沪教版(上海)八年级上学期第十九章几何证明拓展提高卷

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13.已知 , ,点 在 轴上,且要使 的和最小,则 最小值为________.
14.已知两定点 、 ,且 ,那么到点 、点 的距离之和等于10cm的点的轨迹是________.
15.如图,已知图中每个小方格的边长为1,则点C到AB所在直线的距离等于_______
16.如图,在 中, , , 的垂直平分线与 相交于 点,联结 ,若 ,则 ________ , ________ .
【详解】
.∵
∴设 ,则 ,
∵ 是 斜边 的中点,


∵ ,即 ,解得:

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
22.证明见解析.
【分析】
先利用SAS证明 得出 ;再证明 是直角三角形,得出 ,等量代换即可得出.
【详解】
证明:∵ 和 都是等腰直角三角形
∴ , ,



在 和 中
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c,
S1=a2=10,S2= b2=15,S3= c2,
△ABC是直角三角形,
a2+ b2= c2,即S1+S2= S3,
S3= S1+S2=10+15=25
则AB=c=5
故答案为:5.
【点睛】
本题考查了勾股定理,将3个正方形的边长分别看成三角形的直角边和斜边是解题的关键.
【详解】
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
故选A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
6.C
【分析】
设 与 的交点为 ,由题意得出 ,及 ;设 ,则 ,根据勾股定理解得x的值,最后根据三角形面积公式即可求出.
【详解】
设 与 的交点为 ,如图所示,
【详解】
在 中, , ,
∴ ,
∴ .
∵ , ,
∴ .
∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ .
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
18.152
【解析】
由题意得:AD=12,
在Rt△BCD中,BC=10,CD=24,∴BD2=BC2+CD2=102+242=676,∴BD=26.
命题“所有的素数都是奇数”是假命题,比如2是素数,但2不是奇数.
逆命题是“所有的奇数都是素数”,是假命题,比如1是奇数,但1不是素数.
【点睛】
本题考查了素数的定义,熟练掌握定义是解题的关键.
8.53
【分析】
根据垂直平分线的性质定理及 的周长为8,得出AC+BC=8,和 联立解出AC,及BC的值,最后根据AB=AC即可得出答案.
此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决.
【详解】
, , , , 共5对.
故选D.
【点睛】
本题考查了余角的概念,熟练掌握概念是解题的关键.
3.C
【分析】
根据三角形三边关系先确定AB=AC=8,BC=4,再根据等腰三角形的性质求出BD,最后根据勾股定理得出AD,即为所求.
【详解】
如图
9.如图, 中, 平分 , , ,如果 , , ,那么 ________, ________.
10.已知直角三角形的两条边为5和12,则第三条边长为__________.
11.如图,以 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 、 、 ,且 , ,则 的长为________.
12.如图,在 中, , 、 的平分线交于 , ,则 ________.
解:连接AC,BC.
根据勾股定理求得:AC=2,BC=AB=,
∵BC=AB,
∴三角形是等腰三角形,
∴AC上的高是2,
∴该三角形的面积是4,
∴AB边上的高是 =
由于发现该三角形是等腰三角形,其底边上的高易求得,所以根据三角形的面积不变进一步求得腰上的高.
16.4050
【分析】
根据垂直平分线定理得出 ,设 ,则 ,再根据 列方程,解得x的值,即可得出答案.
(3)若△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
参考答案
1.D
【分析】
根据垂直平分线的性质进行判断即可;
【详解】
∵到△ABC的三个顶点的距离相等,
∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上,
即这点是三条垂直平分线的交点.
故答案选D.
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质,准确理解性质是解题的关键.
2.D
【分析】
有OB=2OF
∴OB=2OE
∴OB:OE=2:1
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
13.15
【分析】
先画出图形,由两点之间线段最短可知,作出A点对称点,连接A'B交x轴于一点,此点就是点P,即PA+PB=A'B,此时PA+PB最小,根据两点之间的距离公式即可得出.
【详解】

作点A关于x轴的对称点A',则A'坐标为(5,﹣5),
连接A'B交x轴于一点,此点就是点P,此时PA+PB最小,
PA+PB=A'B= = =15
故答案为:15.
【点睛】
本题考查了最短线路问题及两点间的距离公式,熟知轴对称的性质及两点间的距离公式是解答此题的关键.
14.线段
【分析】
根据两点间的距离即可得出答案.
沪教版(上海)八年级上学期第十九章几何证明拓展提高卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.到 的三顶点距离相等的点是 的是()
A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点D.三条边的垂直平分线的交点
(k-4)2=25-9=16
解得,k1=0,k2=8
故选D.
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式:在平面坐标系中,若点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2)则AB的距离为 .
5.A
【分析】
要求∠DCE的度数,可将∠DCE放在△CDE中,求出∠CDE和∠CED的度数之和,便可利用三角形内角和定理求出∠DCE的度数;由于AC=AE,BC=BD,依据等边对等角易得∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,根据三角形内角和定理易得∠CEA= ,∠CDB= ;在△ACB中,∠ACB=90°,利用三角形内角和定理便可求出∠CAB+∠CBA的度数;即可求出∠ACE+∠BCD的度数,最后得出根据 求解即可.
A. B. C. D.
6.如图,已知在 中, , ,将 绕点 逆时针旋转 后得到 ,若 ,则两个三角形重叠部分的面积为()
A. B.
C. D.
二、填空题
7.命题“所有的素数都是奇数”是________命题,这个命题的逆命题是________,它是________命题.
8.如图, 中, , 的垂直平分线 于点 ,如果 的周长为8, .那么 ________, ________.
∴风车外围周长为(26+12)×4=152.
故答案为152.
19.(3,0)
【分析】
设点 的坐标为 ,根据A点到P点的距离和B点到P点的距离相等列方程,解出即可得到P点的坐标.
【详解】
设点 的坐标为 ,由题意可得: ,
解得: ,
所以点 的坐标为 .
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式及垂直平分线的性质定理,熟练掌握公式是解题的关键.
2.如图, 且 、 、 三点共线,图中互余的角有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
3.如果等腰三角形两边长为4和8,那么底边上的高等于()
A.10B.22
C.百度文库D.以上都不是
4.如果点 与点 间的距离为5,那么 的值是()
A.4或 B.0
C.8D.0或8
5.如图, 中, ,且 , ,那么 的度数为()

∴ ,

∴ 是直角三角形


【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
23. 米.
【分析】
由题意得出 ,在 中,根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,得出 ,再由勾股定理得, ,代入 即可得出 .
三、解答题
19.在直角坐标平面内,已知 、 两点的坐标分别是 、 ,线段 的垂直平分线交 轴于点 ,求点 的坐标.
20.如图,在 中, , , , ,求 的长.
21.如图,已知 是 斜边 的中点, ,交 于 ,且 ,求 的度数.
22.如图, 和 都是等腰直角三角形, , 为 边上一点,求证: .
23.如图,为了测量一座小山的高度,某人分别在 两地测得 , ,且测得 两地相距40m,求山高 .
∵ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
设 ,则 ,
由勾股定理得, ,
即 ,
解得 .

∴ .
故选C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,含30度的直角三角形,根据旋转得出 是解题的关键.
7.假所有的奇数都是素数假
【分析】
根据素数的概念即可判断命题及逆命题的真假.
【详解】
一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,则叫做素数,也叫做质数.
24.如图,在 中,已知 是 边上的中线, 是 上一点,且 ,延长 交 于点 ,求证: .
25.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点B作∠CBE=∠A,BE与射线CA相交于点E,与射线CD相交于点F.
(1)如图,当点E在线段CA上时,求证:BE⊥CD;
(2)若BE=CD,那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论;
②当12是直角边时,第三边= =13.
故答案为:13或 .
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识,难度一般,但本题容易漏解,在不确定斜边的时候,一定不要忘记讨论哪条边是斜边.
11.5
【分析】
先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c,再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值,由勾股定理即可得出S3的值.
【详解】
∴ .
∵ ,
∴ ,
即 ,
解得 .
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
10.13或
【解析】
【分析】
因为不确定哪一条边是斜边,故需要讨论:①当12为斜边时,②当12是直角边时,根据勾股定理,已知直角三角形的两条边就可以求出第三边.
【详解】
解:①当12为斜边时,则第三边= = ;
20.
【分析】
由 得出 ,根据三角形内角和得出 ,再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出 ,从而得出 ,即可求出 的值.
【详解】


又∵








【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形,本题直角三角形比较多,得出30度的角是解题的关键.
21.33.75°
【分析】
设 ,则 , ,根据三线合一可以得到 ,再根据 列方程即可得出.
根据三角形三边关系AB=AC=8,BC=4
AB=AC,AD BC
AD平分BC
BD= BC= 4=2
AD= = =2
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
4.D
【分析】
根据两点间的距离公式得到 ,两边平方后整理得,(k-4)2=25-9=16,求解即可.
【详解】
根据题意得,
【详解】
∵ 是线段 的垂直平分线,
∴ .
∵ ,
∴设 ,则 ,
∵ ,
∴ ,即 ,
解得: ,
∴ , .
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
17.3
【分析】
根据题意得出 ,根据30度所对直角边等一斜边的一半得出 ;根据余角求出 ,从而得出 是等边三角形,再求出 ,得出 是等边三角形,即可得出AE的值.
17.如图,在 中, , , , ,联结 ,并延长到 ,使 ,如果 ,那么 ________cm.
18.如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=12,BC=10,将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍,得到如图②所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是____.
12.2:1
【分析】
过O点作BC的垂线,垂足为F,根据角平分线定理得出OE=OF,再根据30度所对的直角边等于斜边的一半,得出OB=2OF,等量代换后即可得出OB与OE的比.
【详解】
解∶过O点作BC的垂线,垂足为F.
由平分线定理得OE=OF
在△OBF中∠OFB=90°,∠OBF=30°
∴在Rt△OBF中
【详解】
的垂直平分线 于点
AE=BE
BE+EC+BC=8
AE+EC+BC=AC+BC=8
又 ,
AB=AC=5,BC=3
故答案为5,3.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质定理,熟练掌握定理是解题的关键.
9.33
【分析】
根据角平分线的性质定理得出 ,再根据三角形的面积公式即可得出 .
【详解】
∵ 平分 , , ,
【详解】
线段 上的点到点 、点 的距离之和等于10cm
点 、点 的距离之和等于10cm的点的轨迹是线段 .
故答案为:线段 .
【点睛】
本题考查了两点间的距离,线段的值是定值,线段上的任意一点到两端点的距离和是固定的.
15.
【解析】
连接AC,AB,根据勾股定理可求得三角形各边的长,从而得到该三角形是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质可求得底边AC上的高,再根据面积公式即可求得AB边上的高.
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