高等流体力学第四章解析

湍流输运模型
➢ 基于简化湍流流动模型而产生的，由于它直接 模拟动量、热量和浓度的输运，故称为湍流输 运模型。
➢ 这类模型将非稳态控制方程对时间作平均，在 所得出的关于时均量物理量的控制方程中包含 了脉动量乘积的时均值等未知量，于是所得方 程的个数就小于未知量的个数，要使方程组封 闭，必须做出假设，即建立模型。
4.1 湍流模型
➢ 这种模型把未知的更高阶的时间平均值表表示成 较低阶的、在计算中可以确定的量的函数。
➢ 湍流输运模型法又叫Reynolds时均方程法，当前 在室内气流计算方面，国际上主要还是采用这种 方法，在时均Reynolds方程法中，又有Reynolds 应力方程法及湍流粘性系数法两大类。
4.1.1 湍流粘性系数法
4.1.1 湍流粘性系数法
紊流脉动所造成的应力可以表示成为：
uiuj ij
ptij
t
ui x j
u j xi
2 3
ij
divV
pt是脉动速度所造成的压力，定义为：
pt
1
3
u2
v2
w2
2 K
3
这里K是单位质量流体紊流脉动动能：
K 1 u2 v 2 w 2 2
(4-5)
➢ 由上述时均方程的导出过程可见，一次项在时 均前后的形式保持不变，而二次项(即乘积项) 在时均化处理后则产生包含脉动值的附加项。
➢ 这些附加项代表了由于紊流脉动所引起的通量 转移(应力、热流密度等)，其称为Reynolds应 力或紊流应力。
➢ 为了使描写紊流对流换热的方程织得以封闭， 必须找出确定这些附加项而又不引入新未知量 的关系式。
4.1 湍流模型
完全模拟(直接模拟)
➢ 用非稳态Navier—Stokes(N—S)方程来对湍流进 行直接计算的方法。
➢ 这种方法，必须采用很小的时间与空间步长， 因而它对内存空间的要求很高，同时计算时间 也很长。
➢ 目前世界上只有少数能使用超级计算机的研究 者才能对从层流到湍流的过渡区流动进行这种 完全模拟的探索。
(ui ) uiu j p
t
x j
xi
(4-3)
x j
ui x j
uiuj
i 1,2,3
4.1.1 湍流粘性系数法
➢ 其它变量方程 对其它 变量作类似的处理，可得
t
u j
x j
x jx jFra bibliotekujS
(4-4)
4.1.1 湍流粘性系数法
关于脉动值附加项的讨论
u u u u2 u uv v u uw w 1 p p
t
x
y
z
x
2
u
x2
u
2
u
y 2
u
2
u
z 2
u
u
u
2
uv
uw
1
p
t x y z
x
0
x
u x
u
2
y
u y
uv
z
u z
uw
4.1.1 湍流粘性系数法
对其它两个方向也可作类似的推导。现在把三 个方向上的动量方程写成直角坐标中张量符导 形式：
4.1 湍流模型
大涡旋模拟
➢ 基于把湍流流动分为大涡旋和小涡旋流动的假 设，用一组三维非定常的方程求解大涡旋，用 近似紊流输运模型求解。
➢ 它不必对雷诺应力等输运项作假设，并能得到 非常丰富的紊流信息，但它仍需要相当大容量 内存的高速计算机，同时十分费机时，故在应 用中比较有限。
4.1 湍流模型
(4－1)
其中时间间隔 t 相对于紊流的随机脉动周期而
言足够地大，但相对于流场的各种时均量的缓
慢变化周期来说，则应足够地小。
物理量的瞬时值 、时均值 及脉动值 之间有
如下关系：
(4－2)
4.1.1 湍流粘性系数法
湍流控制方程
➢ 连续性方程
将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值与脉 动值之和并代入连续性方程，再对该式作时均 运算，得：
t
4.1.1 湍流粘性系数法
说明
➢ 连续性方程：
div V
0
(4-8)
t
散度表示单位体积的净通量。
引入物理量 表示某一物理量。
u u v v w w 0
x
y
z
4.1.1 湍流粘性系数法
显然：
u v w u v w 0 x y z x y z
即： u v w 0 x y z u v w 0 x y z
4.1.1 湍流粘性系数法
➢ 动量方程
以x方向的动量方程为例，作类似于上面的处 理，有
第四章
湍流及其数学模型
4.1 湍流模型
通风空调房间的空气流动一般为湍流，由于送 风温差的存在，浮升力对流动有一定的影响。 空气的流动满足连续性方程、动量方程和能量 方程。
空气流动的湍流特性一般采用适当的湍流模型 描述。
在湍流流动及换热的数值计算方面，已经采用 的数值计算方法大致分为完全模拟、大涡旋模 拟和湍流输运模型三类。
紊流的时均化
➢ 紊流物理量对时间平均值有两种定义，即经典 的Reynolds定义及质量加权平均的定义。
➢ 对不可压缩流体，两种平均方法得出相同的结 果。
➢ 我们采用Reynolds平均方法来研究不可压缩流 体的紊流流动。
4.1.1 湍流粘性系数法
任一变量 的时间平均值定义为：
1
t t
t dt
t t
动附加项可以引入相应的紊流扩散系数，为简便
起见均以 t 表示，则紊流脉动所传递的通量可
以通过下列关系式而与时均参数联系起来：
uj
t
x j
(4-6)
实验表明， t 与 t的比值，即紊流Prandtl数或紊
流Schmidt数则几乎是一常数。在紊流数值计算
的文献中常用符号 表示该比值，即：
t
(4-7)
4.1.1 湍流粘性系数法
引入Boussinesq假设以后，计算紊流流动 的关键就在于如何确定t 。
所谓紊流模型，在这里也就是指把t 与 紊流时均参数联系起来的关系式。
依据确定 t 的微分方程数目的多少，又 有所谓零方程模型、一方程模型及两方 程模型等。
4.1.1 湍流粘性系数法
类似于紊流切应力的处理，对其它变量的紊流脉
4.1.1 湍流粘性系数法
➢ 实际上，紊流脉动值附加项的规定是Reynolds 时均方程计算紊流的核心内容。
➢ 所谓紊流模型就是指把紊流的脉动值附加项与 时均值联系起来的一些特定关系式。
➢ 在紊流粘性系数法中，把紊流应力表示成紊流 粘性系数的函数，整个计算的关键就在于确定 这种紊流粘性系数。
➢ Boussis(1877)假设，紊流脉动所造成的附加应 力也与层流运动应力那样可以同时均的应变率 关联起来。