与倍数：若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以一个数k，则行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 行列式与行（列）的互换：若交换矩阵A的两行（列），则行列式的值变号，即det(A') = -det(A)，其中A'是A经过行（列）交换得到的矩阵。
4. 行列式与行（列）的线性组合：若将矩阵A的两行（列）相加（减），则行列式的值不变，即det(A'') = det(A)，其中A''是A的两行（列）进行线性组合后得到的矩阵。
5. 上三角矩阵和下三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素的乘积，下三角矩阵的行列式也同样。
三、行列式的应用1. 判断矩阵是否可逆：若一个n阶矩阵A的行列式不等于0，那么矩阵A可逆，有唯一解。
2. 线性方程组的解：对于一个n阶的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，那么此方程组有唯一解。
当行列式等于0时，方程组可能有无穷多个解或无解。
行列式与行列式的性质
行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。
本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。
对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。
二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。
这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。
2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。
3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。
这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。
4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。
5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。
三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。
这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。
3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。
行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。
4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。
行列式的认识
行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。
1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。
它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。
一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。
$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。
$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。
因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。
2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。
以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。
根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。
当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。
例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。
2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。
如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。
结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的认识
行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。
一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。
二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。
4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。
三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。
1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。
2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。
行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。
3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。
初中行列式的基本概念知识点
初中行列式的基本概念知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，也是初中数学学科中的一部分内容。
本文将介绍初中行列式的基本概念和知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握行列式的概念。
一、行列式的定义行列式是一个数学运算符号，用于将一个方阵转换成一个数。
对于一个n阶的方阵A(a_ij)，其行列式记作|A|或det(A)。
其中，a_ij表示A 矩阵中第i行第j列的元素。
例如，对于一个2阶矩阵A：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21。
二、行列式的性质行列式具有一些特殊的性质，可以用于简化运算或推导其他性质。
以下是行列式常用的性质：1. 交换行列式的两行（列），行列式的值不变。
2. 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
3. 行列式的某一行（列）的倍数取出来，行列式的值也要相应除以这个倍数。
4. 行列式的某一行（列）的倍数和另一行（列）的组合，等于这个行列式中对应位置元素的代数余子式乘以另一行（列）对应位置的元素之和。
三、行列式的计算方法初中阶段，我们主要关注2阶和3阶方阵的行列式计算。
对于2阶矩阵，行列式的计算方法已经在行列式的定义中给出。
对于3阶矩阵，行列式的计算方法有两种常用的形式：1. 代数余子式法：将3阶矩阵中的每个元素分别作为一个2阶矩阵，计算出每个2阶矩阵的行列式值，再按照符号规律相加减得到行列式的值。
2. 公式法：使用公式法计算3阶矩阵的行列式，可以简化计算过程。
公式如下：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32- a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a12四、行列式的应用行列式是线性代数中的重要概念，也有很多实际的应用。
以下是一些行列式在实际问题中的应用：1. 判断线性方程组的解的情况：对于一个n个未知量的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为0，则该线性方程组有唯一解。
大一行列式知识点总结
大一行列式知识点总结在大一的线性代数课程中，行列式是一个重要的概念。
行列式不仅仅是理论上重要，而且在解决线性方程组、计算矩阵的逆等问题时也起到了关键的作用。
本文将对大一行列式的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个方阵的重要属性，它可以简单地表示为一个数值。
对于一个n阶方阵A，其行列式用det(A)或者|A|表示。
求解行列式的值需要根据不同的规则进行计算，常见的方法有拉普拉斯展开法和三角形法则。
行列式具有以下几个基本性质：1. 若A是n阶方阵，B由A的两行互换位置得到，则|B| = -|A|。
2. 若A是n阶方阵，B由A的某一行乘以k得到，则|B| = k|A|。
3. 若A是n阶方阵，B由A的两行相同得到，则|B| = 0。
4. 若A是n阶方阵，B由A的某一行加上另一行的k倍得到，则|B| = |A|。
二、行列式的性质与线性方程组的关系行列式与线性方程组之间存在着密切的关系。
通过求解线性方程组的系数矩阵的行列式可以判断方程组是否有唯一解、无解或者无穷多解，并且还可以求得解的表达式。
1. 方程组有唯一解的条件是系数矩阵的行列式不等于0。
2. 方程组无解的条件是系数矩阵的行列式等于0。
3. 方程组有无穷多解的条件是系数矩阵的行列式等于0，并且方程组中的未知数个数大于方程组的个数。
三、行列式的性质与矩阵的逆的关系行列式还可以用来求解矩阵的逆。
对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵A^-1的存在与行列式的值有关。
1. 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1存在。
2. A的逆矩阵A^-1可以表示为A的伴随矩阵的每个元素除以A的行列式：A^-1 = adj(A)/|A|。
四、行列式的计算方法除了通过拉普拉斯展开法和三角形法则来求解行列式的值外，还可以通过一些常见的行列变换规则来简化计算过程。
1. 交换两行或两列的位置不改变行列式的值。
2. 将某一行或某一列的元素乘以k，行列式的值也将变为原来的k倍。
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
线性代数1.行列式定义与性质
ai1
ai 2
ain
a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0, j s.
ak1 ak 2
akn
证 把行列式 D按第 j 行展开，有 an1 an2
例如
2 3 5 1 2 2 624
A23 1 23 M23
2
6
3 2
14
8
于是：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12 A12 a13 A13
0___k___1____1___0
0
00k2 0 0 k2 0
k 2 (k 1)(k2 4)
2k
002k 0 0 2k
所以，D=0的充要条件是 k 1 或 k 2
27
定理
n 阶行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a11
a12
a1 n
ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0, i k.
a11
证明： D
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
an2
a1n
a11
a12
asn
rs krt
as1 kat1
as2 kat2
atn
at1
at 2
ann
an1
an 2
a1n asn katn
关于行列式的计算方法
关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。
本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。
一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。
对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。
行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。
二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。
即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。
根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。
三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。
以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。
将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。
四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。
对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。
初数数学中的行列式公式详解
初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。
对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。
二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。
2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。
3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。
拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。
三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。
1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。
2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。
3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。
4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。
5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。
四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。
行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。
本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。
对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。
（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。
（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。
（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。
二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。
如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。
2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。
对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。
3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。
矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
第一章 行列式2
注:
第i行（或列）乘以 ，记作 行 或列）乘以k，
r × k(或 i × k) c i
L a1n L L L kain L L L ann
推论： 行列式中某一行（ 推论： 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到 行列式记号的外面。 行列式记号的外面。 注: 第i行（或列）提出公因子 ，记作 行 或列）提出公因子k，
1 x1
2 Dn = x1 M n x1 −1
1 x2
2 x2 M
L L L
1 xn
2 xn M
n n x2 −1 L xn −1
1 0 =0 M
1 x2 − x1 x2 (x2 − x1) M
1 x3 − x1 x3 (x3 − x1) M
L L
1 xn − x1
L xn (xn − x1) M
n n n 0 x2 −2 (x2 − x1) x3 −2 (x3 − x1) L xn −2 (xn − x1)
2.若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它 若 阶行列式每个元素都表示成两数之和 阶行列式每个元素都表示成两数之和， 可分解成 例：
2 个行列式。 个行列式。
n
a+ x b+ y c+ z d +w = = a b+ y c d +w a b c d + a + x b+ y z d +w y + x b z d + x y
第二节 行列式的性质
一.定义: 定义:
转置行列式: 转置行列式:将D的行与列互换所得新的行列式.
a11 a21 L an1 a12 a22 L a1n L a2n
n阶行列式 阶行列式
行列式性质详解及应用
行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。
本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。
设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。
根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。
若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。
二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。
2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。
通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。
三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。
1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。
对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。
2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。
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一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法得到。
4
30 1 例 3 （1）计算 1 − 5 0 的值。
1 2 −1
（2）求
11 23 49
1 x = 0 的根。 x2
解 （1）
30 1 1 − 5 0 = 22 1 2 −1
（2）
11 1 2 3 x = (x − 2)(x − 3) = 0 4 9 x2
取定，故 p2 ， p3 ， p4 只有在 2，3，4 中取值。 类似考察 a2 p2 的取值 。。。
又由于 τ (1234) = 0 ，从而成立 D4 = a11a22a33a44 。
例 5 的结论可推广到一般 n 阶下三角行列式的计算：
a11 0 L 0
Hale Waihona Puke a21 La22 LL O
0 L
= a11a22 Lann
证明 （1）相邻位置元素的对换。设
a1Lal pqb1Lbm ⎯(⎯p⎯,q)→ a1Lalqpb1Lbm .
并设 tl+1 = s1 , tl+2 = s2 , 对换之后， q, p 的逆序数分别是
tl +1
=
⎩⎨⎧ss2 2−
1, ,
p>q ,
p<q
tl +2
=
⎩⎨⎧ss11
+
, 1,
p>q ,
例如 231 是偶排列；321 奇排列。
逆序数的计算方法： 设 p1 p2 L pn 是一个 n 级排列。定义该排列中某个元素 pi 的逆
2
序数为：在 p1 p2 L pi−1 中比 pi 大的个数，记为 ti 。于是
n
∑ τ ( p1 p2 L pn ) = t1 + t2 + L + tn = ti . i =1
级排列，其中每个自然数 pi 称作（第 i 个）元素。
如 213 是一个 3 级排列。 强调 “有序”. 那么 1，2，3 可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有 6 种。 乘法原理
3 个自然数共有 3 × 2 ×1= 3!= 6 种不同排列。
用 Pn 表示所有 n 级不同排列的种数。故 P3 = 3!= 6 ；。不难得到：
若记 DT 中 (i, j ) 位置上的元素为 bij ，即成立 bij = a ji 。
性质 1 D = DT 。
证明 记 DT = det(bij ) , 则 bij = a ji . 由定义
∑ ∑ DT =
(−1) b b τ ( p1 p2Lpn ) 1 p1 2 p2
L bnpn
=
(−1)τ ( p1 p2L pn ) a a p11 p2 2 L a pnn .
（1）
2.3 行列式的基本性质
知识点: 行列式的六大性质一个推论（通过例子介绍性质的应用）；
7
a11 a12 L a1n D = a21 a22 L a2n
L LOL an1 an2 L ann
a11 a21 L an1 DT = a12 a22 L an2
L LOL a1n a2n L ann
转置行列式 行列式 D 的行与列对应互换得到的新行列式，记作 DT ，
例 1 计算 τ (32415) 和 τ (n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅L⋅ 2 ⋅1) 。 解 τ (32415) = 4 。
τ (n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅L⋅ 2 ⋅1) = 0 + 1 + 2 + L + (n − 2) + (n −1) = n(n −1) 。 2
0 dn−1 L 0 0
dn 0 L 0 0
6
解 由定义
∑ D =
(−1)τ
(
p1
p2
L
pn
a) 1 p1
a2
p2
Lanpn
n!
只有 p1 = n 的项 a1p1 a2 p2 Lanpn 才可能不为零，其它都为零。…. 因此所有 n!项中只剩
n(n −1)
下一项： a1na2(n−1) Lan1 = d1 ⋅ d2 ⋅L⋅ dn 。由例 1，该项的符号是 (−1) 2 。.
3
再作 m 次相邻元素的对换： a1Lalqc1Lcm pb1Lbk
共 2m + 1次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。
■
推论 1 任意 n 级排列 p1 p2 L pn ，都可以对换成标准顺序排列1⋅ 2Ln ，且对换次数的奇 偶性与排列 p1 p2 L pn 具有相同的奇偶性。
例 2 把 32415 对换成标准顺序的排列。
a22 L a2n = a11 L L L
an1 L ann
注意行列式的定义也可以写成：
a11 a12 L a1n
a21 L
a22 L
L L
a2n L
=
∑ (−1) a a La τ (q1q2 Lqn )
n!
q11 q2 2
qnn
an1 an2 L ann
其等价性的证明由下一节的性质 1 即可得到。
1
第一章 行列式
要求： 1） 理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法；
2） 利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单 n 阶行列式。
3）掌握克莱姆法则。
知识点: 排列; 逆序; 对换。 一、 排列
2.1 排列与逆序
定义 1（排列） n 个不同自然数 1,2,L, n 组成的一个有序数组 p1 , p2 ,L, pn 称作为 n
a11 a12 L a1n
a21 L
a22 L
L L
∑ a2n
L
=
(−1) a a τ ( p1 p2 L pn ) 1 p1 2 p2
Lanpn
，
n!
an1 an2 L ann
表示对所有 n 阶排列 p1 p2 L pn 的种数进行相加，共有 Pn = n! 项。 （ i , j ）
位置上的元素用 aij 表示。 aii 称作对角元素。一般可记作 Dn （或 D ）； det (aij )
为 1 时， p2 ,L, pn 只能在 2,L, n 中取值。又由于 τ (1p2 L p4 ) = τ ( p2 L p4 ) ，于是
∑ ∑ D =
(−1)τ (1p2Lpn ) a11a2 p2 Lanpn = a11
(−1)τ
(
a p2L pn ) 2 p2
L a npn
( n −1)!
( n −1)!
次位置对换而成的，故 312 ⎯⎯2→123 ；同时 123 ⎯⎯2→ 231）。由推论 1.2, p1 p2 L pn 与
q1q2 Lqn 有相同奇偶性。故
∑ ∑ DT =
(−1)τ ( p1 p2L pn ) a a p11 p2 2 L a pnn =
(−1)τ (q1q2Lqn ) a1q1a2q2 L anqn = D
强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征，
（2）位置与位置上的元素区别。
5
特别，定义一阶行列式（即 n = 1 ）为： a11 = a11 。
例 4 在六阶行列式中，项 a23a31a42a56a14a65 应带那种符号。
例 5 利用行列式的定义证明
证明 由定义
a11 0 0 0
D4
=
三、 对换
定义 3（对换） 在某个 n 阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换 ps 与 pt 的位置），
其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作
p1L ps L pt L pn ⎯(⎯ps ,⎯pt )→ p1L pt L ps L pn .
定理 1 对换改变排列的奇偶性。
例如：τ (123) = 0 ，偶排列， 123 ⎯⎯(1⎯,2) → 213. 奇排列。
三阶行列式定义的特征：
（1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数；
（2） 每项有 3 个数相乘： a1p1 a2 p2 a3 p3 ，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为 123，列足标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ；
（3） 每项的符号由列足标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 (−1)τ ( p1 p2 p3 ) 。
故三阶行列式可写成
a11 a12 a13
∑ D3 = a21 a22 a23 =
(−1) a a a τ ( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
a31 a32 a33
3!
二、 n 阶行列式
定义 4（行列式） 由 n2 个数组成的 n 行 n 列的 n 阶行列式定义如下：
其中 ∑ n!
Pn = n(n −1)L2 ⋅1= n! .
二、逆序
标准顺序 n 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（ n 级）排列的标准顺序。
如 123 是一个（3 级）标准顺序的排列。
定义 2（逆序） 在 p1 p2 L pn 中，若有 ps > pt ( s < t ) ，则称 ps 与 pt 构成该排列的一 个逆序（数）；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数，记作 τ ( p1 p2 L pn ) 。 奇排列 当 τ ( p1 p2 L pn ) 为奇数时，称 p1 p2 L pn 为奇排列。 偶排列 当 τ ( p1 p2 L pn ) 为偶数或零时，称 p1 p2 L pn 为偶排列。
a21 a31
a22 a32
0 a33
0 0 = a11a22a33a44
a41 a42 a43 a44
∑ D4 =
(−1) a a a a τ ( p1 p2 p3 p4 ) 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4