五年级奥数.几何.蝴蝶模型(A级).学生版

四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

O D

C

B

A s 4

s 3

s 2

s 1

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

A B

C D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

一、任意四边形

例题精讲

知识框架

蝴蝶模型

【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角

形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

7

6

E

D

C

B

A

7

6

【巩固】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次

是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

O

G

F E

D

C B

A

【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平

方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

C

D

B

A

【巩固】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

【例3】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:

AG GC=？

C

B

【巩固】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD

的面积的1

3

，且2

AO=，3

DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

O

A D

C

B

【例 4】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．

【例 5】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．

A

B

C

D

E

F G

A

B

C

D

E

F G

【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求

长方形ABCD 的面积．

A

B

C

D E

F G

【例 6】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那

么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

4

B A 6

5

4

3

A A

【巩固】 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面

积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．

N

M S

T

D

C

B

A

【例 7】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米。则阴影部分的面

积是 平方厘米。

E

【巩固】 正方形ABCD 边长为6厘米，AE ＝13AC ，CF ＝1

3

BC 。三角形DEF 的面积为 平方厘米。

C

A

二、梯形模型

【例 8】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积

分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．

35

25O

A

B

C

D

【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。已知AB =5，CD =3，且梯

形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

A B

C

D

O

【例 9】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形

BOC 面积的

2

3

，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． O

A

B C

D

【巩固】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35

ABD CBD =三角形的面积三角形的面积

，

那么OC 的长是多少？

A

B

C

D

O

【随练1】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、

28、26，那么三角形DBE 的面积是 。

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