椭圆的几何性质教学设计

椭圆的几何性质》教学设计

黄小洁【教材分析】教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念的基础上，介绍椭圆简单几何性质及简单应用. 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。作用：提高学生的数学素质, 培养学生的数形结合思想，及分析问题和解

决问题的能力。因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

【教学目标】

1. 知识目标：

(1) . 使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地做出椭圆草图；掌握椭圆中a、

b、c 的几何意义及相互关系；

(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究

曲线性质的，逐步领会解析法(坐标法)的思想。

(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。

2. 能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思

想解决实际问题的能力。

3. 情感目标：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴

涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。

【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。

【教学过程】

一、创设情境

教师：2008.9.25 ，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想, 这是我们中华民族的骄傲。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）

教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回

答）。

二、探索研究

同学们展示预习导图：

1. 范围

教师：同学们观察椭圆，如果分别过A1、A2作y 轴的平行线，过B1、B2 作x

轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？

学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=± a, y= ±b 所围成的矩形里，说明椭

圆是有范围的。

22 教师：下面我们想办法再用方程x2+ y2=1

（a>b>0）来证明这一结论的正确 ab

性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y 的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。

22

由x2 + y2 =1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得， ab

x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a ≤x≤a,-b ≤y≤b。

2．对称性的发现教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感(课件展示椭圆) ，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？ (学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。)

学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性

呢？稍作提示容易发现中心对称性。

3. 顶点的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确

定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像 (抛物线)的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得y= ±b，因此B1(0,-b),

B2(0,b) ，令y=0，得x=±a，因此A1 (-a,0), A 2(a,0) 。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b 和c 的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A 2的距离分别为a+c 和a-c 。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。

4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状都一样

吗？

小组合作探究：讲全班多个小组分为两部分，分别为理论组和实践组，组

理论利用计算的方法论证e 对椭圆的影响，实践组利用画图的方法作图说明。

师生共同总结：e 对椭圆的影响

三、巩固与创新应用

例1 求椭圆 16x2 25y2 400 的长轴长、短轴长、离心率和顶点例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a=4, 焦点为F1（-3,0 ）,F2（3,0 ）；

（2）b=6, 焦点为F1（0,5 ）, F2（0,-5 ）.

解题思路指引：

四、课堂小结

1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。

2. 数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中运用。

3. 数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。

椭圆性质的思维导图：

【教学后记】

通过利用思维导图设计教学，学生的思路更加清晰，容易，利用导图进行总结和复习是数学复习的一大优势，有利于理解和记忆，快速形成知识网，教学效果较好。

对学习内容的把握更加学生可以进行思维拓展，