《理论力学》 刚体的平面运动习题解
理论力学-刚体的平面运动
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
课堂习题与练习题 第七章 刚体的平面运动_ppt课件
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第七章 刚体的平面运动
由上可得，平面运动随基 点平动的运动规律与基点的选 择有关，而绕基点转动的规律
与基点选取无关。 即 、与
基点选取无关
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第七章 刚体的平面运动
第二节
M
平面图形内各点速度的求解
M
车轮作平面运动
连杆AB作平面运动
齿轮A作平面运动
这些作平面运动的刚体，其上任一点的速度和加速度如何求？
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第七章 刚体的平面运动
【思考与讨论】
如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知AB＝BC＝2r， CD＝DE＝r，AB 杆与ED杆分别以匀角速度1 和2 绕A、E 轴转动。在图示瞬时AB 与CD 铅直、BC 与 DE水平，试求该 瞬时 BC 杆转动的角速度。
B
C
2
1
D
E
A
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（2）绕基点 A 的转动（相对运动）。
y
S
y' B A x'
x
O
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第七章 刚体的平面运动
因此，平面图形内任意一点B 的运动也是这两种运动的 合成，可用点的速度合成定理来计算B 点的速度。 取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平移。 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成。 牵连运动为平移，则
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第七章 刚体的平面运动
刚体的平面运动可简化为平面图形在其自 身平面内的运动。
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第七章 刚体的平面运动
二、平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我线段OM的位置可 用O点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位
刚体的平面运动1答案
刚体的平面运动作业1参考答案1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角ϕ0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。
答案： 2A 22)(21, 2sin)( , 2cos )(t r R rt r R y t r R x A A αϕαα+=+=+=2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。
齿条AB 与半径为2Rr =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。
求当齿条与曲柄的交角θ =60º时，齿轮的角速度。
答案：顺时针 31ωω=提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。
设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60º，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。
答案：逆时针顺时针顺时针 rad/s 34 , rad/s 4, rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001O =====BD B AB D B v v ωωω提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。
4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。
某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。
连杆上有一点D ，其位置为DK =31NK ，求D 点的速度。
答案：←=320ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
刚体的平面运动习题答案
刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动是力学中的一个重要课题，它涉及到物体在平面上的运动规律和力的作用方式。
在学习这一课题时，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些关于刚体平面运动的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 习题一：一个质量为m的刚体在水平地面上受到一个水平力F的作用，求刚体受力情况下的加速度。
解答：根据牛顿第二定律，刚体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与刚体的质量成反比。
因此，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
2. 习题二：一个质量为m的刚体以速度v沿x轴正方向运动，受到一个大小为F的力沿y轴正方向作用，求刚体的加速度和运动轨迹。
解答：由于刚体受到的力只有在y轴上的F，所以刚体在x轴方向上不受力，即不会有加速度。
而在y轴方向上，刚体受到的力F会引起加速度的产生。
根据牛顿第二定律，我们可以得到刚体在y轴方向上的加速度为a = F/m。
至于刚体的运动轨迹，由于在x轴方向上没有加速度，刚体将以匀速直线运动，而在y轴方向上有加速度，刚体将在y轴上做匀加速运动。
3. 习题三：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相同，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相同，所以刚体受到的力将会增加其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
4. 习题四：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相反，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相反，所以刚体受到的力将会减小其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = -F/m。
5. 习题五：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向成一定的夹角θ，求刚体在力作用下的加速度。
解答：对于这个习题，我们可以将力F分解为两个分力F1和F2，其中F1与刚体的速度方向相同，F2与刚体的速度方向垂直。
《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解
vE
vO
v0
1 (157.05 52.35) 52.35(mm / s) （方向：向上。） 2
vD
[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图 示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
y
x
'
O
'
B
vB
300
A
60
0
O
0 v A
解：
v A OA 0 200 3 600(rad / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B cos 30 0 v A 600
vB 600 692.84(mm / s) 0.866
C3 0
A
Rr t 2 2r
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
x A ( R r ) cos y A ( R r ) sin
t 2
2
t 2
2
A
Rr t 2 2r
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半。 已知：如图所示， AC CB ， 求证： vC 证明：
300
v B v A v BA
ve
O
vBA AB 200 2 400(mm / s)
v B v A v BA 2v A v BA cos 150 0
2 2
5332 400 2 2 533 400 0.866
刚体平面运动-习题解答
r1 r2 4 r2
1
(r r ) vC 2(r1 r2 ) r 4 1 3 4 (1 3 ) 4 12 4 r1 r1 r1 r1 ()
n1 12n4 10800r / min
6－6. 图示小型精压机的传动机构，OA=O1B=r=0.1m， EB=BD=AD=l=0.4m。
解： （1）求 aB 和AB
V A 常量, a A 0 V A || VB , 且AB不垂直于V A , AB杆作瞬时平动
AB 0, BC VB / BC 10 / 5 2
选A为基点, 则 a B a B a A a BA a BA 由图中几何关系得
杆 EF 的速度瞬心在点 P：
EF
vF vF v sin F 1.33 rad / s (顺) PF EF sin EF
6－4.在瓦特行星传动机构中，平衡杆 O1A 绕 O1 轴转动，并借连杆 AB 带动曲柄 OB；而曲柄 OB 活动地装置在 O 轴上，如图所示。在 O 轴上装有齿轮 I，齿轮
57.8m / s 2
杆 O1 B 的角加速度 @
2 1 a 逆时针 B / O1 B 57.8 / 0.3 192.7 rad / s
6－3.图示机构中，已知：OA=0.1m， DE=0.1m， EF 0.1 3 m ，D 距 OB 线为 h=0.1m； OA 4 rad s 。在图示位置时，曲柄 OA 与水平线 OB 垂直；且 B、D 和 F 在同一铅直线上。又 DE 垂直于 EF。求杆 EF 的角速度和点 F 的速度。
a A R 0 ,
n
选A为基点, 则
a B a A a BA a BA
第八章刚体的平面运动习题解答
习 题8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。
OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
图8-28t t r y t r x O O C O C ωϕωω===sin cos8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。
圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。
试求圆柱的平面运动方程。
图8-293/32gh v A = 3/22gh v A= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =ϕ8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。
设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
图8-30瞬心法θθθθωcos sin cot sin 2R v R v AIv A === 基点法 θsin v v CA =θθθθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA ===8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
图8-31AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 221-=ω OB B O v v v += 2212v v r v v O +=+=ω8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。
当ADBC 成一平行四边形时，m /s 4.0m /s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。
图8-32CB B CA A C v v v v v +=+=向x︒=︒+-60cos 30cos B CA A v v v 38.02/3214.02.030cos 60cos =⨯+=︒︒+=B A CA v v v 向ξ ︒-=︒-30cos 60cos CB B A v v v3130cos 60cos =︒︒+=A B CB v v v m/s 306.038.023314.02314.030cos 2222==⨯⨯⨯-+=︒-+=CB B CB B C v v v v v8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度rad/s 4=ω绕轴O 转动。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-刚体的平面运动(圣才出品)
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又 atBA⊥AB
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所以当 w＝0 时，平面图形上两点的加速度在此两点的连线上投影相等。
8-8 如图 8-7 所示各平面图形均作平面运动，问图示各种运动状态是否可能？
图 a 中，aA 与 aB 平行，且 aA＝－aB。
图 b 中，aA 与 aB 都与 A，B 连线垂直，且 aA，aB 反向。
图 c 中，aA 沿 AB 连线，aB 与 AB 连线垂直。
图 d 中，aA，aB 都沿 A，B 连线，且 aB>aA。
图 e 中，aA，aB 都沿 A，B 连线，且 aA>a8B。
图 f 中，aA 沿 A，B 连线方向。
图 g 中，aA，aB 都与 AC 连线垂直，且 aB>aA。
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则 atc＝ao·cosβ－at∞＝0 车轮角加速度 由此可以求出速度瞬心，C 的加速度大小和方向。
图 8-5
图 8-6
8-7 试证：当 w＝0 时，平面图形上两点的速度在此两点连线上的投影相等。 答：令两点为 A、B，如图 8-6 所示，由加速度的合成公式 aB＝aA+atBA+anBA 当 w＝0 时 anBA＝AB·w2＝0 则 aB＝aA+atBA
图 h 中，AB 上 AC，aA 沿 AB 线，aB 在 AB 线上的投影与 aA 相等。
图 i 中，aA 与 aB 平行且相等，即 aA＝aB。
图 j 中，aA，aB 都与 AB 垂直，且 vA，VB 在 AB 连线上的投影相等。
图 k 中，vA 与 vB 平行且相等，aB 与 AB 垂直，aA 与 vA 共线。
理论力学~刚体的平面运动
第七章 刚体的平面运动一、是非题1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。
（ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。
（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。
（ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][=永远成立。
（ ）5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。
（ ）6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。
（ ）7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。
（ ） 二、选择题1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。
①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。
2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。
已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。
①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。
3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。
①可能；②不可能；③不确定。
4．图示机构中，O1A=O2B。
若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。
①ω1=ω2，ε1=ε2；②ω1≠ω2，ε1=ε2；③ω1=ω2，ε1≠ε2；④ω1≠ω2，ε1≠ε2。
东北大学理论力学第八章 刚体的平面运动(作业解析)
⑶ 由速度合成定理求解
va ve vr
? √ √ √
aBA
n aBA v r
C D
大小 方向
? √
aB
va
ve
E
AB
AB
A
va vr ve
3 3 15求解 n aB aA aBA aBA
ω1 ve O1D 6.19 rad/s
Northeastern University
8-23
已知OA=50mm,ω=10 rad/s,θ=β=60°,O1D＝70mm,求摇杆 O1C的角速度和角加速度。 y A vA n aBA a A 60 aBA B ⑶ 取A点为基点, 60 O1 O 由基点法求B vr vB aB 点加速度 D aA v v a D 1 n ve aB aA aBA aBA
绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平面运动
vA 1 rad/s CA
B
vr
C D
AB
ve
E
A
va
vA
AB杆瞬心为C AB
ve CD AB 0.2 m/s
Northeastern University
8-27
已知AB = 0.4m,vA＝0.2m/s。图示位置,θ= 30°,AD=DB,求此 瞬时DE杆的速度和加速度。
大小 方向 ？ √ √ √ ? √ √ √
a A OA 2
C
n 2 aBA BA AD 0
将此方程沿y方向投影得 0 aA a BA cos30
τ 2a A aBA ω2 aBA AD BA 3 3
理论力学7—刚体的平面运动2
vC
vC C C 2 w BC
3 rw 3
习题7-12 图示小型精压机的传动机构，OA＝ O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4 m，在 图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位 置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速 n＝120 rpm，求此时压头F 的速度。
a C O r r
t
w
O
vO
n aCO
aO aO
aO r
vO r
aO
2
t aCO
C
aCO rw
n 2
r(
)
2
vO r
w
vO r
,
aO r
a C O a O , a C O vO / r
t n 2
取如图的投影轴, 将各矢量 投影到投影轴上得
y
aCx aO aCO 0
A2 A4
vA2
A1
v A 3 2 rw 2 v
2 rw 2v
例7-7 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r， 以匀角速度w 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄 与水平线成30º 角时，连杆AB处于水平位置，而 肘杆DB与铅垂线也成30º 角。试求图示位置时， 杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬 D 30º 心在点C1，则
7.2.3 求平面图形上各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度 vCA 为 w ，图形上点A的速度为 N vA 。在vA 的垂线上取一点C S C (由vA 到AC的转向与图形的 vA 转向一致)，有 vC v A w A C A 如果取AC＝ vA /w ，则 w vA vC v A w A C 0
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)章节题库-刚体的平面运动(圣才出品)
第8章刚体的平面运动一、选择题1．图8-1所示平面图形上A、B两点的加速度与其连线垂直且ɑA≠ɑB，则此瞬时平面图形的角速度ω、角加速度α应该是（）。
A．ω≠0，α＝0B．ω＝0，α≠0C．ω＝0，α＝0D．ω≠0，α≠0图8-1【答案】B2．图8-2所示各平面图形的速度分布为：（a）v A＝－v B，v A不垂直AB，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的不垂直AB，，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的图8-2【答案】B；B3．在图8-3所示机构中，则ω1（）ω2。
A．＝B．＞C．＜图8-3【答案】C4．在图8-4所示机构的几种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心为：（a）（）；（b）（）；（c）（）；（d）（）。
A．无穷远处B．B点C．A、B两点速度垂线的交点D．A点E．C点图8-4【答案】D；B；A；C5．已知图8-5所示平面图形上B点的速度v B，若以A为基点，并欲使是B点相对于A点的速度，则A点的速度v A（）。
A．与AB垂直B．沿AB方向，且由A指向BC．沿AB方向，且由B指向AD．与AB成φ角图8-5【答案】B二、填空题1．边长为L的等边三角形板在其自身平面内运动，已知B点的速度大小为，方向沿CB，A点的速度沿AC方向。
如图8-6所示，则此时三角板的角速度大小为______；C点的速度大小为______。
图8-6【答案】2．已知作平面运动的平面图形上A点的速度v A，方向如图8-7所示。
则B点所有可能速度中最小速度的大小为______，方向______。
【答案】；沿AB方向图8-73．已知作平面运动的平面图形（未画出）上某瞬时A点的速度大小为v A，方向如图8-8所示，B点的速度方位沿mn，AB＝l，则该瞬时刚体的角速度ω为______,转向为______。
【答案】；顺时针图8-8三、判断题1．作平面运动的平面图形上（瞬时平移除外），每一瞬时都存在一个速度瞬心。
（）【答案】对2．研究平面运动图形上各点的速度和加速度时，基点只能是该图形上或其延展面上的点，而不能是其他图形（刚体）上的点。
《理论力学》第八章-刚体平面运动试题及答案
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
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解： d dt
d dt t C1 0 0 C1 C1 0 t d t
dt d tdt
vcy vA 200(mm/ s)
vC vcy 200mm / s （方向沿着负 y 轴方向）
[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
300
300
600
vB
vA
4
解 ： 运动分析如图所示。
vC vB vCB
[vB ]BC [vC ]BC
a2 ( a )2 sG t 2 a t
5 2
sG
11
AB
vB BI 2
sB 5 a t
2
2 5a t
5 2
sG
sG a t
sA vAt AI 2 AB t
5 a sG t 2 a t
5 2 sG
AD
vA AI 1
(3)求板上F点的速度
IF 0.12 (0.25 0.1732)2 0.1243(m) vF IF 板＝0.1243 3＝0.373(m / s)
(4)求板中速度等于或小于0.15m/s的点
vx x 板 0.15 x 0.15 / 3 0.05(m) 板中速度等于或小于0.15m/s的点在以瞬心I为圆心，半径为 0.05m 的圆内：圆周上速度为 0.15m / s ，圆内速度小于 0.15m / s 。
8
O'B
O'
B
vB 300
A
600
O 0 vA
解：
vA OA0 200 3 600(rad / s)
vB vA vBA
[vB ]AB [vA ]AB
vB cos 300 vA 600
600 vB 0.866 692.84(mm / s)
O'B
vB b
692.84 200
3.464(rad / s)
求证： vC
1 2
(v A
vB
)
证明：
vC
vA
vB B
C
A AB
I
2
vB vA vBA vA AB AB
vC
vA vCA
vA
1 2
AB AB
vA
1 2
(vB
vA
)
1 2
(v A
vB
)
。本题得证。
[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。齿
Rr 2r
02
C3
C3 0
A
Rr 2r
t 2
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
xA
(R
t 2 r) cos
2
yA
(R
r) sin t 2 2
A
Rr 2r
t 2
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢
量和之一半。
已知：如图所示， AC CB ， v A ， vB
vE R 1501.047 157.05(mm/ s) （向上）
3
vD r 50 1.047 52.35(mm/ s) （向下）
钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：
vE
vO
v0
1 (157.05 52.35) 2
52.35(mm / s)
（方向：向上。）
vD
[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图
462 0.866
533(mm / s)
vB vA vBA
vBA AB 200 2 400(mm/ s)
600
vA
1500
vr
v BA
vB
A
300
vA
ve
O
vB vA2 vBA2 2vAvBA cos1500
5332 4002 2 533 400 0.866
902(mm/ s)
vcy
25 173.2 0.866
171.13(mm / s)
vB
600
B
y
300 vCy vCx C
x 600
600
vA
A
300
x y
vCx
C
vC
vCy
vc vcx 2 vcy 2 502 (171.13)2 178.29(mm / s)
arccos vcx arccos 50 73.710
vc
178.29
[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点 沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。 已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求 当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。
5
解：
vB OB 120 2 240(mm/ s)
AD
vB IB
vB cos 600 vCx
vCx 100 0.5 50(mm/ s)
vC vA vCA
[vA ]AC [vC ]AC
vA cos 300 vcy cos 300 vcx cos 600
200 0.866 vcy 0.866 50 0.5
173.2 vcy 0.866 25
第八章 刚体的平面运动习题解
[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：
xC r cos r cos0t yC r sin r sin0t 0t （顺时针转为负）。
1 t 2
2
C2
0
1 2
02
C2
C2 0
1 t 2 2
1
xA
(R
r) cos
(R
t 2 r) cos
2
yA
(R
r ) sin
(R
r)sin t 2 2
vA OA (R r) t rA
A
R r
r
t
d A R r t dt r
d A
R r
r
t
dt
A
Rr r
t2 2
C3
0
O1
vB
300
B 600
vA
600
O
A
解 ： OA作定轴转动，AB作平面运动。圆轮作定轴转动。
vA OA 150 2 300(mm/ s)
vB vA vBA
[vB ]AB [vA ]AB
vB vA cos 300 300 0.866 259.8(mm/ s)
O1
vB O1B
vB OB
240 120
2(rad / s)
ID IC 2 CD2 2IC CD cos1350
y vD
D
I
vC
450
C
vB
(120 2)2 1202 2 120 2 120 2 2
120 5 268.33(mm)
B
450
450
x
A
vA
O
vD ID AD 268.33 2 5636.66(mm/ s)
259.8 100
2.598(rad / s)
2.6(rad / s)
[习题8-11] 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄
Ｏ B 活动 地 装置 在Ｏ 轴 上。 在Ｏ 轴 上装 有齿 轮 Ⅰ； 齿轮 Ⅱ 的轴 安装 在 杆Ａ Ｂ的 Ｂ端 。 已知 ：
r1 r2 300 3mm， Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００ｍｍ，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１
条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。
解：
A 6m / s
0.5m
v1
O
vO
0.5m
2m / s
v2
I
运动分析如图所示。其中，I为速度瞬心。
vo 2 0.5 62 1
v0
1 4 2 4(m / s) 2
（齿轮中心O的速度，方向如图所示。）
AI 6 1 62 AI 1.5(m)
[习题8-15] 图示一静定刚架，设Ｇ支座向下沉陷一微小距离，求各部分的瞬时转动中心的位置 及Ｈ与Ｇ点微小位移之间的关系。
I2
sH A H
s A
s B B
C sC
I1
s E
I3
G
D
E
F
sG
解： 整个刚架的瞬时转动中心如图所示。
BCG
vG a
sG a t
sB vB t BI 3 BCG t
＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。
7
A
600
300
O1
vA
AB
OB
B
O
vB
30 0 I
解 ： O1A作定轴转动，AB作平面运动。圆轮O及OB作定轴转动。
vA O1 A O1 750 6 4500(mm/ s)
vB vA vBA
[vB ]AB [vA ]AB
AB 500 AI AI AI 2500 (mm)
3
6
vA OA0 300 2 600(rad / s)
AC
BD
Байду номын сангаас
vA AI
600 2500 / 3
0.72(rad / s)