必修五第三章《不等式》第四节《基本不等式》(教师版)

2
当且仅当
1 1 1 20.设M ( 1)( 1)( 1), 且abc 1( a, b, c 均为正数) ，则M 的取值范围是（ ） a b c 1 A. 0, 8 1 B. ， 1 8 C.1,8 D.8,
∴
= ，整理可得 xy=x+y+3， +3， ﹣3≥0，
由基本不等式可得 xy≥2 整理可得（ 解得 ）2﹣2
≥3，或
≤﹣1（舍去）
∴xy≥9，当且仅当 x=y 时取等号，故选：D． 1 1 10． （2016•江西模拟）已知正整数 a，b 满足 4a＋b＝30，使得 ＋ 取最小值时，则实数对(a， a b b)是( )． B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2) A．(5，10)
解：A 不正确，例如 x，a 的符号相反时，式子的最小值不可能等于 2． B 不正确，∵y=x+ 在[4，+∞）上递增，它的最小值是 4+ = C 不正确，∵x2+x+3=（x+ ）2+ D 正确，∵3x+3﹣x=3x+ ≥ ，故最小值不是 2． ．
≥2，当且仅当 x=0 时，等号成立，故选 D． )．
﹣
)． D．3＋2 2
C．6
解：当 x﹣1=0 即 x=1 时，ax 1﹣2 恒等于﹣1， 故函数 f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点 A（1，﹣1） ， 3 / 12
由点 A 在直线 mx﹣ny﹣1=0 上可得 m+n=1， 由 m＞0，n＞0 可得： =（ 当且仅当 = ） （m+n）=3+ + 即 m= ≥3+2 =3+2 时取等号，故选：D．
解：∵x+y=3，∴Z=2x+2y≥2
当且仅当 2x=2y 即 x=y= 时取等号，故选：D 3． （2017•红桥区模拟）已知 x＞－2，则 x＋ 1 的最小值为( x＋2 2 / 12 )．
A．－
1 2
B．－1 =x+2+ ﹣2≥
C．2
D．0
解：∵x＞﹣2，则 x+ ∴x+
﹣2=0，当且仅当 x=﹣1 时取等号．
解：∵正数 a，b 满足 4a+b=30， ∴ + = （4a+b） （ + ）= （4+1+ + ）≥ ，
当且仅当 =
，即当 a=5，b=10 时等号成立．故选：A． )． D．3x＋3-x
11． （2016 春•晋城校级期末）下列各式中最小值等于 2 的是( A． x 2a ＋ 2a x 1 B．x＋ (x≥4) x C．x2＋x＋3
s2 ； 4
【证明】 x ， y 都是正数， 得最大值是
s2 ； 4
x y 2 s2 x y ) ，当且仅当 x y 时， xy 取 xy ，有 x y s ， xy ( 2 4 2
（2）若 xy =p （积为定值） ，则当 x y 时， x y 取得最小值是 2 p ； 【证明】 x ， y 都是正数，
基础巩固
4 1． （2017•河北区模拟）已知 x＞0，则 x＋ －1 的最小值是( x A．4 解：∵x＞0，∴x+ ﹣1 B．3 C．2 =3，当且仅当 x=2 时取等号． )． D．1
∴x+ ﹣1 的最小值为 3．故选 B． 2． （2016•马鞍山）已知 x＋y＝3，则 z＝2x＋2y 的最小值是( A．8 B．6 =2 =4 C．3 2 ， )． D．4 2
7 / 12
1 1 1 18． （2016•南通模拟）设 x、y 均为正实数，且 ＋ ＝ ，求 xy 的最小值． 2＋x 2＋y 3 解析：由 两边同乘以 3（2+x） （2+y）可得
3（2+y+2+x）=（2+x） （2+y） ，即 xy=x+y+8， 由基本不等式可得 xy≥ +8，即 ，
解得
的最小值等于
1 4 8． （2017•西青区模拟）已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝4，若不等式 ＋ ≥m 恒成立，则 m 的取值 x y 范围是( 9 A．{m|m＞ } 4 )． 9 B．{m|m≥ } 4 ， ≥ = ，当且仅当 2x=y= 时取等号． 9 C．{m|m＜ } 4 9 D．{m|m≤ } 4
解得 0＜t≤
则 xy 的最大值为（
6 / 12
15． （2016•河北区二模）设 x，y 是正实数，且 x＋y＝1，则 解析：设 x+2=s，y+1=t，则 s+t=x+y+3=4， 所以 = = 因为 所以 故答案为 ． ． ．
x2 y2 ＋ 的最小值是 x＋2 y＋1
．
拓展Байду номын сангаас习
16． （2014•上海）若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为 解析：∵xy=1 ，∴y= ∴x2+2y2=x2+ ≥2 =2 ， 2 ．
均值不等式
知识讲解
b ， a 2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时，等号成立． 1．对于任意实数 a ，
证明： a 2 b2 2ab (a b)2 ，当 a b 时，(a b)2 0 ；当 a b 时，(a b)2 =0 ． a 2 b2 2ab ， 当且仅当 a b 时，等号成立． 2．如果 a ， b ，是正数，那么 等式或基本不等式． 证明： a b 2 ab ( a ) 2 ( b ) 2 ( a b ) 2 0 ，即 a b ≥ 2 ab ，所以 3．均值不等式的几何解释： 对于任意正实数 a ， 以 AB a b 的线段为直径做圆， 在直线 AB 上取点 C， 使 AC a, CB b ， b， 过点 C 作垂直于直线 AB 的弦 DD ，连接 AD、DB、如图已知 Rt ACD Rt DCB ，那么
D．y＝ x2＋1＋ =4，当且仅当 时取等号，
≤﹣4，当且仅当
时取等号，A 错误； ≥2 =4，
B、当 0＜x＜π时，sinx＞0，y=sinx+ 当且仅当 sinx= C、y=ex+4e﹣x≥2
﹣
时取等号，此时 sinx=2，由 sinx≤1 知，B 不正确； =4，
当且仅当 ex=4e x，即 ex=2 时取最小值 4，C 正确； D、y= ≥2 = ，
理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．
“=” （2）对于 的理解应为 a b 是
（3）注意 a 2 b2 2ab 和 5．极值定理
ab b R+ b R ，后者是 a ， ab 成立的条件不同．前者是 a ， 2
（1）若 x y s （和为定值） ，则当 x y 时， xy 取得最大值是 1 / 12
﹣1 且 n=2﹣
7． （2017•包头模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an 1 4 使得 aman＝4a1，则 ＋ 的最小值为( m n 3 5 A． B． 2 3 )． C． 9 4 D． 25 6
解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得： ，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2． ∵ ∴ 当且仅当 故 = 时，等号成立． ，故选 A． ，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6， ，
12． （2016 春•陕西校级期末）下列函数中，最小值是 2 的是( A．y＝x＋ 1 x 1 x2＋4 B．y＝ x2＋2 x2＋1
C．y＝ x2＋4＋
D．y＝log3x＋logx3(x＞0，x≠1)
解析：对于 A，x＞0 时，函数的最小值是 2，故不正确； 对于 B，y= + ≥2，x=0 时，函数的最小值是 2，故正确； 5 / 12
当且仅当 x2= 故答案为：2
，即 x=±
时取等号，
17． （2016•武威校级模拟）已知关于 x 的不等式 2x＋ 数 a 的最小值． 解析：不等式 设 y= ∴x﹣1≥2，x≥3， 故实数 a 的最小值 3．
2 ≥7 在 x∈(a，＋∞)上恒成立，求实 x－1
在 x∈（a，+∞）上恒成立， ，y≥ 在 x∈（a，+∞）上恒成立，
x y xy ，当且仅当 x y 时，等号成立．又 xy =p ， x y 2 p ． 2
【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意： ①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用 均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式； ②求积 xy 最大值时， 应看和 x y 是否是定值；求和 x y 最小值时， 看 xy 是否为定值． ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换； ⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件， 才能使函数式取到最大或最 小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．
对于 C，运用基本不等式，等号不能取，故不正确； 对于 D，x＞1 时，函数的最小值是 2，故不正确； 故选：B． 13． （2016 秋•呼和浩特校级月考）下列函数中，最小值为 4 的是( x 8 A．y＝ ＋ 2 x C．y＝ex＋4e-x 解析：A、当 x＞0 时， 当 x＜0 时， ≥2 B．y＝sinx＋ )． 4 (0＜x＜π) sinx 2 x2＋1
DC 2 AC BC ，即 CD = ab ．这个圆的半径为 ab ab ，显然 ≥ ab ，当且仅当点 C 与圆 2 2 ab ≥ ab 2 ab ≥ ab ，当且仅当 a b 时，有等号成立．此结论又称均值不 2
心重合，即 a b 时，等号成立．
4．均值不等式的理解
b， （1）对于任意两个实数 a ， ab b 的算术平均值， ab 叫做 a ， b 的几何平均值．此定 叫做 a ， 2 ab ab = ab 的充要条件．也就是如果 a b ，则 ab ． 2 2
的最小值为 0．故选：D． )．
a b 4． （2017•和平区模拟）已知 a＞0，b＞0，且满足 ＋ ＝1，则 ab 的最大值是( 3 4 A．2 B．3 =1， C．4 D．6 解：∵a＞0，b＞0，且满足 ∴1≥
，化为：ab≤3，当且仅当 a= ，b=2 时取等号．
则 ab 的最大值是 3．故选：B． 5． （2017•深圳一模）已知 f(x)＝ A． 58 5 =x+ ≥ B． x2＋33 (x∈N*)，则 f(x)在定义域上的最小值为( x C． 33 )．
解：x＞0，y＞0 且 x+y=4，则： 那么（ + ） （ ）= +1
∴ + 的最小值为 ． 要使不等式 + ≥m 恒成立，∴m ．故选 D． )．
1 1 1 9．（2016•海南校级模拟）设 x，y 均为正数，且 ＋ ＝ ，则 xy 的最小值为( x＋1 y＋1 2 A．1 解：∵x，y 均为正数，且 B．3 + = ， 4 / 12 C．6 D．9
当且仅当 故选：C．
时取等号，函数的最小值是
，D 错误．
14． （2016 秋•利津县校级月考）已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＋xy＝1，则 xy 的最大值为( A．1＋ 3 B． 3－1 C．4－2 3 D．3－2 2
)．
解析：∵x＞0，y＞0，且 x+y+xy=1， ∴2 设 +xy≤1，当且仅当 x=y= =t，t＞0，则 t2+2t﹣2≤0 ﹣1． ﹣1）2=3﹣2 ，故选：D． ﹣1 时取等号．
≤﹣2（舍去） ，或
≥4，
平方可得 xy≥16，当且仅当 x=y=4 时取等号， 故 xy 的最小值为 16 19． （2016•镇江一模）设 x，y 均为正数，且 x＞y，求证：x＋ 证明：x﹣y+ =（x﹣y）+ = 因为 x＞y，x﹣y＞0， 所以 + + = = ≥3 =3， 取等号，此时 x﹣y=2． + + （3 分） ， （5 分） 4 ≥y＋3． x －2xy＋y2
23 2
D．2 33
解：由 f（x）=
， =2 ，当且仅当 x= 时取等号．
x N *＞0， ∴x+
但 x∈N*，故 x=5 或 x=6， 当 x=5 时，f（x）= 当 x=6 时，f（x）= ， ， ．故选：B．
故得 f（x）在定义域上的最小值为
同步练习
6． （ 2016•潍坊校级二模）函数 f(x)＝ax-1 －2(a＞0， a≠1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 2 mx－ny－1＝0 上，其中 m＞0，n＞0，则 ＋ 的最小值为( m n A．4 B．5