能量和功率密度谱111

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2
(5.57)
= ������ ������
2
������ ������
2
(5.58)
如果在此表达式两边用 π 划分并且用(5.49)等值取代,我们得到一 个表达式,它描述了一个通过线性系统的能量传输: ξ������ ������ = ������ ������
2
����� ������
(5.59)
括号中的方程是的傅立叶变换(5.1)的定义方程;所不同的是指数的 符号,在傅里叶方程中–ω变换为ω

������ −������ =
−∞
������ ������ ej ω������ ������������
这个结果代入的能量方程(5.5)为 1 ������ = 2π

������ ������ ������ −������ ������������
我们写出信号������ ������ 的傅立叶变换的标准平均功率 1 ������ = ( )2 2π

������ ������������0
−∞
2
1 = 2 ������ 0 4π
2
1 + 2 2π

������ ������������0
������ =1
2
可以看出, 一个周期的信号, 任何频带的功率分布可以确定信号的傅立 叶变换。
图 5.35 周期信号功率谱密度 总结在这个范围内的离散频率分量的功率可以得出在带宽为 ω ≤ 1000rad/s的标准平均功率: 116.7 + 2(72.0 + 13.0) = 286.7 W 功率和能量传输 该系统的输入输出关系也可以表示能量或功率谱密度的输入或输出信 号。 ������ ������ = ������ ������ ������ ������ 首先我们偶联(5.57)两侧 ������ ∗ ������ = [ ������ ������ ������ ������ ]∗ = ������ ∗ ������ ������ ∗ ������ 等式两边乘以(5.57)得 ������ ������ ������ ∗ ������ = ������ ������ ������∗ ������ ������ ������ ������ ∗ ������ 或 ������ ������
−∞
对于信号 ƒ(t),是真正的价值(这包括所有电压和电流波形,可以由一 个物理电路生产), ������ ������ = ������ ∗ ������ 其中������ ∗ ������ 是函数������ ������ 的复共轭,因此
外文科技文献译文
1 ������ = 2π

1 ������ ������ ������ −������ ������������ = 2π −∞ 1 ������������ = 2π

������ ������
−∞
2
������������ =
1 π

|������ ������ |² ������������
0
信号 f(t)的能量谱密度函数的定义为 ξ������ ������ ≡ 1 ������ ������ π
2
=
1 ������ ������ ������ ∗ ������ π



|������ ������ |² ������������
−∞
最后,我们得到重要的结果, ������ =
−∞
������ ������
2
������ ������
−∞
2
������������
(5.48)
由方程(5.48)中所描述的关系被称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。可 以证明(5.48)是有效的实时和复数信号。 因为函数|������ ������ |² 是一个真正的频率函数, 我们可以重写频谱的能量 方程 ������ = 1 2π

������ =
−∞
|������������ (������)|² ������������
由(5.48)帕塞瓦尔(Parseval)定理,能量可以������������ (������))表示,获得

������ =
−∞
ƒ������ ������
2
������������ =
1 2π
∞ −∞
∞ ∞ ∞ ∞ −∞ ∞ −∞
1 2π
������ (������)ej ω������ ������������
������ (������)ej ω������ ������������] ������������
������ (������)[
−∞ −∞
������ ������ ej ω������ ������������] ������������
在这种的情况下,系统的输入是一个功率信号,操作的平均时间可应用
外文科技文献译文
于(5.58)两侧 1 ������������ ������ ������→∞ ������ lim 然后,从(5.53) ℘������ ω = ������ ������
2 2
= ������ ������
2
1 ������������ ������ ������→∞ ������ lim
本科生毕业设计(论文)
外文科技文献译文
译文题目(中文):
《信号,系统与变换》
(英文): 《Signals,Systems and Transforms》


电子与信息工程系 通信工程 08 秋 2 班 顾许杰 08032244 张葵
专业班级 学生姓名 学 号
指导教师
日 期
2011 年 10 月 29 日
ω2 ω1
����� ������ ������������
外文科技文献译文
图 5.33 一个矩形电压脉冲,其能量谱 功率密度谱 接下来, 我们假设一个有无穷的能量但包含一个有限功率的信号。这 些信号标准化平均信号功率是有限的 1 ������ = lim ������→∞ ������
������ 2 ������ − 2

这种形式的平均功率方程,积被称为用符号表示的功率谱密度 ℘������ ω ≡ lim
1 ������→∞ ������
������������ ������
2
(5.53)
在功率谱密度函数中,标准化平均信号功率方程为 ������ = 1 2π
∞ −∞
℘������ (ω)������������ =
外文科技文献译文
能量和功率密度谱
在本节中, 我们定义和应用能量谱密度函数和功率谱密度函数。这两个 函数是用来确定在频谱中能量信号或电源信号的能量分布。 信号能量分布的 认识,在分析和设计通信系统中是非常有价值的,例如。 能量设计谱 在 5.1 节,一个波形的能量信号定义为 ƒ(t) [式(5.5)] ������ =
∞ −∞
|������������ (������)|² ������������
从(5.51)注意到积分的范围已经改变。这是有道理的,因为������������ (������) 零 的幅度|������|>T/2
外文科技文献译文
因为������������ (������)具有有限能量,积分项可确认为在截断信号中包含的总能量:
������ ������
2
������������ < ∞
(5.51)
这样的信号称为功率信号。 阶跃函数, 符号函数和所有的周期函数是功率信号的例子。正如读者可 能已经推断,在现实生活中的应用波形通常采用功率信号。 功率信号工作在频域中产生一个问题: 功率信号有无穷的能量, 因此 , 不能进行傅里叶变换。为了解决这个问题,采用一个版本的时间截断信号。 图 5.34(c)所示的信号������������ (������)是一个信号������ ������ 的截断信号。截断信号可以通 过乘以如图 5.34 所示的有统一的幅度持续时间 T 的矩形脉冲信号������ ������ 得到, 图 5.34(b)所示。截断信号具有有限能量。
������������ ������ = ������ ������ rect(������/������) 该信号符合其他狄利克雷(Dirichlet)条件,因此,可以傅里叶变换。 ������������ (������)

������������ (������)
功率信号在工作时, 知道总功率如何分布在频谱中通常是可取的。考虑 早期发展, 这可能是由一个功率谱密度函数类似的能量谱密度函数。我们开 始写出长期截断信号的功率方程: 1 ������ = lim ������→∞ ������
(5.49)
并描述了信号能量频谱分布,根据能量密度函数,从而定义,能量方程 (5.48)可以改写为 ������ =
∞ ξ 0 ������
������ ������������
百度文库
(5.50)
例 5.19 矩形脉冲的能量谱密度
在图 5.33(a)项所示的矩形波形,我们以前发现,在图 5.33(b)中 所示的是 sinc 函数的频谱。 我们现在发现是能量谱密度。 这条曲线是幅度平 方和除以 2π形成的能量频谱,结果显示在图 5.33(c),下一步,我们把 关于 ω=0 轴的能量频谱增加频率分量,因为他们的重叠,此结果显示在图 5.33(d),这是一个矩形波形的能量谱密度 ξf ������ 我们根据能量谱密度曲线在一些特别的频率波段中通过寻找区域发现 所含的能量。例如,在图 5.33(d),在ω1 和 ω2 之间的频带中的能量是曲线 下的阴影区域。这种能量可以通过数学评估发现。 ������ ������ =
2
℘������ (ω)
(5.60)
通常情况下,在通信系统的信息信号确切内容无法预测,但是,其功 率谱密度可由统计学处理确定。因此,(5.58)中经常使用这些系统的分析 和设计。

例 5.21 系统的输出信号的功率谱密度
如图 5.36(a)所示一个信号 x(t)的功率谱密度是输入与线性系统的频 率响应,如图 5.36(b)所示。输出信号的功率谱密度 y(t),有方程(5.60) 所确定。 由于输入信号的功率谱密度是一个离散频率的函数, 可以通过评估方 程确定 x(t)功率谱密度是非零的频率 ℘������ ω = ℘������ ω ������ ������ 例如,要确定在������ = 60 率响应, 我们发现 ������ 60
|������������ (������)|² ������������
信号能量频域表达式可以是功率方程代入 ������ = lim������→∞ 2������������
1 ∞ |������ (������)|² ������������ −∞ ������
(5.52)
由于矩形脉冲上升时间,可以看出,信号能量也将增加。在极限中,因 为 T 趋于无穷大,能量也将成为无限。对于保持有限的信号平均功率,信号 能量必须与 T 相同的速度在增加信号的持续时间。在这种情况下, 交汇处的 T 上的极限和积分超过ω是允许的,所以 1 ������ = 2π 1 |������������ (������)|² ������������ −∞ ������→∞ ������ lim
1 2π
∞ 0
℘������ (ω)������������
(5.54)
因为℘������ (ω)是偶函数。 对于周期信号,标准化的平均功率可确定傅立叶级数为
∞ ∞
������ =
−∞
������������
2
2 = ������0 +2 ������ =1
������������
2
(5.55)
运用(5.35)所示的关系 ������ ������������0 = 2π ������������
∞ −∞
������ ������
2
������������ < ∞,
其中 E 是与信号相关的能量。在这一节中,描述能量信号一般包括有一 个有限的持续时间信号和一个接近零渐近趋近于无穷大的非周期信号。 如果是写成其傅立叶变换信号 ������(������) = 其能量方程可以改写为 1 ������ = ������ ������ [ 2π −∞ 可以重新排列,使标准化 ������ = 1 2π
外文科技文献译文

例 5.20 周期信号的功率谱密度
图 5.35(a)所示周期信号的幅度频谱,根据(5.56),功率谱密度可 以显示每个离散频率分量的幅度平方和除以4π2 。 此结果显示在图 5.35 (b) 中。应该注意在 1000 rad/s 以上的频率的频谱成分的幅度值都很小,但不为 零,可以由图 5.35(b)所示。
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