第1章信号分析基础

即在各区间 t1,t2 内各分量乘积为零，能量为有限值。各分量
系数由下式得 ：
cr
t2 t1
f
t
gi
t
dt
t2 t1
gi2
t
dt
(1－4)
例如，三角函数、复指数函数等满足正交条件。
二、信号的统计分析
1. 均值
均值是函数 f t在整个时间轴上的平均，也称数学期望值。即
f+△f f
△t1
△t2
△t3 △t4
t 0
T
图1－13 概率密度函数
5. 概率分布函数
概率分布函数表示信号f t落在某一区间的概率，又称累积概
率，是瞬时值 f t小于等于某值 f 的概率，即
P
f


f

p
f
df
亦写成
(1－14)
P f P f t f
二、信号的描述
信号的描述是揭示信号本身的特性的基础，是我们获取分析 问题、解决问题所需要的信息的基础。
根据实际测控系统的不同要求，信号需要从不同的角度描 述——时域描述和频域描述。
1.信号的时域描述
信号的时域描述是指以时间为独立变量来描述信号，反映信 号幅值随时间变化的情况，描述信号幅值与时间的对应关系，是 信号的自然表现形式，是实际系统响应过程的一种直观描述。
(1－15)
6. 联合概率密度函数
联合概率密度函数描述了两个或两个以上相关随机信号发生 某一事件的概率，反映几个随机信号的联合特性。定义为：
p
f,g

lim
f 0 g 0
1 fg
lTim0
T fg T

(1－16)
式中：
T fg 表示f t 和gt同时分别落在 f , f f 和g, g g范围
lim 1
f 0 f
lTim0
Tf T

(1－13)
式中：
P f f t f f 表示瞬时值落在增量f 范围内的概率；
Tf t1 t2 表示瞬时值落在增量 f , f f 范围内的
总时间； 如图1－13所示。
f(t)
⑵频限信号 频限信号分：频域有限信号，频域无限信号。 频域有限信号是指信号在有限频率区间内存在不全为零的函数 值，而区间外恒为零； 频域无限信号是指信号出现在无限的频率区间上。
例如，窗函数是时域有限信号，其傅立叶变换是频域无限信号， 如图1－5(a)所示；sinc(t)函数是时域无限信号，其傅立叶变换， 是频域有限信号，如图1－5(b)所示。
第1章 信号分析基础
在各类工程应用中，获取被测信号是构建和设计检测 与控制系统的基础，但实际的测控系统中存在着各种干扰， 实测信号中既包含有用信号，又包含干扰信号。运用合适 的数学工具，分析研究实测信号，提炼有效的方法，获取 有用的信号，以实现各种检测与控制目标，此即信号分析 的目的。
运用信号分析技术，提取信号特征参数，如信号的幅 频特性等，从而分析信号的组成，确定测控系统的工作带 宽，以设计更完善的系统。
非平稳随机信号
简单周期信号 复杂周期信号
准周期信号 瞬态信号 各态历经性 非各态历经性
图1－4 信号的分类
然而，在工程实际中所遇到的各种物理过程往往很复杂，既非 理想的确定或非确定性信号，而是相互掺杂。
2.时限信号和频限信号
⑴时限信号 时限信号分为：时域有限信号，时域无限信号。 时域有限信号是指信号在有限时间区间内存在不全为零的函数 值，而区间外恒为零，如三角脉冲、矩形脉冲等信号； 时域无限信号是指信号出现在无限的时间区间上，如周期信号、 指数信号等。
(1－1)
式中：
T — —周期，T 2 0 0 — —基频
周期信号又可分为：简谐周期信号，复杂周期信号。 简谐周期信号即单一频率的正弦信号； 复杂周期信号是由若干正弦信号合成，各正弦信号的频率比为 有理数。 如图1－1所示。
x(t) x(t)
0
t
0
(a)
t (b)
(a)简谐周期信号 (b)复杂周期信号 图1－1 周期性信号
详细论述如下。
1.确定性信号和非确定性信号
⑴确定性信号 ①定义： 确定性信号是指可以用明确的数学关系式来描述的信号。 ②分类： 根据信号波形随时间是否呈规律性变化，可分为周期信号和非 周期信号。
周期信号 周期信号是指其波形以一定的周期重复出现的信号。可以表
示为：
f (t) f (t nT ) n 0,1,2,
物理可实现信号是指在实际应用中出现的信号，满足以下条件： t≤0时，x(t)=0，即在零时刻之前信号不存在，只有在大于零时刻 才有确定的信号值，也称单边信号。
物理不可实现信号是指不满足以上条件的实际应用中不可能出 现的信号。
物理可实现信号表明，信号经由物理系统产生，在零时刻之前 没有输入，系统没有响应，输出即为零，反映了物理上的因果关系。
ˆ
2 f

1 T f 2 t dt T0
(1－9)
3. 方差
方差反映随机信号f t的幅值的波动程度，定义为
f 2 E f t E f t2
1 lim
T T
T 0
f t f
2 dt
(1－10)
其中， f 称为均方差或标准差。
非周期信号 非周期信号是不论经过多少时间都不会重复出现的信号，具有 瞬变性。 非周期信号可分为：准周期信号，瞬态信号。 准周期信号由有限个不同频率的简谐周期信号合成，但各信号 的频率比不为有理数，没有共同的周期； 瞬态信号是指在有限的时域范围内出现的信号，又称时限信号， 在该时域范围之外取值均为零。 如图1－2所示。
0
t0
t
0
t
Δt1
图1－12 信号分解为矩形窄脉冲分量和
5. 正交分量之和
n
信号 f t可用正交函数集来表示，即 f t cr gr t
各分量的正交条件为：
r 1




t2 t1 t2 t1
gi tg j tdt gi 2 t dt ki

0
(1－3)
均值 f 、均方值 f 2和方差 f 2三者之间具有以下关系：即
f 2

f
2

2 f
(1－11)
4. 概率密度函数
随机信号f t 的概率密度函数定义为
p f lim P f f t f f
f 0
f
对各态历经随机过程，有
(1－12)
p f
2. 偶分量和奇分量
信号 f t可分解为偶分量 fE t与奇分量 fOt之和，即
f t fE t fO t
偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原点对称。
如图1－11所示。
f(t) 1
fE(t) 1/2
fo(t) 1/2
0
t
0
t
0
t
图1－11 信号分解为奇分量和偶分量
3. 实部分量和虚部分量
在平稳随机过程中，任一温度计的统计特征和所有温度计任一 时刻的统计特征相同，则称各态历经随机过程，否则称非各态历经 随机过程。
TN(t)
0
t
T2(t)
0
t
T1(t)
0
t
ti
tj
图1－3 非确定性信号
总之，从信号描述角度的信号分类如图1－4所示。
信号
确定性信号
周期信号
非周期信号
非确定性信号
平稳随机信号
平稳随机过程又有各态历经随机过程和非各态历经随机过程。 单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计 特征的平稳随机过程称各态历经随机过程；否则称非各态历经随机 过程。
如图1－3所示，N个温度计的温度测量随机过程：
T (t) T1 (t),T2 (t),,TN (t)
若任一时刻所测温度的统计参数均相同，称这一过程为平稳随 机过程，否则称非平稳随机过程；
X(t)
X(t)
0
t
0
t
图1－6 连续时间信号
⑵离散时间信号 离散时间信号是指在某一时间范围内，只在某些不连续的瞬时 才存在确定的函数值的信号，也称时域离散信号或时间序列。 通常又可分为：采样信号，数字信号。 采样信号指时间离散而幅值连续的信号； 数字信号指时间离散而幅值量化时的信号。 例如，单位阶跃序列、实指数序列均为离散时间信号，分别如 图1－7和图1－8所示。
单位阶跃序列u(n)定义为： 1, n 0
u(n) 0, n 0
u(n) 1 ...
0
n
图1－7 单位阶跃序列
(1－2)
实指数序列是一个值为的任意序列： a n
此处a为实数。
aⁿ 4 3
2 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5
1 1.5
图1－8实指数序列
2n
4.物理可实现信号和物理不可实现信号
主要内容 1.1 信号的分类及其描述 1.2 信号的时域分析 1.3 信号的频域分析
返回主目录
1.1 信号的分类及其描述
一、信号的分类
以不同的研究角度，信号具有不同的分类方法。 信号描述角度：确定性信号、非确定性信号； 信号分析域角度：时限信号、频限信号； 时间函数连续性角度：连续时间信号、离散时间信号； 可实现性角度：物理可实现信号、物理不可实现信号。
uf
E f t lim 1 T T T 0
f tdt
(1－5)
实际应用中，无限长时间是不可实现的，因此以有限长样本的 估计值代替 。即
uˆ f
1 T
T f tdt
0
(1－6)
2. 均方值
均方值是信号 f t的平方值的平均，也称平均功率。即
f 2
2.信号的频域描述
信号的频域描述是指以频率为独立变量来描述信号，反映信 号幅值和相角随频率变化的情况，揭示了信号的频率构成，包括 幅频特性和相频特性的描述。
例如，信号
f (t) A1 sin(1t 1 ) A2 sin(2t 2 ) A3 sin(3t 3 )
的时域描述如图1-9(a)所示，频域描述如图1-9(b)所示。
x(t) h
X(f)=hTsincπfT hT
-T/2 0
T/2
t
0
f
(a)
X(t)=hf0sincπf0t hf0
x(f)=x(-f) h
-1/f0 0 1/f0
f
-f0/2 0
f0/2
t
（b） 图1－5 时限和频限信号
3.连续时间信号和离散时间信号
⑴连续时间信号 连续时间信号是指在某一时间范围内，在任意时刻，除若干个 第一类间断点外，都存在确定的函数值的信号，也称模拟信号。 注：第一类间断点的条件是，函数在间断点处存在左极限与右 极限，但左极限与右极限不相等，间断点收敛于左、右极限函数值 的中点。 如图1－6所示，锯齿波、矩形脉冲信号等均为连续信号。
1. 交流分量和直流分量
信号 f t可分解为直流分量fD t与交流分量 f A t之和，即
f t fD t f A t
直流分量也称信号平均值，是信号的静态分量，交流分量则
包含了信号的频率和相位信息。
如图1－10所示。
f(t)
fD(t)
fA(t)
0
t
0
t
百度文库
0
t
图1－10 信号分解为直流分量和交流分量
f(t)
A A1 A2 A3
φ
φ1 φ2 φ3
t (a)
ω1 ω2 ω3 ω (b)
ω1 ω2 ω3 ω
图1－9 信号时域和频域描述
1.2 信号的时域分析
一、信号的时域分解
为了便于信号分析，在时域中常把复杂信号分解为若干简单 信号分量之和，信号的时域分解因信号的种类不同而有多种形式。 主要包括：
交流分量和直流分量； 偶分量和奇分量 实部分量和虚部分量 脉冲分量之和 正交分量之和
信号 f t可分解为实部分量 fR t与虚部分量 fI t之和，即
f t fR t fI t
虚部信号实际不存在，但可以借助其研究实信号或进行化简
运算。
4. 脉冲分量之和
信号 f t 可分解为脉冲宽度无穷小的矩形脉冲分量之和，如图
1－12所示。
g(t)
f(t)
1
1
f(t1)
x(t)
x(t)
0
(a)
t
0
t (b)
(a)瞬态信号
图1－2 非周期信号
(b)准周期信号
⑵非确定性信号 ①定义： 非确定性信号指无法用明确的数学关系式来描述的信号，其变 化不可预知，反映的是一种随机过程。例如，各种噪声信号等。 ②分类： 非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号，也称随 机过程。 统计特征参数不随时间变化的随机过程称平稳随机过程；否则 称非平稳随机过程。
E
f 2 t lim 1
T T
T f 2 tdt
0
(1－7)
实际应用中，无限长时间是不可实现的，因此以有限长样本的
估计值代替 。即
ˆ
2 f
1 T
T 0
f 2 tdt
均方值反映了信号的强度。其中， f
平均能量的表达。即
(1－8)
称为均方根值，是信号
fˆrms