光学 第三章
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3
光的反射定律和折射定律
设两介质都是透明、均匀和各向同性的，且它们的 分界面是平面，当一束光线由介质1射到分界面上时， 在一般情形下它将分解为两束光线：反射线和折射线。 实验表明： 1. 反射线与折射线都在入射面内。 2. 反射角等于入射角， 3. 折射角与入射角正弦之比与入射角无关，是一个与
2
★ 几何光学的基本实验定律 （1）光在均匀介质中的直线传播定律；
（2）光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律；
（3）光的独立传播定律和光路可逆原理。 光的直线传播定律 光在均匀媒质里沿直线传播 在点光源的照射下，物体的影子是光线沿直线传播的事实。 注意：光线只在均匀媒质中沿直线传播，在非均匀媒质中 光线将因折射而弯曲。
1 2 1 2
n[( r ) 2 ( s r ) 2 2(r )( s r ) cos ]
根据费马定理，物像间的光程应取极值：
d PAP 1 1 n [2r (r s) sin ] n [2(r )( s r ) sin ] 0 d l l
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
30
由此可见，s'也和 的大小有关，光束的单心性破坏。
★ 近轴光线条件下球面折射的物像公式 在近轴条件下， 值很小， l s , l s
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
11
对眼睛来说，“物点”和“像点”都不过是进入
瞳孔的发散光束的顶点。 实像所在点P'确有光线会聚，但光线决不在会聚 点停止，它们相交后仍继续沿原来的直线传播，人眼 所见到的只是这实像，而不再能看到实物P。
12
§3-2 光在平面界面上的反射和折射 光学纤维
★ 光在平面上的反射
平面镜是一个最简单的，不 改变光束单心性的，能成完善象
此时，P1、P2和P'三点几乎合在一起，折射光束仍保持为
单心，入射方向越倾斜，折射光束的像散就越显著。
在水面上沿着竖直方向观看水中物体时，所见的像最清晰， 像深与物深之比为 n2/n1。
15
例：使一束向P点会聚的光在到达P点之前通过一平行玻璃
板，如果将玻璃板垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪 个方向移动？移动多少？
34
★ 高斯公式和牛顿公式 在近轴光线条件下，令球面折射物象公式中的n'= -n ， 便可得到球面反射物象公式：
n n n n s s f f
或
f f 1 s s
——高斯物像公式
35
在确定物点P和像点P'的位置时，物距和像距也可以不
从球面顶点，而分别从物方和像方焦点算起。物点在F之左
如果反射或折射后的光束仍是发散的，但是把这些光线反
向延长后仍能找到光束的顶点，则光束的单心性仍是保持 的。这个顶点的位置——虚像
10
★ 实物、实象、虚象的概念
只有当光束进入人眼时，方
能引起视觉效应。 人眼所能看到的，即能成象 于视网膜上的只是光束的顶点， 而不是光束本身。
来自实物发光点的光束，如
果不改变方向而直接进入人眼， 则该发光点作为光束的顶点能直 接被看到。
3. 在图中出现的长度和角度(几何量)只用正值。例如s表示的 某线段值是负的，则应用(-s)来表示该线值的几何长度。 以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
25
★ 球面反射对光束单心性的破坏
PAP n[( r ) 2 (r s) 2 2(r )( r s) cos ]
23
对符号的规定：
2. 光线方向的倾斜角度都从主轴(或球面法线)算起，并取小 于/2的角度。由主轴(或球面法线)转向有关光线时。若沿 顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转 动的，则该角度的数值为负(在考虑角度的符号时，不必 考虑组成该角度两边的线段的符号)。
24
对符号的规定：
的像点，叫做高斯像点；s 称
为物距，s'称为像距。
28
当s = -时，s'= r/2 ；焦距以 f'表示:
r f 2
f'的符号取决于r，亦遵循符号法则:
1 1 1 s s f
——球面反射物像公式
不论对于凹球面或凸球面，不论 s、 s'和f'的数值大 小和正负怎样，只要在近轴光线的限制下，上式都是球面 反射成像的基本公式。
光焦度Φ（m -1） 表征球面的光学特性
n n n n s s r
上式也适用于凹球面折射。
31
如果P点或P'点为物，则另一点必为其相应的像，物像
的这种关系称为共轭，物像共轭是光路可逆原理的必然结果。 物空间——入射光束在其中进行的空间 像空间——折射光束在其中进行的空间 平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为 球面界面的像方焦点F'。从球面顶点O到像方焦点的距离
媒质和光的波长有关的常数，
4
光的独立传播定律
光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都各自
独立传播，不改变其传播方向。 光的可逆性原理 从几何光学的基本定律不难看出，如果光线逆着反射 线方向入射，则这时的反射线将逆着原来的入射线方向传
播；如果光线逆着折射线方向介质2入射，则射入介质1的
折射线也将逆着原来的入射线方向传播。也就是说，当光 线的方向返转时，它将逆着同一路径传播。
可以证明，当i1
i1 时，偏向角为最小值，记为θ0：
入射角： i1
0 2i1 A
( 0 A) / 2
折射角： i
2
A/ 2
20
棱镜材料的折射率：
sin i1 0 A A n sin sin 2 2 sin i2
因此测出最小偏向角的值，就可以确定具有棱柱形的透 明物体的折射率。 棱镜材料的折射率n随入射波的波长不同而有差异，不 同波长的入射光经棱镜折射后，其偏向会因波长的不同而不
2 1 2 2
n x y ( 1) tg 3i1 n 3 2 n2 n1 y y [1 ( 2 1) tg 2i1 ] 2 n1 n2
折射光束的单心 性已被破坏。
14
仅当P点所发出的光束几乎垂直于界面时，即 i1= 0 时，有：
x 0 ,
n2 y y1 y2 y n1
n2 iΒιβλιοθήκη Baidu arcsin n1
——临界角
17
纤维分内外两层，内层材料的折射率为1.8左右，外 层材料的折射率为1.4左右，这样当光由内层射到两层纤 维的界面时，入射角小于临界角的那些光线，根据折射定
律逸出纤维，而入射角大于临界角的光线，由于全反射，
在两层界面上经历多次反射后传到另一端 。
18
只有在介质n0中顶角等于2i的空间锥体内的全部光线才
5
1. 作为实验规律，几何光学三定律是近似的，它只有在 空间障碍物以及反射和折射界面的尺寸远大于光的波
长时成立。
2. 基本定律成立的条件 介质必须是均匀的，即同一介质的折射率处处相等；
介质必须是各向同性的，即光在介质中传播时各个方
向的折射率相等；
6
★ 费马原理
光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。
能在纤维中传播 。
n0 sin i n1 sin i
i ic
2 n2 sin ic n1
i arcsin
2 n12 n2 n0
19
★ 棱 镜 棱镜主要用作色散元件和转向元件。
各单色入射光束通过棱镜时，将连
续发生两次折射，出射线和入射线 之间的交角θ称为偏向角。
(i1 i2 ) (i1 i2 ) i1 i1 A
上式中的负号表示物方和像方焦点永远位于球面界面的左 右两方。
33
在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射 光线与入射光线的进行方向恰恰相反。这一情况，在数学 处理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射率n 的负值，即n'= -n(这仅在数学上有意义)。
f f
球面反射的焦点和焦距不必区分物方和像方，反射可以看 做是折射的特例。
同，这种现象称为色散。
21
§3-3 光在球面上的反射和折射
★ 符号法则 部分球面的中心点O——顶点；球面的球心C——曲率中心 球面的半径——曲率半径； 连接顶点和曲率中心的直线CO——主轴； 通过主轴的平面——主截面。
22
对符号的规定：
1. 光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者， 其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值 为负。物点或像点至主轴的距离；在主轴上方为正，在下 方为负。
称为像方焦距f'。
此时 s
n f r n n
32
物点放在主轴上某一点时，发出的光线经球面折射后
为平行于主光轴的光线，这个点称为物方焦点F，从球面 顶点到物方焦点的距离称为物方焦距 f 。
此时 s
n f r n n
f n f n
f与f'之间的关系：
者，物距FP用(-x)表示；像点在F'之右者，物距F'P'用(+x') 表示。左右改变时，正负号也跟着改变。
线传播、反射和折射定律
8
M为旋转椭球面，经焦点P的光线被
椭球面反射后总经过另一焦点P'。
PAi PAi 常量
PA1P'是实际光程，其它光线通过P 点就不能在反射后通过P'点，
PA1 PA1 最小值
PAi PAi 最大值
9
★ 单心光束 实像和虚像 凡是具有单个顶点的光束——单心光束 光束中各光线实际上确是会聚的，会聚点——实像
PP l / sin i1 l BC sin( i1 i2 ) BC d / cos i2
16
★ 全反射 光导纤维 n2＜n1，则i2＞i1，即与入 射光线相比折射光线将偏离法
线，随着入射角i1的增大，折
射角i2增加很快。 当入射角i1＝ic时，折射角为90°，当入射角i1≥ic时， 就不再有折射光线而光全部被反射，这种对光线只有反射 而无折射的现象叫全反射。
的光学系统。
★ 光束单心性的破坏 光线在折射率不同的两个透明物质的平面分界面上 反射时单心光束仍保持为单心光束，但折射时，除平行 光束折射时仍为平行光束外，单心光束将被破坏。
13
现在来讨论折射光束问题
P1点的纵坐标为
n1 y1 n2
n12 2 2 y (1 2 ) x1 n2
P2点纵坐标y2的表达式有类似的形式。 P’点的坐标为：
第三章 几何光学的基本原理
1
§3-1 几个基本概念和定律 费马原理
★ 光线与波面
“光线”只能表示光的传播方向，决不可认为是从 实际光束中借助于有孔光阑分出的一个狭窄部分。（考
虑衍射现象）
以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学 ——几何光学 反映光的波动性的那部分光学 ——波动光学 几何光学所研究的实际上就是波动光学的极限情况。
1 1 1 s s ( ) l l r l l
26
1 1 1 s s ( ) l l r l l
如果光点P至O点的距离 s 为已知，用此式即可算 出任一反射线和主轴的交点P'到O点的距离 s' 的值， 显然 s' 的值将随着所取入射线的倾角 u ，即角变化而
变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射
后，将不再保持单心。
27
★ 近轴光线条件下球面反射的物像公式 在近轴条件下， 值很小， l s , l s
1 1 1 s s ( ) l l r l l
1 1 2 s s r
r 一定，只有一个值和给定 的 s 值对应，此时有明确的像 点存在。这个像点是一个理想
29
★ 球面折射对光束单心性的破坏
A
n
P
l
O
l
C s
n
P
s
r
B
PAP n[r 2 (r s ) 2 2r (r s) cos ]
1 2 1 2
n[r 2 ( s r ) 2 2r ( s r ) cos ]
d PAP 根据费马定理，计算 0 d
也就是说；光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。
——费马原理 数学表达式：
B
A
nds 极值(极小值、极大值或恒定值)
7
利用费马原理证明光的折射定律
n1 sin i1 n2 sin i2
1. 实际光线在界面上的折射点C的确定。
2. 证明入射面和折射面在同一平面内。
3. 确定C点在上的位置，通过光程的概念推导出光的直
光的反射定律和折射定律
设两介质都是透明、均匀和各向同性的，且它们的 分界面是平面，当一束光线由介质1射到分界面上时， 在一般情形下它将分解为两束光线：反射线和折射线。 实验表明： 1. 反射线与折射线都在入射面内。 2. 反射角等于入射角， 3. 折射角与入射角正弦之比与入射角无关，是一个与
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★ 几何光学的基本实验定律 （1）光在均匀介质中的直线传播定律；
（2）光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律；
（3）光的独立传播定律和光路可逆原理。 光的直线传播定律 光在均匀媒质里沿直线传播 在点光源的照射下，物体的影子是光线沿直线传播的事实。 注意：光线只在均匀媒质中沿直线传播，在非均匀媒质中 光线将因折射而弯曲。
1 2 1 2
n[( r ) 2 ( s r ) 2 2(r )( s r ) cos ]
根据费马定理，物像间的光程应取极值：
d PAP 1 1 n [2r (r s) sin ] n [2(r )( s r ) sin ] 0 d l l
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
30
由此可见，s'也和 的大小有关，光束的单心性破坏。
★ 近轴光线条件下球面折射的物像公式 在近轴条件下， 值很小， l s , l s
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
11
对眼睛来说，“物点”和“像点”都不过是进入
瞳孔的发散光束的顶点。 实像所在点P'确有光线会聚，但光线决不在会聚 点停止，它们相交后仍继续沿原来的直线传播，人眼 所见到的只是这实像，而不再能看到实物P。
12
§3-2 光在平面界面上的反射和折射 光学纤维
★ 光在平面上的反射
平面镜是一个最简单的，不 改变光束单心性的，能成完善象
此时，P1、P2和P'三点几乎合在一起，折射光束仍保持为
单心，入射方向越倾斜，折射光束的像散就越显著。
在水面上沿着竖直方向观看水中物体时，所见的像最清晰， 像深与物深之比为 n2/n1。
15
例：使一束向P点会聚的光在到达P点之前通过一平行玻璃
板，如果将玻璃板垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪 个方向移动？移动多少？
34
★ 高斯公式和牛顿公式 在近轴光线条件下，令球面折射物象公式中的n'= -n ， 便可得到球面反射物象公式：
n n n n s s f f
或
f f 1 s s
——高斯物像公式
35
在确定物点P和像点P'的位置时，物距和像距也可以不
从球面顶点，而分别从物方和像方焦点算起。物点在F之左
如果反射或折射后的光束仍是发散的，但是把这些光线反
向延长后仍能找到光束的顶点，则光束的单心性仍是保持 的。这个顶点的位置——虚像
10
★ 实物、实象、虚象的概念
只有当光束进入人眼时，方
能引起视觉效应。 人眼所能看到的，即能成象 于视网膜上的只是光束的顶点， 而不是光束本身。
来自实物发光点的光束，如
果不改变方向而直接进入人眼， 则该发光点作为光束的顶点能直 接被看到。
3. 在图中出现的长度和角度(几何量)只用正值。例如s表示的 某线段值是负的，则应用(-s)来表示该线值的几何长度。 以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
25
★ 球面反射对光束单心性的破坏
PAP n[( r ) 2 (r s) 2 2(r )( r s) cos ]
23
对符号的规定：
2. 光线方向的倾斜角度都从主轴(或球面法线)算起，并取小 于/2的角度。由主轴(或球面法线)转向有关光线时。若沿 顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转 动的，则该角度的数值为负(在考虑角度的符号时，不必 考虑组成该角度两边的线段的符号)。
24
对符号的规定：
的像点，叫做高斯像点；s 称
为物距，s'称为像距。
28
当s = -时，s'= r/2 ；焦距以 f'表示:
r f 2
f'的符号取决于r，亦遵循符号法则:
1 1 1 s s f
——球面反射物像公式
不论对于凹球面或凸球面，不论 s、 s'和f'的数值大 小和正负怎样，只要在近轴光线的限制下，上式都是球面 反射成像的基本公式。
光焦度Φ（m -1） 表征球面的光学特性
n n n n s s r
上式也适用于凹球面折射。
31
如果P点或P'点为物，则另一点必为其相应的像，物像
的这种关系称为共轭，物像共轭是光路可逆原理的必然结果。 物空间——入射光束在其中进行的空间 像空间——折射光束在其中进行的空间 平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为 球面界面的像方焦点F'。从球面顶点O到像方焦点的距离
媒质和光的波长有关的常数，
4
光的独立传播定律
光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都各自
独立传播，不改变其传播方向。 光的可逆性原理 从几何光学的基本定律不难看出，如果光线逆着反射 线方向入射，则这时的反射线将逆着原来的入射线方向传
播；如果光线逆着折射线方向介质2入射，则射入介质1的
折射线也将逆着原来的入射线方向传播。也就是说，当光 线的方向返转时，它将逆着同一路径传播。
可以证明，当i1
i1 时，偏向角为最小值，记为θ0：
入射角： i1
0 2i1 A
( 0 A) / 2
折射角： i
2
A/ 2
20
棱镜材料的折射率：
sin i1 0 A A n sin sin 2 2 sin i2
因此测出最小偏向角的值，就可以确定具有棱柱形的透 明物体的折射率。 棱镜材料的折射率n随入射波的波长不同而有差异，不 同波长的入射光经棱镜折射后，其偏向会因波长的不同而不
2 1 2 2
n x y ( 1) tg 3i1 n 3 2 n2 n1 y y [1 ( 2 1) tg 2i1 ] 2 n1 n2
折射光束的单心 性已被破坏。
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仅当P点所发出的光束几乎垂直于界面时，即 i1= 0 时，有：
x 0 ,
n2 y y1 y2 y n1
n2 iΒιβλιοθήκη Baidu arcsin n1
——临界角
17
纤维分内外两层，内层材料的折射率为1.8左右，外 层材料的折射率为1.4左右，这样当光由内层射到两层纤 维的界面时，入射角小于临界角的那些光线，根据折射定
律逸出纤维，而入射角大于临界角的光线，由于全反射，
在两层界面上经历多次反射后传到另一端 。
18
只有在介质n0中顶角等于2i的空间锥体内的全部光线才
5
1. 作为实验规律，几何光学三定律是近似的，它只有在 空间障碍物以及反射和折射界面的尺寸远大于光的波
长时成立。
2. 基本定律成立的条件 介质必须是均匀的，即同一介质的折射率处处相等；
介质必须是各向同性的，即光在介质中传播时各个方
向的折射率相等；
6
★ 费马原理
光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。
能在纤维中传播 。
n0 sin i n1 sin i
i ic
2 n2 sin ic n1
i arcsin
2 n12 n2 n0
19
★ 棱 镜 棱镜主要用作色散元件和转向元件。
各单色入射光束通过棱镜时，将连
续发生两次折射，出射线和入射线 之间的交角θ称为偏向角。
(i1 i2 ) (i1 i2 ) i1 i1 A
上式中的负号表示物方和像方焦点永远位于球面界面的左 右两方。
33
在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射 光线与入射光线的进行方向恰恰相反。这一情况，在数学 处理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射率n 的负值，即n'= -n(这仅在数学上有意义)。
f f
球面反射的焦点和焦距不必区分物方和像方，反射可以看 做是折射的特例。
同，这种现象称为色散。
21
§3-3 光在球面上的反射和折射
★ 符号法则 部分球面的中心点O——顶点；球面的球心C——曲率中心 球面的半径——曲率半径； 连接顶点和曲率中心的直线CO——主轴； 通过主轴的平面——主截面。
22
对符号的规定：
1. 光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者， 其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值 为负。物点或像点至主轴的距离；在主轴上方为正，在下 方为负。
称为像方焦距f'。
此时 s
n f r n n
32
物点放在主轴上某一点时，发出的光线经球面折射后
为平行于主光轴的光线，这个点称为物方焦点F，从球面 顶点到物方焦点的距离称为物方焦距 f 。
此时 s
n f r n n
f n f n
f与f'之间的关系：
者，物距FP用(-x)表示；像点在F'之右者，物距F'P'用(+x') 表示。左右改变时，正负号也跟着改变。
线传播、反射和折射定律
8
M为旋转椭球面，经焦点P的光线被
椭球面反射后总经过另一焦点P'。
PAi PAi 常量
PA1P'是实际光程，其它光线通过P 点就不能在反射后通过P'点，
PA1 PA1 最小值
PAi PAi 最大值
9
★ 单心光束 实像和虚像 凡是具有单个顶点的光束——单心光束 光束中各光线实际上确是会聚的，会聚点——实像
PP l / sin i1 l BC sin( i1 i2 ) BC d / cos i2
16
★ 全反射 光导纤维 n2＜n1，则i2＞i1，即与入 射光线相比折射光线将偏离法
线，随着入射角i1的增大，折
射角i2增加很快。 当入射角i1＝ic时，折射角为90°，当入射角i1≥ic时， 就不再有折射光线而光全部被反射，这种对光线只有反射 而无折射的现象叫全反射。
的光学系统。
★ 光束单心性的破坏 光线在折射率不同的两个透明物质的平面分界面上 反射时单心光束仍保持为单心光束，但折射时，除平行 光束折射时仍为平行光束外，单心光束将被破坏。
13
现在来讨论折射光束问题
P1点的纵坐标为
n1 y1 n2
n12 2 2 y (1 2 ) x1 n2
P2点纵坐标y2的表达式有类似的形式。 P’点的坐标为：
第三章 几何光学的基本原理
1
§3-1 几个基本概念和定律 费马原理
★ 光线与波面
“光线”只能表示光的传播方向，决不可认为是从 实际光束中借助于有孔光阑分出的一个狭窄部分。（考
虑衍射现象）
以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学 ——几何光学 反映光的波动性的那部分光学 ——波动光学 几何光学所研究的实际上就是波动光学的极限情况。
1 1 1 s s ( ) l l r l l
26
1 1 1 s s ( ) l l r l l
如果光点P至O点的距离 s 为已知，用此式即可算 出任一反射线和主轴的交点P'到O点的距离 s' 的值， 显然 s' 的值将随着所取入射线的倾角 u ，即角变化而
变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射
后，将不再保持单心。
27
★ 近轴光线条件下球面反射的物像公式 在近轴条件下， 值很小， l s , l s
1 1 1 s s ( ) l l r l l
1 1 2 s s r
r 一定，只有一个值和给定 的 s 值对应，此时有明确的像 点存在。这个像点是一个理想
29
★ 球面折射对光束单心性的破坏
A
n
P
l
O
l
C s
n
P
s
r
B
PAP n[r 2 (r s ) 2 2r (r s) cos ]
1 2 1 2
n[r 2 ( s r ) 2 2r ( s r ) cos ]
d PAP 根据费马定理，计算 0 d
也就是说；光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。
——费马原理 数学表达式：
B
A
nds 极值(极小值、极大值或恒定值)
7
利用费马原理证明光的折射定律
n1 sin i1 n2 sin i2
1. 实际光线在界面上的折射点C的确定。
2. 证明入射面和折射面在同一平面内。
3. 确定C点在上的位置，通过光程的概念推导出光的直