第五讲 fuzzy集理论及应用

“ ” 称为极大一极小( — )复合运算，这种运算在模糊关系方程以 及模糊神经网络等领域有着广泛的应用。

例、
由定义可求得：
四
隶属函数的确定方法
模糊统计法 三分法
隶属函数的确定方法
1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素 ：
例、
选取n位合适的人，他们能理解“年轻人”这一概念， 并可以用数量来近似描述，即每个人能根据自己对
例、设有论域： U={ 1,2,3,4,5 } ，用模糊集 表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有： A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
（三）、模糊集表示法
二、精确集与模糊集
（一）、普通集合与模糊集 1、普通集合
对于一个的集合 A ，空间中任一元素 x ，要么 x A ， 要么 x A ，二者必居其一。这一特征可用一个函数 表示为：
1 A( x ) 0
x A x A
A(x)—集合A的特征函数。
2、模糊集、隶属函数、隶属度的概念
数学中研究的两种量
确定性的量 非确定性的量
随机性的量（概率统计的研究领域） 模糊性的量（模糊数学的研究领域）
概率统计与模糊数学
相同点: 反映物质世界的不确定性
不同点:
统计学：探求事物是否发生的不确定性以及与之相关的量的规 律。非“一因一果”而是“一因多果”的随机性；
模糊数学: 研究事物本身所固有的不精确性，摆脱了“非此即 彼”的精确性，反映事物之间 “亦此亦彼”模糊性。
μA(ui)/ ui
i 1
n
A= μA(u)/ u
u∈U
μA(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。
2、连续论域 设论域 U是连续的，则其模糊集可用实函数 表示。
求：A∩B, A∪B及 AC
A∩B =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2+(0.6 0.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 A∪B =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.6 0.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3
（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数 (2)Z函数(偏小型隶属函数)
表示偏向小的一方的模糊现象的模糊集的隶属函 数均可通过S函数来定义； 如模糊集“年轻”，“冷”，“矮个子”， “小” ，颜色 “淡”等。
（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数 (3)II函数(中间型隶属函数)
表示趋于中间的模糊现象的模糊集的隶属函数均 可通过S函数来定义； 如模糊集“中年”，“适中”，“温和”，“平
它们的隶属函数分别为：
μA∪B (u)= max {μA (u), μB(u) } μA∩B (u)= min {μA (u), μB(u) } μAc (u)= 1-μA (u) u∈U
例、设U={ u1,u2,u3 }
A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3
B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3
七、 模糊综合评判
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模糊综合评判步骤
① 构建多因素组成的模糊集合（因素集u）； ② 设定因素集的评审等级，组成评语模糊集（评判集v）； ③ 根据各单一因 素对各个评审等级的归属程度构建模糊矩 阵；
④ 通过模糊矩阵合成得到最终评价结果。
模糊综合评判问题的三个要素：因素集、评语集、评价集
评语集
例:
1．投掷一枚硬币，记A ＝“硬币正面朝上”
（概率（随机）事件）
2．B＝“张三是胖子”（模糊事件）；
3 ． C ＝“明天天气会很冷” （随机模糊事
件）。
Zadeh与模糊数学
为模糊数学做出奠定性贡献的是美国控制论
专家L A．Zadeh(扎德)，他 于1965年在杂
志Infomation and Control
(L.A.Zadeh, Fuzzy
sets, Inform. and Control, 8(1965):338-353)上的著名
论文标志 着模糊理论的产生。
模糊系统具有的优点：
1．能将人的经验、知识等用适合计算机处理的形
式表现出来
2．可以建立描述人的感觉、语言表达方式以及行
动过程的模 型；
3．能模拟人的思维、推理和判断过程； 4．压缩信息。
（五）、模糊集运算
U上所有模糊集的全体记为δ(U)，即： δ(U)={ A | μA: U→[0，1] }
1、包含运算
设A,B∈δ(U)，若对任意u∈U，都有： μB(u)≤μA(u) 则称A包含B，记为：B A
2、并、交、补运算 设A,B∈δ(U)，分别称A∪B, A∩B为A与B 的并集、交集，称AC为A的补集。
例、设有人的年龄论域U=[0,100], 求其“年老”和“年轻”这两 个模糊概念的隶属函数。
例：
B
A
“年轻”和“年老” 的隶属函数
（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数 (1)S函数(偏大型隶属函数)
表示偏向大的一方的模糊现象的模糊集的隶属函 数均可通过S函数来定义。 如模糊集“年老”，“热”，“高个子”， “大” ，颜色 “浓”等。
评价集
模糊评判矩阵
因素集
一级评判与多级评判
一级评判：评判结果可由评判矩阵直接求得； 多级评判：评判结果是多个一级评判的复合。
特点：
评判模型主要是建立在 — 复合运算基础之上。模型只考 虑了突出的因素而忽略了其余因素的影响。
优点：简单易行，且反映了许多实际问题的实质; 缺点：只考虑了主要因素而省略了其余的信息而使得 多数信息白白浪费，对有些实际问题的刻划很不利。 解决办法：采用一般的三角模算子来建立评判模型。
(a) 隶属函数 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为[0，1] 上某个值的函数，即： μA：U→[0，1] u→μA(u) 则称μA为定义在U上的一个隶属函数
(b) 模糊集 设A={ μA (u) | u∈U } 则称A为论域U上的一个模糊集。 (c) 隶属度 μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
三、两个模糊集之间的 接近程度—贴近度
1、贴近度的定义
2、常用的贴近度计算公式
（1）Hamming贴近度NH
2、常用的贴近度计算公式
（2）Euclid贴近度NE
2、常用的贴近度计算公式
（3）最大-最小贴近度NM
2、常用的贴近度计算公式
（4）最小平均贴近度NA
2、常用的贴近度计算公式
（5）格贴近度
五、模糊模式识别
1、直接模糊模式识别方法
2、间接模糊模式识别方法
六、模糊关系
1、模糊关系 设Ui是（i=1,2,…n）论域，R是 U1×U2×…×Un上的一个模糊子集，则称R 为U1×U2×…×Un上的一个 n元模糊关系， 记为： R= ∫ μR(u1, u2, …, un ) / (u1, u2, …, un)
二级评判
取模型II对上术结果进行二级评判。设对上述结果 的权重为： 由于：
评判结果“很好”
八、模糊集理论的其它问题
模糊逻辑 模糊神经网络（FNN）
“年轻人”的理解定义出A*; 他们独自认真考虑“年轻人”的含义后，报出他们 各自认为适合“年轻人”这一概念最合适的年龄区间 段; 统计 x 0 ＝ 27 对“年轻人”的年龄区间 A * 的隶属频率； 通过直方图求得x0的隶属度。
年青人年龄区间统计表（共129例）
27岁对年青人的隶属频率表
27岁对年青人的隶属频率表
U1×U2×…×Un
μR(u1, u2, …, un )是模糊关系R的隶属函数
2、二元模糊关系
例、设有一组学生U: U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V: V={ 篮球，排球，足球，乒乓球 } 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表 示：
3、模糊关系的并、交与补
模糊关系的并、交与补与模糊集的并、交与补有相同的运算
三角模算子建立评判模型的方法（1）：
三角模算子建立评判模型的方法（2）：
例： 对教师授课质量进行评估。设因素集F与评语集C分别为：
例： 对教师授课质量进行评估。设因素集F与评语集C分别为：
（1） — 模型一级综合评判
归一化： （2）加权平均型
（3）全面制约型
归一化：
三种评判方法都说明结果“很好”
4、模糊关系的复合
极小隶属度
极大隶属度
合成方法： 对隶属度的极小-极大化处理
5、模糊矩阵
例、设有如下两个模糊关系
0.4 0.2 0.5 0.5 0.6 0.3 0.1 0.2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.6 0.4
R1=
R2=
R1· R2=
0.4 0.4 0.3
0.5 0.6 0.5
模糊集理论与应用（Fuzzy set and application)
模糊现象
模糊集及其基本运算
模糊模式识别
模糊综合评判
一、模糊与随机
模糊现象
模糊集合是对模糊现象或模糊概念的刻划； 模糊现象: 没有严格的界限划分而使得很难用精确的 尺度来刻划的现象； 自然界和人们的日常生活中，存在着大量的模糊现 象和模糊概念 :晴天，多云，阴天，小雨，大雨 等； 模糊数学就是从量上来研究和处理模糊现象的一门 数学学科；
1、离散论域 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={μA(u1), μA(u2), … , μA(un) } 则可将A表示为下列形式之一： A=μA(u1)/ u1+μA(u2)/ u2+ …+μA(un)/ un A={ μA(u1)/ u1,μA(u2)/ u2,…,μA(un)/ un } A=