江苏省南通中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题含解析

(1)因为
是奇函数，所以
，经检验满足题意.
(2) 证明如下：任取
(3)
.
又
是奇函数，
所以
.
不等式的解集为
.
20.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产 品 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为 万元，并且每生产 百台的生产成 本为 万元（总成本 固定成本 生产成本）．销售收入 （万元）满足
【详解】设 t=x2–4x–5，由 t>0
可得 x>5 或 x<–1，则 y= 在（0，+∞）递减， 由 t=x2–4x–5 在（5，+∞）递增，可得函数 f（x）的减区间为（5，+∞）． 所以选 C． 【点睛】本题考查了对数复合函数单调性的判断，关键是要注意到对数的真数大于 0 条件， 属于基础题。
【答案】A 【解析】 【分析】 利用分段函数的性质求解．
【详解】∵函数 y
，函数值为 5，
∴当 x≤0 时，x2+1＝5，解得 x＝﹣2，或 x＝2（舍），
当 x＞0 时，﹣2x＝5，解得 x 故选：C．
，（舍）．
【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．
6.函数
三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分）
17.已知全集为 ，
，
（1） ， ；
（2）
，
．
【答案】（1）
，求： （2）
【解析】
【分析】
（1）化简
，
接求解.
【详解】解：（1）
（2）
, ，
.再求 ， ；（2）利用补集、交集、并集直
，
.
又
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的交并补的混合运算，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和分析推理能力.
【详解】解：
，
，
，
，
实数 的取值范围是
．
故选：A． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.函数
A.
且
C.
且
【答案】A
【解析】
的定义域为（ ） B. D.
由题意，要使 有意义，需满足 ．故选 A．
，即
．因此 的定义域为
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据 上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数
的解析式（利润 销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【答案】（1） 大为 万元．
【解析】
【分析】
(1)先求出
，再根据
再比较即得解.
【详解】解：（1）由题意得
（2）当工厂生产 百台时，可使赢利最
，
则满足
且
，
解得
且
，
故
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的 应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
13.幂函数
在
上为增函数，则实数 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 是幂函数，列方程求出 的值，再验证是否满足题意．
9.已知
的定义域为
，
的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据
的定义域求出 的定义域，进而得出
的定义域．
【详解】解：
的定义域为
；
；
；
的定义域为
；
；
；
的定义域为 ．
故选：D．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知
定义域求 定义域，以及已知 求
的定义域的方法．
10.设奇函数 在 ） A. C. 【答案】D 【解析】 由 f(x)为奇函数可知，
综上
，或 ．
当 时，集合为
不成立．
当 时，集合为
不成立．
当
时，集合为
，满足条件．
故
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检
验．
2.设
，
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得到关于 m 的不等式，能求出实数 的取值范围．
【详解】解：由函数
是幂函数，则
，解得 或
；
当 时，
，在
上为减函数，不合题意；
当 时，
，在
上为增函数，满足题意．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
14.集合
，
，若
，则
____________．
【答案】3
【解析】
试题分析：由题意得
考点：元素与集合关系
【易错点睛】
1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
， 有且仅有 个不同实数根，则实数 的取值范围是
【答案】 【解析】
试题分析：当
时，
单调递减，当 时，
单调递增，由于函数
是定义域为 上的 偶函数，则 在
和 上递减，在
和
上递
增，当 时，函数取得极大值 ；当
时，函数取得极小值 ，当 时，
，要使得关于 的方程
，有且仅有 个不同的实
数根，设
，则
的两根均为
，有且仅有 个不同的实数根，则
的形式，然后根 与 的取值应在外
11.已知函数 A. 【答案】A 【解析】 【分析】
由
， ，则不等式
的解集为（ ）
B.
C.
D.
，从而有 在
上单调递增，再结合单调性可求
解．
【详解】解：
，
在在
上单调递增，
，
或
，
解可得，
或
，
即
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．
18.已知函数
是奇函数，且当 时，
，
（1）求函数 的表达式
（2）求不等式
的解集
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
【分析】
（1）求出函数 x＜0 的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.
【详解】解：（1）根据题意，函数
是奇函数，则
，
当 时，
，则
，
又由函数 为奇函数，则
，
则
，
（2）根据题意，
函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的
周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的
数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
7.在函数（1）
；（2）
中，偶函数的个数是（ ）
；（3）
A.
B.
C.
【答案】C
【解析】
【分析】
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关
系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．
15.求值：
_________________．
【答案】 【解析】 【分析】 先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成 的形式后 进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以 为底的对数的形式即可求得其值为 ，再结
，
当 时，
，此时
即
，解可得 ，此时不等式的解集为
，
当 时，
，
成立；此时不等式的解集为 ，
当 时，
，此时
即
，解可得
，此时不等式的解
集为
，
综合可得：不等式
的解集
或．
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知奇函数
．
（1）求 的值；
则 （2）
恒成立， 所以 .
，
因为
，所以
，所以 ，
则
，则
，
所以
，即函数 的值域为
.
（3）由
，得
，
设 ，则
，设
若 则 ，由不等式
对 恒成立，
①当 ，即
时，此时
恒成立；
②当 所以
，即 ；
时，由
解得
；
若则
,的图象，对 m 分 0＜m≤1 与 1＜m
,
情况讨论即可求得答案．
试题解析：
解：(1)由 知
即
∴
三种
(2)
在
上是增函数
∴
(3)
图象如图
当
时，
当
时，
当
时，
综合
.
22.已知函数 （1）设 （2）设 （3）若不等式
，若
，
．
是偶函数，求实数 的值；
，求函数 在区间 上的值域；
恒成立，求实数 的取值范围．
的部分图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
∵，
∴，
∴函数
的定义域为
，
又
，
∴函数
为 偶函数，且图象关于 轴对称，可排除 、 ．
又∵当 时，
，可排除 ．
综上，故选 ．
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由
江苏省南通中学 2018-2019 学年高一数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1.已知
，则实数 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合元素和集合的关系确定 的值，注意元素的互异性的应用．
【详解】解：
，
，，，
由得
，由 ，得 ，由 得 或 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
试题分析:（1）根据偶函数定义得
，再根据对数运算
性质解得实数 的值；（2）根据对数运算法则得 域，即得 在区间 上的值域（3）设 ，将不等式化为
，再求分式函数值 ，再分离
变量得
且源自文库
实数 的取值范围.
试题解析：（1）因为
所以
，最后根据基本不等式可得最值，即得
是偶函数， ，
数 为偶函数，
个函数中，偶函数的数目为 ；
故选：C．
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．
，则函
8.已知函数
，则函数 的减区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】
对数的真数大于 0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判
断出单调递减区间。
合对数恒等式：
进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．
【详解】解：
．
故答案为： ． 【点睛】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础 知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：
；
；
等．
16.已知函数
是定义域为 的偶函数，当 时，
，若关于
的方程 _____________．
4.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．
【详解】解：由题意：函数
，
，
故选：D．
，即函数
的值域为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．
5.已知函数 A.
，若 B. 或
，则 的值是（ ） C. 或
D. 或 或
，解得
，所以实数 的取值范围是 ．
考点：方程根的个数的判定． 【方法点晴】本题主要考查了方程中根的个数的判定问题，其中解答中涉及到函数的单调性 和函数的奇偶性的运用，函数的零点的判定及应用，以及方程与函数的零点的关系，本题的 解得中熟练掌握一元二次方程的根的分布是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力，以及转化与化归思想的考查，试题有一定的难度，属于中档试题．
求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值， ．
，
（2）当 时，
函数 递减，
（万元）．
当
时，函数
，
当 时， 有最大值为 （万元）．
所以当工厂生产 百台时，可使赢利最大为 万元．
【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对
这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.已知函数 （1）若 ，且
，． ，求 的值；
（2）当 （3）若
时，若 在
上是增函数，求 的取值范围；
，求函数 在区间
上的最大值 ．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
试题分析：（1） ⇒
；（3）
.
，再由 f（x）=-1 即可求得 x 的值；
（2）由 的取值范围；
, 在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得 a
（3）作出
12.已知 是定义在 上的奇函数，当
时，
，函数
，
如果对于任意
，存在
，使得
，则实数 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．
【详解】解：
是定义在
上的奇函数，
，
当
时，
，
则当
时，
，
若对于
，
，使得
，
则等价为
且
，
，
，
，
（2）判断 的单调性，并加以证明；
（3）解不等式
．
【答案】(1)
(2)见解析;（2）
.
【解析】
试题分析：（1）利用函数 f（x）是奇函数，得到 f（0）=0，即可求 a 的值；
（2）利用函数单调性的定义证明 f（x）的单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，求不等式的解集．
试题解析：
上为增函数，且
，则不等式
B. D.
的解集为（
＝ <0. 而 f(1)＝0，则 f(－1)＝－f(1)＝0. 当 x>0 时，f(x)<0＝f(1)； 当 x<0 时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数 f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以 0<x<1，或－1<x<0. 选 D 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 层函数的定义域内
根据题意，依次分析所给的 个函数的奇偶性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析所给的 个函数：
对于
，其定义域为 ，且
且
，
；（4） D.
是非奇非偶函数；
对于
，有
是非奇非偶函数；
，解可得
对于
，为二次函数，其对称轴为
，其定义域不关于原点对称，则 ，则 是非奇非偶函数；
对于
，有
，其定义域为
或
}，且