隐函数的求导方法精编版

第五节
第九章
隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法三（微分法） 方程两边同时微分 d (x y2 ez ) dz
dx 2 ydy ezdz dz
dz dx 2 ydy 1 ez
z 1 x ez 1
z 2 y y ez 1
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例3. 设x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解法2（微分法） 方程组两边同时微分
udx xdu vdy ydv 0
udy ydu vdx xdv 0
xdu ydv udx vdy ydu xdv vdx udy
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
什么是隐函数？
显函数:
y 3x2 sin 2x 5ex
y 4x ln(x 1)
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隐函数: F (x, y) 0
二元方程
如
x2 y2 1
有时可以将隐函数显化：
x2 y2 1
或者
y y(x) 一元隐函数
y y(x)
y 1 x2
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比 行列式.
雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.设函数
满足:
① 在点 导数；
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
且有偏导数公式 :
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
Fx Fv Gx Gv
(P85)
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
Fy Fv
y J ( y, v)
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
J (F,G) (u, v)
v 1 (F,G) x J (u, x)
x2 y2
u xu yv
x x2 y2
u xv yu
y x2 y2
显然，利用全微分法求偏导数更简便
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例4.设函数 邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内
x x
Fx Fv
系数行列式 J Fu Gu
Fv Gv
0,
故得
u x
Gx
Fu Gu
Gv
Fv Gv
解的公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x )
(y5 2y x 3x7)' 0 5y4 y ' 2 y '1 21x6 0
1 21x6 y'
5y4 2
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
方法三（微分法） 方程两边同时微分
d ( y5 2 y x 3x7 ) d (0)
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v )
Fx Gx
Fu Gu
uuxxyvGFvv
1v(F0, Jvx(u0, x
G) y)
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例3. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
③
J
P
( F , G) (u, v)
P
0
,
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
用Gramer法则
udx vdy y
vdx udy du
x y yx
x x(udx vdy) y(vdx udy) x2 y2
xu yv dx xv yu dy
x2 y2
x2 y2
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du xu yv dx xv yu dy
x2 y2
5y4dy 2dy dx 21x6dx 0
解出：
dy 1 21x6
dx 5 y4 2
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 二阶导数 :
dy Fx dx Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
F ( x, G(x,
yy,,uu,,vv))0xyuyxy((uu,,uxvv))00vy
v x
②
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注意 J 0, 从方程组②解得
1 x
u 1 x J 0
v y
1y, J v
v
x 1
v 1 x J
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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由一个三元方程确定的隐函数 二元显函数：
z 3x2 y sin xy 5exy z xy
ln(x y)
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则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
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例2 x y2 ez z z z(x, y), 求 2 z xy
z 1 z 2y ,
x ez 1 y ez 1
2z xy
y
( z ) x
1
( ez
) 1
'
y
(ez 1) 'y (ez 1)2
ezzy (ez 1)2
2 yez (ez 1)3
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x2
.
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练习 (x az, y bz) 0 z z(x, y),求a z b z
x y
解： d(x az, y bz) 1 'd(x az) 2 'd( y bz) 1 ' (dx adz) 2 ' (dy bdz)
1 ' dx 2 ' dy (a1 ' b2 ')dz
课内练习
设x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
Biblioteka Baidu(2
z)2 (2 z)3
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法一（公式法）
F (x, y, z) x y2 ez z
Fx 1 Fy 2 y Fz ez 1
z Fx 1 x Fz ez 1
方法一（公式法） F (x, y) y5 2 y x 3x7
Fx 1 21x6 Fy 5y4 2
dy dx
Fx Fy
1 21x6
5y4 2
1 21x6
5y4 2
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
方法二（直接求导法） 方程两边对 x 求导，把 y 视为函数。
x u y v u x x
y u x v v x x
练习: 求 u , v y y
答案:
由题设 J x y x2 y2 0 yx
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
dz
a1
1
' b2
'
(1
'
dx
2
' dy)
z 1 ' x a1 ' b2 '
z 2 ' y a1 ' b2 '
a z b z 1 x y
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx Gu Gx
定理F证u 明F略v . 仅推G导u 偏G导v 数公式如下：
v y
1 J
(F,G) (u, y )
1 Fu Fv Gu Gv
Fu Fy Gu Gy
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设方程组
F( G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)
0 0
有隐函数组
则
两边对 x 求导得
二元隐函数：
F (x, y, z) 0
z z(x, y)
三元方程
二元隐函数：
如 x2 y2 z2 R2
z z(x, y)
可以显化
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2
z R2 x2 y2
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x2 y2 z2 R2 z R2 x2 y2 z R2 x2 y2
连续偏导数的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F(x, y,u,v) x x (u,v) 0 G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
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则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
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x3 y3 6xy
在不同的范围内，此方程（或者它代表的图形） 可以确定三个不同的单值函数
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定理1. 设函数
在点 P(x0, y0 )的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
z y
Fy Fz
2y ez 1
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法二（求偏导）
方程两边对 x 求偏导，把 z 视为函数，y 视为常数。
(x y2 ez ) 'x zx 1 0 ezzx zx
1 zx ez 1
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x y2 ez z z z(x, y) 无法显化，无法写成显函数
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定理2 .若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;
② F(x0 , y0, z0) 0 ; ③ Fz (x0 , y0, z0) 0 ,
y 1 x2
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x2 y2 1 y 1 x2
y 1 x2
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又如 x3 y3 6xy 但很难显化
y y(x)
笛卡尔叶形线
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x3 y3 6xy
y y(x)
在切线不平行于y轴的点附近 曲线可以局部地确定一个单值函数