高中必修1-5错误解题分析系列-《4.3数列的综合应用》

第四章 数列
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n
a a a a 或解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公
式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, n
m a a d
n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; m
n m
n a a q
=
-
4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；
5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）；
8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)
1
(1
1-+
=-+
-k b a k k b a n n
(n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：
12
12
2
12
1l o g 2
l o g l o g +++n n n S S S ＞。

错解：欲证12
12
2
12
1log
2
log
log
+++n n n S S S ＞
只需证22
12
1log
log
++n n S S ＞212
1log
+n S
即证：)(log 22
1+⋅n n S S ＞2
12
1log
+n S
由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜21+n S
2+⋅n n S S －21
+n S
＝
2
2
1212
2
21)
1()
1()
1()
1)(1(q q
a q q
q a n n n ---
---++
＝－021<n q a
∴ 2+⋅n n S S ＜2
1+n S ∴ 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.
正解：欲证12
12
2
12
1log
2
log
log
+++n n n S S S ＞
只需证22
12
1log
log
++n n S S ＞212
1log
+n S
即证：)(log 22
1+⋅n n S S ＞2
12
1log
+n S
由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜2
1+n S
由已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，
∴ q >0,01>a .
若1=q ,
则2+⋅n n S S －21+n S ＝2111])1[()2(a n a n na +-+ ＝－2
1a ＜0；
若1≠q ,
2+⋅n n S S －21
+n S
＝
2
2
1212
2
2
1)
1()
1()
1()
1)(1(q q
a q q
q a n n n
---
---++
＝－021<n
q a
∴ 2+⋅n n S S ＜2
1+n S
∴ 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为
2
1的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，
共经过的路程应为前10项之和.
即2
11]
)21(1[10010
10
-
-=
S ＝199（米） 错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2
1002⨯
＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为
8
3
2
2
1002
1002
1002100100100+
++
+++
＝2
11]
)21(1[1001009
-
-+≈300（米） 答：共经过300米。

[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解： 年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a 为首项，公比为1+r 的等比数列的第19项，即a 19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的a 元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a 元. 正解：不妨从每年存入的a 元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a 元到18年时变为a(1+r)18，
1岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)17，
2岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)16， ……
17岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)1，
∴ a(1+r)18
+ a(1+r)17
+ …+ a(1+r)
1
＝
)
1(1]
)1(1)[1(18
r r r a +-+-+
＝
)]1()
1[(19
r r r
a +-+
答：取出的钱的总数为)]1()1[(19
r r r a +-+。

[例4]求数列 ,)23(1,
,101
,
71,41,
111
3
2
-+++++-n a
a
a
a
n 的前n 项和。

解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 )23(11
-+=
-n a
a n n
)]23(741[)1111(1
2
-++++++
+++
=∴-n a
a
a S n n
当1=a 时，2
32
)231(2
n n n
n n S n +=
-++
=
当1≠a 时，2)13(12)231(111
11n n a
a a n n a a S n n n
n n -+--=-++-
-
=
- [例5]求数列
,)1(6,
,4
36
,
326
,216
+⨯⨯⨯n n 前n 项和
解：设数列的通项为b n ，则)1
11(
6)
1(+-
=+6=
n n
n n b n
1
6)1
11(6)]
1
11(
)3
12
1()2
11[(621+=
+-
=+-
++-+-
=+++=∴n n n n n
b b b S n n
[例6]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()2
1(
2
+∈+=N n a S n n ，
求数列{a n }的前n 项和
解：取n =1，则1)2
1(
12
11=⇒+=a a a
又由 2
)
(1n n a a n S +=
可得：
2
1)2
1(
2
)
(+=+n n a a a n
12)(1*
-=∴∈-≠n a N n a n n
2
)12(531n n S n =-++++=∴
[例7]大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问
k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。

（假定相邻两层楼梯长
相等）
解：设相邻两层楼梯长为a ，则
]
2
)1([)](21[0)121(2
2
n n k n k
a k n k a S ++
+-=-+++++-+++=
当n 为奇数时，取21+=n k S 达到最小值
当n 为偶数时，取2
22+=
n n k 或
S 达到最大值
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2？(精确到0.01)
3．已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a
（1） 设n n n a a b 21-=+，求证数列{}n b 是等比数列；
（2） 设n
n n a c 2
=
，求证数列{}n c 是等差数列。

4.在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。

5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。

6. 已知
是一次函数，其图象过点
，又
成等差数列，求
)()2()1(n f f f +++ 的值.。