2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题与解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题及解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上． （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在x 连续，则 (A) 12

ab =． (B) 12

ab =-

． (C) 0ab =． (D) 2ab =．

【答案】A

【详解】由0

1

lim 2x b a

+

→==,得12ab =.

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.

【答案】C

【详解】2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．

(C) 4．

(D)2 ．

【答案】D

【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33

=

==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T

E -αα不可逆． (B) T

E +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T

2E -αα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,

,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为

011,,,,因此T αα-E 不可逆.

（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以

A 可对角化,

B 则不行.

（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．

【答案】A

【详解】由(|)(|)P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=

-,即()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,

,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下

列结论不正确的是 (A)

21()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．

(C)

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．

【答案】B

【详解】22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;

22

1~(,),()~(1);X N n X n -μμχ2211()~(0,2),~(1)2

n n X X X X N --χ.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数2

1

(),1f x x

=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】24

2

1()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．

【答案】12e ()x

y C C -=+

【详解】特征方程2

230r r ++=

得1r =-,

因此12e ()x y C C -=+.

（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}

1),(2

2<+=y x y x D 内与路径无关，则=a

． 【答案】1-

【详解】有题意可得

Q P

x x

∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数

11

1

)

1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．