江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试模拟数学试题1
数学-苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题
苏州市五市三区2013 届高三期中考试一试题数学一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1.会合 A{1,t}中实数 t 的取值范围是.2.若不等式 x23x 0 的解集为 M，函数 f ( x) lg(1x) 的定义域为 N ，则M N.3.假如 p和 q 是两个命题，若p 是q 的必需不充足条件，则p 是 q 的条件 .4.将函数 f ( x) 2 cos( x) 的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，获得函364数 g (x) 的图象，则 g ( x)的分析式为.5.已知向量 a 与 b的夹角为， | a | 2 ，则a在b方向上的投影为.36.若 tan3，则sin 2 3 cos2.2 2 sin cos5sin7.设变量 x, y 知足 | x || y | 1，则 x2y 的最大值为.8.函数 y1x的单一递减区间为.1x9.已知对于 x 的不等式(ax1)( x 1)0的解集是 ( ,1) (1, )，a则实数 a 的取值范围是.10.已知函数 f ( x) x 2bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线l与直线 3x y20 平行，若数列 {1} 的前n项和为 S n，则 S2013的值为.f (n)11.在锐角ABC 中，若 A2B ，则a的取值范围是. b12.已知函数 f ( x) 在定义域 (0,) 上是单调函数,若对任意 x(0,)，都有f [ f ( x)12 , ]x则 f (1) 的值是. 513.ABC 内接于以P为圆心，半径为 1 的圆，且3PA 4PB5PC0 ，则ABC 的面积为.a 2b 2c 2.14. 若已知 a,b,c 0 ，则 2bc 的最小值为ab二、解答题（本大题共6 小题，共90 分）15. （本小题满分 14 分）已 知 函 数 f ( x)log 4 x, x[ 1,4] 的 值 域 为 集 合 A ， 关 于 x 的 不 等 式16( 1 )3x a2 x ( a R) 的2解集为 B ，会合 C5 x{ x |0} ,会合 D { x | m 1 x 2m 1} (m 0)x 1（ 1）若 A B B ,务实数 a 的取值范围；（ 2）若 D C ,务实数 m 的取值范围 .16. （本小题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，锐角ABC 内接于圆 x 2y 2 1. 已知 BC 平行于 x 轴，AB 所在直线方程为 ykx m(k0) ，记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . （ 1）若 3k2ac2 , 求 cos2A C sin 2B 的值；22ba c2（ 2）若 k2, 记xOA(02), xOB(3 ), 求 sin( ) 的值。
2012-2013学年江苏省四校联考高三(上)期中数学试卷(含解析)
2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。
数学-苏州中学2013届高三三模数学试题 Word版含答案
开始结束20<z是输出xy否（第9题图）x ←1, y ←1 z ←x + yx ←y y ←z苏州中学2013届高三“三模”数学试卷2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则=M C U ▲ ． 2．记),()21(2R b a bi a i ∈+=+，则点),(b a P 位于第 ▲ 象限． 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组[1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 ▲ .4．已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量(3,1)b = ，则2a b -的最大值为 ▲ ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥． 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲． 7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =__▲___． 8．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是___▲___．9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 10．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为____▲____．11．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 ▲． 13．在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB CB y CA CA x CP ⋅+⋅=，则xy 的最大值为 ▲ ．14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数称为“莫言函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当1=a ，1=b 时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数)0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域； (Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.16．（本小题满分14分）直三棱柱111C B A ABC -中，a BC BB AB ===211，︒=∠90ABC ，N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CF 平面NFB ； （Ⅱ）求四面体BCN F -的体积．17．（本小题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别OxyMN种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式； （2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 过点)3,2(，且它的离心率21=e ．直线t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当23=k 时，求证：M 、N 两点的横坐标的平方和为定值； （Ⅲ）若直线l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切，椭圆上一点P 满足OP ON OM λ=+，求实数λ的取值范围． 19．（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b ，且满足1n n n a a b +-=（1,2,3,n = ）.（1）若10,2n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（2）若11(2)n n n b b b n +-+=≥，且121,2b b ==.记61(1)n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为常数列；（3）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且11a =,121,2b b ==.求数列{}n a 的前36项和36S ．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值． 答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．…………题………………11．12．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．16．17．OxyMN18． 19．20.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ，求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．GF E DC B A （第21—A 题图）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙二人都回答错的概率是112，乙、丙二人都回答对的概率是41． （Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率； （Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）已知数集},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=，其中n a a a <⋅⋅⋅<<≤210，且3≥n ，若对j i ,∀（n j i ≤≤≤1），i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ． （Ⅰ）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P ，说明理由； （Ⅱ）已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．①求证：0A ∈；②判断数列821a a a ,,, 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]级___________ 姓名_____________…………内……………不……………要……………答……………题………………GFEDCB A （第21—A 题图）C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]D．[选修4 - 5：不等式选讲]22．23．参考答案1．}6,5,3{ 2．二 3．116 4．4 5．① 6．1222=-y x 7．68．2 9．13810．214-11．2a < 12．34π 13．3 14．π3 15．(Ⅰ)由已知可得: )0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f …………………………………………7分(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=． …………………………………………14分 16．(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ，∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又Ｎ、Ｆ分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点∴AB ∥A 1B 1∥NF . ∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C .所以NF ⊥FC . 取BC 中点G ，有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ，又 NF FB =F ， ∴FC ⊥平面NFB . ··················································································· 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 11NF BCC B ⊥平面,111122NF A B a ==, NF BB BC NF S V V BCF BCF N BCN F ⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--121313136121261a a a a =⋅⋅⋅=． …………………………………………14分 17．解：(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x ……………………………………2分 42792-+=x xy ……………………………………4分试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx ……………………………………6分(2令t x =-4，0>t ，则32002808S t t=++， …………………………………9分 968≥ …………………………………11分当且仅当tt 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． …………13分 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. …………14分18．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221134b ac a c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==6822b a所以椭圆的标准方程为：16822=+y x ………………………………4分 (Ⅱ) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1682322y x t x y ，得024434622=-++t tx x ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则862442)634(2)(22212212221=-⋅--=-+=+t t x x x x x x ，为定值．…………9分（Ⅲ）因为直线t kx y l +=：与圆1)1(22=+-y x 相切 所以，)0(1211||22≠-=⇒=++t tt k k k t把t kx y +=代入16822=+y x 并整理得：02448)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OP ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktP 又因为点P 在椭圆上， 所以，1)43(6)43(8222222222=+++λλk t k t k11)1(2432222222++=+=⇒tt k t λ． 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ，所以 202<<λ，所以λ的取值范围为 )2,0()0,2(⋃-． …………………………16分19，解：（Ⅰ）2n a n n =-． …………………………………………4分 （Ⅱ）先证30n n b b ++=，即6360n n b b ++=，………………………………………7分然后165616362()0n n n n n n C C a a b b ++-+-=-=+= ，数列{}n c 为常数列…………………10分 （Ⅲ）36795S= …………………………16分20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分) (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．A 证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°． ∴BAD EFD ∠+∠=180°． ∴A D F E ,,,四点共圆． ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． …10分 21．B 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1283221b c ，即832=+b ，1262=+c ，2=b ，3=c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2231M ．设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(///y x P ， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 2321//，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx y y x x 232//，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=432////y x y x y x ， 代入148522=++y xy x ，得22/2/=+y x．即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程是222=+y x ．…………………10分 21．C l 的直角坐标方程为232y x =+，2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为2222()()122x y -+-=， 所以圆心22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线l 的距离64d =，102AB ∴= …………………10分 21．D 证：13)(2+-=x x x f ，|||)()(|22a a x x a f x f +--=-∴1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ，又1()21+-=-+- x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．………………10分22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,41)()(,121)()(C P B P C P A P 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--.41)()(,121)](1)[431(C P B P C P 解得83)(=B P ，32)(=C P ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，2,1,0=X ．41)2(==X P ，2453185)()()0(=⨯===C P B P X P ． 2413)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ． 所以随机变量X 的分布列为2425412241312450)(=⨯+⨯+⨯=X E ． …………………10分 23．解：（Ⅰ）由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． ………………………………………4分（Ⅱ）①},,,{821a a a A ⋅⋅⋅= 具有性质P ，所以88a a +与88a a -中至少有一个属于A ， 由8210a a a <⋅⋅⋅<<≤，有888a a a >+，故A a a ∉+88，A a a ∈-=∴880， 故01=a ． ………………………………………4分②8210a a a <⋅⋅⋅<<= ，88a a a k >+∴，故)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∉+k A a a k ． 由A 具有性质P 知，)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∈-k A a a k ， 又18287888a a a a a a a a -<-<⋅⋅⋅<-<- ，818728278188,,,,a a a a a a a a a a a a =-=-⋅⋅⋅=-=-∴，即)8,,2,1(89⋅⋅⋅==+-i a a a i i ……①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A ， 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A ，3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ ，而638=-a a ，077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =-即),,,(72178 ==+-i a a a i i……②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ，即781a a a a i i -=--（8,,3,2⋅⋅⋅=i ）．故821a a a ,,, 构成等差数列．………………10分。
江苏省五市高三数学第三次联考试题(含解析)苏教版
江苏省五市2013届高三数学第三次联考试题（含解析）苏教版第Ⅰ卷一、填空题：1.【题文】已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则AB = ．【结束】2.【题文】设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ．【结束】3.【题文】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．【解析】试题分析：根据题意，由于s=400,依次得到800,1200,1600，构成了等差数列，那么可知当s=2400的时候就不满足题意，输出S 的值为2400.考点：程序框图点评：主要是考查了程序框图的运用，属于基础题。
【结束】4.【题文】“M N >”是“22log log M N >”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【结束】5.【题文】根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 ．【结束】6.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ．【结束】7.【题文】从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ．【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ．【结束】9.【题文】函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ．【结束】10.【题文】各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．【结束】11.【题文】已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB BC =，则实数t 的值为 ．【结束】12.【题文】过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ．【结束】13.【题文】在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，EF =，CD =若15AD BC ⋅=，则AC BD ⋅的值为 ．【结束】14.【题文】已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是 ．【结束】第Ⅱ卷二、解答题15.【题文】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：AB //平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．【结束】16.【题文】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b--=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围．【结束】17.【题文】某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量TQ k d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？考点：函数的运用 【结束】18.【题文】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(10)F ，，离心率．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．【结束】19.【题文】已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．16分【结束】20.【题文】设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n n f x g x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数 ”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）． （1）若31()(0)a f x x x x x=-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围； （2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由．假设存在正实数2x ，使得2()0f x =，【结束】21.【题文】如图，⊙O 的半径为3，两条弦AB ，CD 交于点P ，且1AP =， 3CP =，OP ． 求证：△APC ≌△DPB ．【结束】22.【题文】已知矩阵M 566x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值．【结束】23.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，30D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0t ≠．设直线AC 与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以t 为参数）及普通方程．将263t x t =+平方得222236(3)t x t =+， ③【结束】24.【题文】已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n na b a b ++++．【结束】25.【题文】设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．【结束】26.【题文】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112，16，14，12．游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．ξ=的概率；（1）求0（2）求ξ的概率分布及数学期望．【结束】。
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷及答案
（第3题）(第5题)江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013届高三第三次模拟考试数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 【答案】(2 2)-，2． 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的 模为 ▲ ． 【答案】13． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】24004． “M N >”是“22log log M N >”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ． 【答案】156． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 ▲ ．【答案】47． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为(第9题)▲ ．【答案】1128． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．【答案29． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ． 【答案】10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ▲ ． 【答案】12n -11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若A B B C =，则实数t 的值为 ▲ ． 【答案】74-12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e xy =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个 切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ．【答案】() e nn ，13．在平面四边形ABCD中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB1=，EF =，CD =．若15AD BC ⋅=uuu r uuu r ，则AC BD ⋅uuu r uuu r的值为 ▲ ． 【答案】1314．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是▲ ．【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥P ABC D -中，底面ABC D 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB //平面PC D ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABC D ． 证明：（1）在矩形ABC D 中，//A B C D ， 又AB ⊄平面PC D ， C D ⊂平面PC D ，所以AB //平面PC D ． ………6分 （2）如图，连结BD ，交A C 于点O ，连结PO ，在矩形ABC D 中，点O 为 A C B D ，的中点， 又PA PB PC PD ===，故PO AC ⊥，PO BD ⊥， ………9分 又AC BD O =I ，A CB D ，⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABC D ， ………12分 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC D ． ………14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b--=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围． 解：（1）在△ABC 中，222222s i n 2c o s c o s Bs i n c o s 2s i n s i n 2c o s c o ss i n c o sC b a c a c B c C B A C a b C b C B C c a b ---====----， ………3分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， ………5分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． ………7分（2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-ABC（第15题）PDO()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos 22cos 2422423A A A =--=-+ ………11分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤，所以3924T <≤． ………14分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质， 两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为3410 J mm/C -⨯⋅ ，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅ ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '， 且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 x 的大小？图1图2（第17题）（第18题）解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ， 则31212141082 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分34311122224102.51041044T T T T T T Q x---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ………6分111222343444102.510410T T T T T T x---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+， 当121x =+4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y xa b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，． 分别过O ，F 的两条弦AB ，C D 相交于点E （异于A ，C 两点），且O E E F =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得1c =，c e a==，故a =从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．① ………5分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线C D 的方程为(1)y k x =--， ③ ………7分由①②得，点A ，B 的横坐标为由①③得，点C ，D 21k +， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线A C ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--………13分2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=． ………16分19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由． 解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-， 所以120(1)2019n a n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ② ①-②得，()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-， 所以(2029)3292nn n S -⋅+=． ………7分（2）因为k k a b =，所以11(1)k k d q -+-=，即111k qd k --=-，故111(1)1k n qa n k --=+--，又1n n b q -=， ………9分所以1111(1)1k n n n q b a q n k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q qnq q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- ………11分（ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦-211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q qk n n k ----=--0<， ………13分 （ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q qn kqqq k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． ………16分（注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．）20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n nf xg x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x xx=-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是 否为“2阶负函数”？并说明理由． 解：（1）依题意，142()1()1f x a g x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增，故15342[()]0a g x xx'=-+≥ 恒成立，得212a x≤， ………2分因为0x >，所以0a ≤． ………4分 而当0a ≤时，1421()10a g x xx=--<显然在(0 )+∞，恒成立，所以0a ≤． ………6分（2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． ………8分 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，022()()f x f x xx >恒成立，即202()()f x f x xx >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得20112()()f x f x x mx >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分 ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =， 则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分。
数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题
数学-苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“x x R x >∈?2,”的否定是 .2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ，则=N M .3. 设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的条件． 4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为 .5. 函数xx y 1+=的值域为 . 6. 设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7. 已知函数?>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 .8. 设7.06-=a ，6.0log 7.0=b ，7log 6.0=c ，则c b a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x x x f ，则=-)1(x f . 10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 . 11. 设直线a y =分别与曲线x y =2 和xe y =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为 . 12. 下列说法：xyO图②22xyO图③2 2xyO图①21 xyO图④2211DA CEB(第14题图)①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②函数xy a =的图象可以由函数2xy a =（其中0>a 且1≠a ）平移得到；③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2；④ “若062≥-+x x ，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称. 其中正确的命题的序号 .13. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 . 14. 已知ABC ?的面积为1，点D 在AC 上，AB DE //，连结BD ，设DCE ?、ABD ?、BDE ?中面积最大者的值为y ，则y 的最小值为 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分）（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b b a log log -的值. （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+的值.16. （本小题满分14分）已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C . （1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分14分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥?-xxk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.18. （本小题满分16分）已知奇函数)(x f y =定义域是]4,4[-，当04≤≤-x 时，x x x f 2)(2--=. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的值域；（3）求函数)(x f 的单调递增区间.AB045 PQDCθ 第19题图19. （本小题满分16分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD 。
2013届苏、锡、常、镇、徐、连六市高三数学第二次模拟考试试卷及答案2013[1].3.20解析
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2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上.1 •已知全集 U ・ 1,2,3,4,5,6 A 」1,3,5?, B 」1,2,3,51，则 g (A“ B)二 ▲2亠ai2•若实数a 满足2i ，其中i 是虚数单位，则▲•1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l 2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h 〃 l 2 ”的▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4•根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲①若丨二，，且「_ 1 ,贝U l _ ：「②若l _ 一：，且〉/ ［，贝U l _「； ③若 l _ ［，且 31 】，则 l // ：•；④若:-n 二 m ，且 l // m ，则 l // ：• • 则所有正确命题的序号是▲•6•正四面体的四个面上分别写有数字 0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为 ▲.17•已知 cos(750 •:) ，则 cos(3C ° -2>)的值为 ▲•3片片 0 呻呻呻」— 勺 &已知向量 a , b 的夹角为45 ,且a =1 , 2a —b = 710，贝U b =▲S 2n +12013.3「 1k 3While I :: 20 「TI k I 2End While Print T5.已知l , m 是两条不同的直线, :-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:9•设S n, T n分别是等差数列「a」,IbJ的前n项和，已知n, N*T n 4n - 2则a10. a11= ▲4+08 b6+bi510•已知F1, F2是双曲线的两个焦点，以线段F j F2为边作正.■:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲X11.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二e x图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12•若对于给定的正实数k,函数f(x) 的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是▲.13 .已知函数f (x) x x 2 - 3,则f(-5 f (-5㊁)=x+1 x + 2 x + 3 x + 4 2 2▲.14•设函数f (x) =ln x的定义域为M , •：：，且M • 0 ,对于任意a , b , c (M「：), 若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为▲.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若BA.BC =3 , b = -、3，求a c的值；2c,且A , B , C成等差数列.(2)求2sin A「sinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900, AF _ 平面ABC CH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE〃平面GBC ；C1 G(2) BG _ 平面ACH i叶VC H* ”4 一 V Y17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c • R，函数f （x）=ax3- bx2ex满足f （1）= 0 ,设f （x）的导函数为f （x），满足f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2）设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为x1，x2，A（x1, f （x1）），2 a aB（X2, f（X2）），求证：直线AB的斜率k ，-.9 618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是O、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F — ABGU的四条侧棱，正方形AB1C1D1的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为二（弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y（元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；（2 ）当二取何值时，y取得最小值？A B119. （本小题满分16分）2已知椭圆E : — y^1的左、右顶点分别为A , B，圆x2y^4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90°，求ADC 的面积S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求•的取值范围. 20. (本小题满分16分)设数列订鳥的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m , n ,Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1)若a1 =1，求还,a3, a4及数列的通项公式;(2)若a^a2(a1 a21)，求证：数列ia n?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答，若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A •（选修4 — 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB 是O O 的一条弦，A 是O O 上任意一点，过点A 作O O 的切线交直线CB 于点P , D 为O O 上一点，且 ABD =/ABP . 求证：AB 2 =BP BD .B .（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）C .（选修4 — 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, —已知直线I 的参数方程！ 、一 （t 为参数），圆C 的极坐标方程：“ ■ 2sin v - 0 .j y =1 +J 3t（1） 将直线I 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线I 的距离最小.D.（选修4—5:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c 都是正数，且a 2b 3^ 6，求•. a V . 2b V . 3c 1的最大值.［必做题］第22、23题海小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内 22. （本小题满分10分）已知矩阵A =『a |tc 0 的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为P（第21-A 题）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的 概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用 '表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2)某城市有n ( n 为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立，用•表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 0 — DF -E 的正弦值.P右：村^一 •舛耳C| - ABC 中■ G.F 分别为4GMC 中点，・4G = FC 且4G 〃FC …・・四边形AFCG 为平行四边形■ ••・AF 〃 CG ・分 •丄平面的c,・•・CG 丄平面MC.[ACu 平面"PC, .•. CG 丄/C. •“•••1° 分• CD 丄"C\CG,C8u 平面GC8, CGf]CB = C ,・・・NC 丄平血ECG ,11分.又・•• BG u 平面BCG ,・•・ AC1BG. ••••••12分 •••CZZ 丄 CG ・且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH 、奴 BG 丄平面/1CH ・ •••14 分17•解：⑴・・・/(l) = a + 6 + c = 0,・・・b = -(a + c)・...... 】分••• f \x) = 3ax 2 + 2bx + c /X0) = c , /f (l) = 3a + 2Z> + c. Ac (3a + 2Z> + c) = c(a-c) = ac-c 2 >0 • ••・OH 0,CH 0 ・ .•.£-(£)2 >o, a a /•0< —<1.a(2)令/\x) = 3ax 2 +2/>x + c = 0>2b. _ c•T+X2"寿，"厂矿s a(x ： + “I + x ：) + b(x 2 + X|) + c刊[Q+讦-"J + bE+xJ + cf(x 2) - /(%,) _ (唱‘ + bx ； + cx<) - (ax, - bx ； + crjk=% f =士-旺•；豐篇严是平行四边形，••・・••5分 ■ 面GBC. GMu 面GBC. ：•人E 〃面GBC ・ ..... 7 分3分 ・4分••5分 ••6分・・・7分岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+"-务*"诰煜£-务七]浑（耳+知令2^'则=» 虫（0，1）. 则 k = ¥〔-（】+ O 2 + 3/]=^-（ -r 1 +/-1）, ……14分 D 18・解：（1）延长EF 与地面交于0「由题意：勺FO 严“且F°产孟• …f 、、从而吩-磊，代爲， f \畤"侖+篇）_ O 1 （注：每写对一个部件造价得2分） 、40 4-cosO —“⑵2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂 4sin 2 9 + 3-12cos£ 令广⑹二3^0 Q-2cos0）（7 + 2cos&） 一 °12分 13分 11分3 sin 2 0•••“亍当处（O 申时,/<0：吨昴时,小••••••''分 设处佩冷），其中tan 恥*1' •••%<「” ••”"分 ,玉（0冷，"气时，曲小*3 2」12分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共〔°贝）19.解：⑴设 D^y). V ZADC = 9(T , A A D 2 + DC 2 = AC 2 ・即 F + 4y 2 -4 = 0 t 得,+4x ——(x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x 02 + y 02 = 4 , ••• x 2 +4x-_ (x+ 2『-4 = 0 •+ 2將理得(10-3x 0)x 2 + (32 -16x 0)x + 24 - 20心=0 ・(注：消去X.可得方程(x 02 + 4x 0 + 4 + 4y 02)y 2 -4(x 0 + 2)y^Q 9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦 代M 线审方程，得心冷4必ky 则(X + 2)2+F+(X ・1)2*2=9・ 即 x 2+y 2• ••点D 在椭圆E 上，・••令+ b ；联立①，②，消去y,得 3x 2 + 4x-4 = 0,2*•* -2 < x < 2 > x = — •3代入椭圆方程.得丁二年一 • (4)分A A ADC 的面积 S = |x3x^ = >/2 .•••••• 6(2)设P(x 0,y 0),直线M(x + 2),代入椭10分则何沽,他诒■直I 丁圧気10-3x 012分 D• • E —Jb- • j k 、X Q ^21 1— 221 4 禺—4儿 4 X Q _24 Xo-2 八13x 0-22 22V -2<x 0<2, x o*—• A 久的取值范西为(Y ),0)U (0,3)• •20.尿（I ）由条件，得1+S+如（7）.①在①中，令/M = l,得1 + S*]=血2（1 + $2』•②则数列｛1 + SJ （心2/wN*）是公比为g 的等比数列.•••l + Sgl + S?)严(心2, nsN*).④心3时，1 + 5^=(1 + 52)/'3.⑤④-⑤，得勺=(l + S2)g"J(g-l) (/i^3 • zieN*). (*) 在①中，令加="=1,得 1 + S 2 = y/2a 2(l + S 2).• • (1+ S 2)2 =2a 2(l + S 2).贝ij 1 + S 2 = 2a 2 ••: a 2-\ + a }：• q = 1 ・•：伽=2 • ...... 6 分 在①中，令心,”2,得l + SjuQ^O + SJ.则(4 + 勺尸=4(4 + 6+©).⑥在①中•令^ = 2^ = 1,御 1 + Sj=72q(l + S2)• 则（4 +勺）2=险・⑦岛三数学猝案第5 U [（共10页）).=j••• 14分16分剣厂2,山陽=(1 + $2)严(—[)(“N・)・做朴2“(2T)才(心十NJ “亠•心2也适合上式，g计庆“ 井@中，令心,”2,得1 + S「酝隔.即抵=加4・••1 + ®=%10分12分在①中•令^ = 1,« = 2,得1 + S严宓(1 + sj.W1 + S厂血2(1 + $3+兔)，•:爲二風X 2為U (♦),得4=(1 + $2)2"(心3,处2). (*) 14分由条件fl4=a2(a1+a2+l),得+a2 +1 = 4.•fl2 = l + fll> .\fll=l,A02=2 •则％=4x2" = 2 小(诊3, “wNJ5 J •••坷“也适合上式…••陽=2门(weN*).16分•谶列他｝是等比数列.朋神枠第汰陳师-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1» |c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A 2-A-2=0.则入》以=2・]■ *2* ■.•.才0 =才(-2 [ +3 ] ) = (-2)x(-l)5 ；21C •解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的・……:圆C 的肾通方程为：? + / + 2^ = 0..・・..・.⑵在圆C 上任取-点p （8如+sin 砒（0打0,2＜））,卩到直教的距助:d = ©cos® tsin 0 ■ 2 - 2 巧 | 12 sin （0 + 彳）■ 2 - 2巧 |■ 2高二数学楸第7贾（共io 臾）数学II （附加题）2IA.证明："打8相切丁•点八肋为3的弦，则例〃=厶"'在00中・ ZACB = "DB, ・・"DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中・ ZDBA = "BP・：・厶 DBAs'ABP 、岂二型，即 AB 2^BPBD.BP AB・2分•5分 •8分 10分21B.解：由題意的{当入=2,特征方稈二:鳥 属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳］3分•7分2,0*：心♦如.心心耐“吋“心丫W (】• ▼】■*•】• w (\A7TT\,亠,Ai.匕■寺且仅当故所求式没平(fl! DEF 法向ft 为”；=(岭.......... .......... 9分10分22. M ：(1)以<sin” =斗二・Of23.解：(2)设平面OM PE =2*+1)=ci…(|)° * a-护 “+琛;(护“ x (i-l )->=2x (护・u , A ^=(2Ar +T0X G“ + 1X C ；“+2X C ；“+...+心J}命•散学舀案=2 x{[(2k + l)xC：：：； + 2k x C ；：t,十(2— 1)x C：：；： + …+ (11)x」.......7・••• ^ = 2x(l)w*«{(2A + l)x[C；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)x[C；4+Cj A+- + Ci i，D-8 分= 2x(》”“x(2jt + i)x[(c；；+c；： '+・・+U)-(U+G+…+c「)) = 2x(l)M*'x(2Jt4.1)xCi.10分答：§的数学期望砖为為占.乙岛三数学答案第10页（共10页）。
苏州五市三区2013届第一学期高三期中考试数学试卷
(1)无论如何焊接长方体，若要确保铁皮够用，求铁皮面积S的最小值.
(2)若铁皮面积为90m2，如何设计长方体的尺寸才能使水箱容积最大?并求最大容积.
(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间；
16.(满分14分）在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+=.
(1)求角A;
(2)若a=,且△ABC的面积为,求b+c的值.
17.(满分15分）已知向量=(sin2x,f(x)),=(m,cos2x+m)(mR)且与互为相反向量.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若x[0,,f2(x)f(x)+1的最小值为2,求实数的值.
5.已知数列{an}前n项和Sn=3n+1,则数列{an}的通项公式为.
6.设定义在区间(0,)的函数y=sin2x的图像与y=cosx图像的交点横坐标为,则tan=.
7.在等比数列{an}中，若a1=,a4=4,则|a1|+|a2|+...+|an|=.
8.若函数 .
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{}的前100项和为.
19.(满分16分)数列{an}满足an=2an1+2n+1,n2,a3=27.
(1)求a1,a2;
(2)是否存在实数t使bn=为等差数列，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由；
(3)设数列{an}的前n项的和为Sn，求式不等式Sn<2012成立的n的最大值.
两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)-推荐下载
的值
.
3
6
sin
cos
4
6
=2A3A4 55
7
,
=
3
24 25
,
.
5 6
14
,若
16
【答案】
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7. ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研（3 月）测试数学试题）设 ，， ，
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
函数的基本性质
函数的基本性质 高考试题1.(2013年北京卷,文3)以下函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) (A)y=1x(B)y=e -x解析:y=1x是奇函数,选项A 错;y=e -x 是指数函数,非奇非偶,选项B 错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D 错;只有选项C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.应选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,文2)以下函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x 3 (C)y=1x(D)y=x|x|解析:若为奇函数,排除A,若为增函数,排除B 、C,应选D. 答案:D3.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=12x ,②y=12log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=12x 及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=12log (x+1)可看作是y=12log u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=12log (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.应选B. 答案:B4.(2012年浙江卷,文10)设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) (A)若e a +2a=e b +3b,则a>b (B)若e a +2a=e b +3b,则a<b (C)若e a -2a=e b -3b,则a>b (D)若e a -2a=e b -3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x +2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a +2a=e b +3b 时,一定有e a +2a>e b +2b,此时a>b.应选A. 答案:A5.(2012年安徽卷,文13)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以,02a⎛⎫- ⎪⎝⎭为端点的2条射线组成,所以-2a=3,a=-6. 答案:-6考点二 函数的奇偶性1.(2013年山东卷,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x 2+1x,则f(-1)等于( ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 解析:因x>0时f(x)=x 2+1x. 所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 应选D. 答案:D2.(2013年湖南卷,文4)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩⇒()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得g(1)=3. 应选B. 答案:B3.(2013年天津卷,文7)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(12log a)≤2f(1),则a的取值范围是( ) (A)[1,2] (B)10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)(0,2] 解析:由题得f(log 2a)+f(-log 2a)≤2f(1), 即f(log 2a)≤f(1), 则-1≤log 2a ≤1, 所以12≤a ≤2,应选C. 答案:C4.(2012年广东卷,文4)以下函数为偶函数的是( ) (A)y=sin x (B)y=x 3 (C)y=e x 21x +解析:选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数,对于D 有()21x -+21x +=f(x). 答案:D5.(2012年天津卷,文6)以下函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) (A)y=cos 2x,x ∈R (B)y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0(C)y=2x xe e --,x ∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y=log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数.应选B.答案:B6.(2011年上海卷,文15)以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2(B)y=x-1(C)y=x2(D)y=1 3 x解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递增函数.应选A.答案:A7.(2010年山东卷,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.应选A.答案:A8.(2013年江苏卷,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=224,0,4,0. x x xx x x⎧-≥⎨--<⎩当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)9.(2012年重庆卷,文12)函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,所以f(-x)=f(x),由f(x)=(x+a)(x-4)=x 2+(a-4)x-4a, 得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a, 即a-4=0,a=4. 答案:410.(2011年湖南卷,文12)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= .解析:g(-2)=f(-2)+9=3, 则f(-2)=-6, 又f(x)为奇函数, 所以f(2)=-f(-2)=6. 答案:611.(2011年广东卷,文12)设函数f(x)=x 3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)= .解析:f(a)+f(-a)=a 3cos a+1+(-a)3cos (-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9. 答案:-9考点三 函数的周期性1.(2013年湖北卷,文8)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R 上为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数解析:因为f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以f(x)是周期函数,应选D. 答案:D2.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x),则f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )(A)-12 (B)-14 (C)14 (D)12解析:f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 522⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫⎪⎝⎭ =-2×12×112⎛⎫- ⎪⎝⎭=-12.应选A. 答案:A3.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 .解析:T=2π2=π. 答案:π4.(2013年大纲全国卷,文13)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= . 解析:f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 答案:-15.(2012年浙江卷,文16)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f 32⎛⎫⎪⎝⎭= .解析:f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭=12+1=32. 答案:326.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b ∈R .若f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫⎪⎝⎭,则a+3b 的值为 .解析:由题意f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭,所以2232b=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10模拟试题考点一函数的单调性1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4}(B){x|0≤x≤4}(C){x|x≤4}(D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如下图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.应选A.答案:A2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数x(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .解析:x(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.答案:(-∞,t)(t<2)考点二函数的奇偶性1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增 (D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.应选C.答案:C2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x 与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根.答案:C考点三函数基本性质的综合应用1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.应选A.答案:A2.(2012北京朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )(A)0 (B)0或-12(C)-14或-12(D)0或-14解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如下图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y'=(x2)'=2x=1,∴x=12.∴A11,24⎛⎫⎪⎝⎭,又A点在y=x+a上,∴a=-14.综上知选D.答案:D3.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.答案:1综合检测1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()1f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=()1f x , 得f(-1+2)=()1f x -, 即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=()12f x +=f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.应选A. 答案:A2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R ,m,n ∈R ,假如不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在以下给出的四个不等式中,准确的是( )(A)m+n<0 (B)m+n>0 (C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n 时,-n<-m,则有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.应选C. 答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x +2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)174(C)154(D)a 2 解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x -a x+2, 联立f(x)+g(x)=a x -a -x+2,求解得g(x)=2,f(x)=a x -a -x .故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.应选C. 答案:C1.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A 2- B 4- C 6- D 10-答案：D解析：令3()()4F x f x ax bx =+=+，则3()F x ax bx =+为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10F f F f f -=-+==+=-=-。
数列综合练习题(一)
4．已知等比数列{an}中，a1＝2，且 a4a6＝4a2 7，则 a3＝( 1 A. 2 B．1 C．2 1 D. 4
5．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前
n 项和，n∈N*，则 S10 的值为(
A．－110
) C．90 D．110 )
n 98 (n N *) 在 an 的前 20 项中最小一项为___________，最大一项为 n 99
an ____________________。
an ____________________。
_______________。 4. 由 an ，an1 ，求 an 。 （1） a1 1，an an1 2 ，则 a n _______________。 （2） a1 1， 二. 解答题： 1. 数列 a n ，a1 ，a n 1
n 4 （2） ( 1) n n （3） n 2 1 （4） (1) n1 (3n 2) 3n 1 n 1 3 7 4 1 （5） (10 n 1) （6） (1 10 n ) （7） [( 1) n (b a ) (b a )] 9 9 2
（1）
（8） 4n 3 2. （1） 4n 5 （4） 3. a 9
an
（4） 2， 4 5，7 8， 10 11 （5）7，77，777，7777，
an ______________。
an ___________________。
（6）0.4，0.44，0.444，0.4444 an _________________。 （7） a，b，a，b， （8） 1， 5，3， 13， 2. 由 Sn 求 an 。 （1） Sn 2n 2 3n (n N *) ，则 a n _____________。 （2） Sn n 2 1 (n N *) ，则 a n _______________。 （3） Sn (1) n1 n (n N *) ，则 a n _______________。 （4） Sn 3n 2 (n N *) ，则 a n _______________。 3. 已知 an
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题(扫描版)
1． 【答案】(2 2)-，【解析】考查集合的运算，(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U (2 2)-，. 2．【答案】1 【解析】考查复数的四则运算．由(34i)50z ++=得34, 1.5iz z -+==3．【答案】2400 【解析】考查算法的流程图，40080012002400.++=4．【答案】必要不充分【解析】考查充分必要条件。
5．【答案】15【解析】考查统计中的总体分布的估计，应注意组距是20． 6．【答案】4【解析】考查抛物线的标准方程与简单性质，注意p 的含义．7．【答案】1【解析】考查古典概型．符合条件的有(1，3)，(2，6)，(3，9)三个． 8．2【解析】考查圆与直线的位置关系．找出点Q 在直线260x y --=上，转化为圆上的点到直线的距离求解．9．【答案】【解析】 考查sin()y A x ωϕ=+的图象性质，周期性，诱导公式．由图知5A =，12T =，从而ωπ=6，6ϕπ=，则(2013)(9)f f ==10．【答案】12n -【解析】考查等比数列和基本不等式，由2213a a a =，211a a -=及0n a >得()2131111124a a a a a +==++≥（当且仅当11a =时取等号），此时22a =，则12n n a -=．本题也可以利用基本量思想求解．11．【答案】7-【解析】考查函数的图象与基本性质．由偶函数的性质，得到1 2 1a b c ===-，，．由题意知3 2 D C C D x x x x =⎧⎨+=⎩，，所以12C x =，则()211721224t =-⨯-=-．12．【答案】() e n n ，【解析】考查导数与归纳推理．设111( e )x T x ，，则111e e 1x x x =+，解得10x =，所以01(0 e )T ，；设222( e )x T x ，，则222e e x x x =，解得21x =，所以2(1 e)T ，；设232( e )x T x ，，则331e e 1x x x =-，解得32x =，所以23(2 e )T ，；…，通过归纳可猜想：1( e ) nn T n n +∈N ，，．讲评时提醒学生本题可推导出{}n x 是等差数列用于求解．13．【答案】13【解析】考查平面向量的数量积．由2EF AB DC =+ ，平方并整理得2AB DC ⋅= ，即()AB AC AD⋅- 2AB AC AB AD =⋅-⋅= ①，由15AD BC ⋅= ，得()15AD AC AB AD AC AD AB ⋅-=⋅-⋅= ②，②-①得AC BD⋅ ()AC AD AB=⋅- 13=． 14．【答案】【解析】方法一：因为123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，，所以10a >，30a <，消去2a 得31122a a -<<-，且21413413()0a a a a a a a -+++=，两边同除以1a 得()2334411110a a a a a a -+++=，解得31a a 2441a a =-1-，所以24412112a a -<<---，解得4a <．方法二：由123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，得321132111 10 a a a a a a a a ⎧>>⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，令2131 a x a a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，则1 10 y x x y <<⎧⎨++=⎩，，利用线性规划知识求出21a a 的取值范围，再结合242411a a a a =-，求出4a 的取值范围．方法三：可以用求根公式求出4a ，再结合21a 的取值范围，利用单调性求解．15．【解析】（1）在矩形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB //平面PCD ．（2）如图，连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ，在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点， 又PA PB PC PD ===， 故PO AC ⊥，PO BD ⊥， 又AC BD O =I ，AC BD ，⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 16.【解析】（1）在△ABC 中，ABC（第15题）PDO222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B C c a b ---====----，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos2cos2)cos2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ 因为2π03A <<，所以4π023A <<， 故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤， 所以3924T <≤． 17. 【解析】（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=，3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． （2）由（1）知21121Q Q x =+，当1=4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． 18．【解析】（1）解：由题意，得1c =，c e a =，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．①（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--，③ 由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D的横坐标为，记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线AC ，BD 的斜率之和为 13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- 132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅-- 1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=．19.【解析】（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-，所以120(1)2019n a n n =+-=-，令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ①则213 13213(2039)3(2019)3n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ②①-②得，()2121+20333(2019)3n nn S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅- (2920)329n n =-⋅-，所以(2029)329n n n S -⋅+=． （2）因为k k a b =，所以11(1)k k d q -+-=，即111k q d k --=-， 故111(1)1k n q a n k --=+--， 又1n n b q -=，所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- （ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦-22(1)()(1)1n q q k n n k ----=--0<，（ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦-22(1)()k q q n k -=--0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． （注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．） 20.【解析】（1）依题意，142()1()1f x ag x x x x ==--在(0 )+∞，上单调递增， 故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立，得212a x ≤， 因为0x >，所以0a ≤．而当0a ≤时，1421()10a g x x x =--<显然在(0 )+∞，恒成立， 所以0a ≤． （2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，0220()()f x f x x x >恒成立，即2020()()f x f x x x >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得201120()()f x f x x m x >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =，则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”．更多2013届各地最新模拟下载只需复制网址下载，绝对安全无毒江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷（WORD 版）.doc:/file/20316351江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷2013.3.doc:/file/20316354 江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题（扫描版）.doc:/file/20316355江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）数学试题（word版）.doc:/file/20316358江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题（扫描版）有答案.doc:/file/20316361江西省2013届高三九校第二次联考数学（文）试题.doc: 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数学_2012-2013学年江苏省苏州市五市三区高三(上)期中数学模拟试卷(二)(含答案)
2012-2013学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合A ={1, t}中实数t 的取值范围是________．2. 若不等式x 2−3x ≤0的解集为M ，函数f(x)=lg(1−x)的定义域为N ，则M ∪N =________．3. 如果p 和q 是两个命题，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则p 是q 的________条件．4. 将函数f(x)=2cos(x3+π6)的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________．5. 已知向量a →与b →的夹角为π3，|a →|=√2，则a →在b →方向上的投影为________． 6. 若tanα=3，则sin 2α+3cos 2αsin 2α+2sinαcosα−5=________．7. 设变量x ，y 满足|x|+|y|≤1，则x +2y 的最大值为________． 8. 函数f(x)=1−x1+x 的单调减区间为________．9. 已知关于x 的不等式(ax −1)(x +1)<0的解集是(−∞,1a )∪(−1,+∞)，则实数a 的取值范围是________．10. 已知函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A （1, f(1)）处的切线l 与直线3x −y +2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为________． 11. 在锐角△ABC 中，若C =2B ，则cb 的范围是________．12. 已知函数f(x)在定义域(0, +∞)上是单调函数，若对任意的x ∈(0, +∞)，都有f[f(x)−1x]=2，则f(15)的值是________． 13. △ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3OA →+4OB →+5OC →=0→，则△ABC 的面积S =________．14. 对任意的a 、b 、c ∈R +，代数式a 2+b 2+c 2ab+2bc的最小值为________．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15. 已知函数f(x)=log 4x ，x ∈[116,4]的值域为集合A ，关于x 的不等式(12)3x+a >2x (a ∈R)的解集为B，集合C={x|5−xx+1≥0}，集合D={x|m+1≤x<2m−1}(m>0)（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．16. 如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2= 1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m(k>0)，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若3k=2aca2+c2−b2，求cos2A+C2+sin2B的值；（2）若k=2，记∠xOA=α(0<α<π2)，∠xOB=β(π<β<3π2)，求sin(α+β)的值．17. 某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？18. 已知函数f(x)=x2ln|x|，（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若关于x的方程f(x)=kx−1有实数解，求实数k的取值范围．19. 已知数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2−2n x+b n=0(n∈N∗)的两实根，且a1=1．（1）求证：数列{a n−13×2n}是等比数列；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，求S n；（3）问是否存在常数λ，使得b n>λS n对∀n∈N∗都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)={x2−ax+14x−4×2x−a ，x≥a x<a，（1）若x<a时，f(x)<1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥−4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．2012-2013学年江苏省苏州市五市三区高三（上）期中数学模拟试卷（二）答案1. {t|t≠1}2. (−∞, 3]3. 充分不必要4. g(x)=2cos(x3+π4)−15. √226. −12357. 28. (−∞, −1)，(−1, +∞)9. −1≤a<010. 2013201411. (√2，√3)12. 613. 6514. 2√5515. 解：（1）因为f(x)在[116, 4]上，单调递增，∵ f（116）=log4116=−2，f(4)=log44=1，所以，A=[−21]．--------------又由关于x的不等式(12)3x+a>2x(a∈R)可得（2）−3x−a>2x，−3x−a>x x<−a4，所以，B=(−∞, −a4)．-----又A∪B=B，∴ A⊆B．--------所以，−a4>1，a<−4，即实数a的取值范围为(−∞, −4)．-------（2）因为5−xx+1≥0，所以有x−5x+1≤0，所以−1<x≤5，所以，C=(−1, 5]，---------对于集合D={x|m+1≤x<2m−1}(m>0)，若D⊆C，有：①当m+1≥2m−1时，即0<m≤2时，D=⌀，满足D⊆C．-----------②当m+1<2m−1时，即m>2时，D≠⌀，所以有：{m+1>−12m−1≤5，解得−2<m≤3，又m >2，2<m ≤3．---------综上：由①②可得：实m 的取值范围为(0, 3]．--------- 16. 解：（1）变式得：3sinB cosB=2ac a 2+c 2−b 2，解得sinB =13，原式=sin 2B2+sin2B =1−cosB 2+2sinBcosB =9+2√218； （2）解{x 2+y 2=1y =2x +m，5x 2+4mx +m 2−1=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1+x 2=−4m5，x 1x 2=m 2−15．sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=y 1x 2+x 1y 2=(2x 1+m)x 2+x 1(2x 2+m)=4x 1x 2+m(x 1+x 2)=−4517. 解：（1）在△BCD 中，∵ BD sin60∘=BC sinα=CDsin(120∘−α)， ∴ BD =√32sinα，CD =sin(120∘−α)sinα．则AD =1−sin(120∘−α)sinα．S =400⋅√32sinα+100[1−sin(120∘−α)sinα]=50−50√3⋅cosα−4sinα，其中π3≤α<2π3．（2）S′=−50√3⋅−sinα⋅sinα−(cosα−4)cosαsin 2α=50√3⋅1−4cosαsin 2α令S ′=0，得cosα=14．当cosα>14时，S ′<0，S 是α的单调减函数；当cosα<14时，S ′>0，S 是α的单调增函数． ∴ 当cosα=14时，S 取得最小值．此时，sinα=√154， AD =1−sin(120∘−α)sinα=1−√32cosα+12sinαsinα=12−√3cosα2sinα=12−√3214√154=12−√510．18. 解：（1）函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0} f(−x)=(−x)2ln|−x|=x 2lnx =f(x) ∴ f(x)为偶函数（2）当x >0时，f′(x)=2x ⋅lnx +x 2⋅1x =x ⋅(2lnx +1) 若0<x <e −12，则f ′(x)<0，f(x)递减； 若x >e −12，则f ′(x)>0，f(x)递增． 递增区间是(−e −12，0)和(e −12，+∞)；递减区间是(−∞,−e −12)和(0,e −12)．（3）要使方程f(x)=kx −1有实数解，即要使函数y =f(x)的图象与直线y =kx −1有交点．函数f(x)的图象如图．先求当直线y =kx −1与f(x)的图象相切时k 的值．当k >0时，f ′(x)=x ⋅(2lnx +1)设切点为P （a, f(a)），则切线方程为y −f(a)=f ′(a)(x −a)， 将x =0，y =−1代入，得−1−f(a)=f ′(a)(−a) 即a 2lna +a 2−1=0(∗) 显然，a =1满足(∗)而当0<a <1时，a 2lna +a 2−1<0， 当a >1时，a 2lna +a 2−1>0 ∴ (∗)有唯一解a =1 此时k =f ′(1)=1再由对称性，k =−1时，y =kx −1也与f(x)的图象相切，∴ 若方程f(x)=kx −1有实数解，则实数k 的取值范围是(−∞, −1]∪[1, +∞)． 19. 解：（1）证明：∵ a n ，a n+1是关于x 的方程x 2−2n ⋅x +b n =0(n ∈N ∗)的两实根， ∴ {a n +a n+1=2n ⋅∵a n+1−13×2n+1a n −13×2n=2n −a n −13×2n+1a n −13×2n=−(a n −13×2n )a n −13×2n=−1．故数列{a n −13×2n }是首项为a 1−23=13，公比为−1的等比数列．（2）由（1）得a n −13×2n =13×(−1)n−1，即a n =13[2n −(−1)n ]∴ S n =a 1+a 2++a n =13(2+22+23++2n )−13[(−1)+(−1)2++(−1)n]=13[2n+1−2−(−1)n −12]．（3）由（2）得b n =a n ⋅a n+1=19[2n −(−1)n ]×[2n+1−(−1)n+1]=19[22n+1−(−2)n −1]要使b n >λS n ，对∀n ∈N ∗都成立， 即19[22n+1−(−2)n −1]−λ3[2n+1−2−(−1)n −12]>0，(n ∈N ∗)(∗)①当n 为正奇数时，由(∗)式得：19[22n+1+2n −1]−λ3(2n+1−1)>0即19(2n+1−1)(2n+1]−λ3(2n+1−1)>0∵ 2n+1−1>0，∴ λ<13(2n+1)对任意正奇数n都成立，故13(2n+1)（n为奇数）的最小值为1．∴ λ<1．②当n为正偶数时，由(∗)式得：19(22n+1−2n−1]−λ3(2n+1−2)>0，即19(22n+1+1)(2n−1)−2λ3(2n−1)>0∵ 2n−1>0，∴ λ<16(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，故16(2n+1+1)（n为偶数）的最小值为32．∴ λ<32．综上所述得，存在常数λ，使得b n>λS n对∀n∈N∗都成立，λ的取值范围为(−∞, 1)．20. 解：（1）因为x<a时，f(x)=4x−4×2x−a，所以令2x=t，则有0<t<2a，所以f(x)<1当x<a时恒成立，可转化为t2−4×t2a<1，即42a >t−1t在t∈(0, 2a)上恒成立，--------------------------------------．令g(t)=t−1t ，t∈(0,2a)，则g′(t)=1+1t2>0，------------------------------．所以g(t)=t−1t在(0, 2a)上单调递增，-------------．所以g(t)<g(2a)=2a−12a ，所以有：42a≥2a−12a．所以52a≥2a，所以(2a)2≤5，所以2a≤√5−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−．所以a≤log2√5．----------------------------．（2）当x≥a时，f(x)=x2−ax+1，即f(x)=(x−a2)2+1−a24，----------．①当a2≤a，∴ a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f(x)在[a, +∞)单调递增，所以f(x)min=f(a)=1；-------------------------------------------------．②当a2>a，∴ −4≤a<0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f(x)在[a,a2)单调递减，在(a2，+∞)单调递增，所以f(x)min=f(a2)=1−a24．所以由①②可得：当x ≥a 时有：f(x)min ={1−a 24，−4≤a <01,a ≥0．---------------------．当x <a 时，f(x)=4x −4×2x−a ，令2x =t ，t ∈(0, 2a )，则ℎ(t)=t 2−42at =(t −22a)2−44a ，③当0<22a<2a ，∴ 22a >2，∴ a >12时，ℎ(t)在(0,22a )单调递减，在(22a ，2a )上单调递增ℎ(t)min =ℎ(22a )=−44a ；---------------------------------------． ④当22a≥2a ，∴ 22a ≤2，∴ a ≤12时，ℎ(t)在(0, 2a )单调递减，ℎ(t)∈（ℎ(2a )，ℎ(0)）=(4a −4, 0)所以，此时，ℎ(t)在(0, 2a )上无最小值；---------------------------------------------． 所以由③④可得当x <a 时有：当a >12时，f(x)min =ℎ(t)min =−44a；当a ≤12时，无最小值．------------------------------．所以，由①②③④可得： 当a >12时，因为−44a<1，所以函数f(x)min =−44a；---------------------------．当0≤a ≤12时，因为4a −4<0<1，函数f(x)无最小值；--------------------------------． 当−4≤a <0时，4a−4<−3≤1−a 24，函数f(x)无最小值．-------------------------．综上所述，当a >12时，函数f(x)有最小值为−44a ；当−4≤a ≤12时，函数f(x)无最小值． 所以函数f(x)在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为(12，+∞)．---------．。
2014届一轮复习数学试题选编11平面向量(教师版)
2 e1 , e2 是 夹 角 为 的 两 个 单 位 向 3
5 【 解 析 】 4 2 2 1 a b (e1 2e2 ) (ke1 e2 ) ke1 2e2 (1 2k )e1 e1 k 2 (1 2k )( ) 0 , 2 5 因此, k . 4
OA (k , 3) , OB (0,2k ) , OA , OB 的夹角为120 ,则实数 k ___________.
【答案】3 12． （江苏省 2013 届高三高考模拟卷（二） （数学） ）在边长为 3 的正方形 ABCD 中,E 为 DC
→ → 的中点,AE 与 BD 相交于点 F,则 FD · DE 的值为_______.
→ → → → → =(3,-1), OB =(0,2).若 OC · AB =0, AC =λ OB ,则实数 λ 的值为________.
【答案】2 8 ． （江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题）已知向量 a 的模为 2,向量 e 为
单位向量, e (a e) ,则向量 a 与 e 的夹角大小为_______.
4
b ( 3,1) ,则 2a b 的最大值为_______.
【答案】
4
25（ ．扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题） 已知向量 a
2,1, b 1, k ,
若 a b ,则 k 等于____.
【答案】 2 26． （扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系
2 1 2 .
10 ． （ 苏州市 2012-2013 学年 度第一学 期高三期 末考试 数学试卷 ） 已知向量 a , b , 满足
江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试模拟数学试题1
江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．1. 命题“x xR x >∈∀2,”的否定是 。
2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ,则=N M .3.设b a ,都是实数,那么“22b a >”是“b a >”的条件． 4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为.5. 函数xx y 1+=的值域为 .6.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ,给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log 3f 的值为 .8.设7.06-=a ,6.0log 7.0=b ，7log 6.0=c ，则cb a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x xx f ，则=-)1(x f .10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 . 11.设直线a y =分别与曲线x y=2和x e y =交于点M、N ,则当线段MN 取得DA EB(第14题图)最小值时a 的值为 .12.下列说法：①当0>x 且1≠x 时,有2ln 1ln ≥+xx ； ②函数xy a =的图象可以由函数2xy a =(其中0>a 且1≠a )平移得到； ③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2； ④ “若062≥-+x x，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。
其中正确的命题的序号 .13.若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a的值是 。
14.已知ABC∆的面积为1,点D在AC上,AB DE //，连结BD ，设DCE ∆、ABD ∆、BDE ∆中面积最大者的 值为y ，则y 的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分） (1）已知1>>b a 且310log log=+a b b a ，求a b b alog log-的值.（2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+的值。
江苏省四校联考2013届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省四校联考2013届高三上学期期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成．满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方．3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效．第I 卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知i 是虚数单位，复数z = 12i34i+-，则 | z | = ．2. 若函数()f x =是偶函数，则实数a 的值为 ________．3. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ． 4. 已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(-⊥，则向量a 与e 的夹角大小为 ． 5. 若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 6. 已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是________．7. 已知数列{a n }为等差数列，若561aa <-，则数列{|a n |}的最小项是第_____项．8. 已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为________． 9. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 ．10. 等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 . 11. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y = - x 3 + 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为 ．13. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n na b 是整数，则n 的值为 ．14. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16. （本小题满分14分）设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （Ⅰ）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式a c a c +<-．17. （本小题满分15分）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. （本小题满分15分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分16分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．附加卷21. （本小题满分10分）已知a 为整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．22. （本小题满分10分）已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.23. （本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０．24. （本小题满分10分）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=，[)+∞∈,0x ，求)(x f 的最大值.参考答案1.5 ；2.2 ；3. 0 ；4.3π； 5.[0,4]； 6.(]10,5 ； 7.6 ； 8.31； 9. 6x -y -5=0 ； 10.(]7,∞- ； 11.()+∞,2 ； 12.4233 ； 13. 15 ； 14．()0,3e - ；15. 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()4A +=所以ππ3π244A <+<，πcos()4A +=． 因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++31021025=-+=．所以3cos 5A =． (6)（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =． 所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………14分16. （1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分17. 解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= ……7分 依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又 （1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；（2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………13分 答：当70<a<140，公司应裁员为a 70,-经济效益取到最大值 当140a 210,<<公司应裁员为a,2经济效益取到最大值……………14分18. 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x =++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x+-+-== 7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 15分19. 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………3分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………5分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分（Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………10分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= . ……………………………16分20. 解析：（1）22()(12)[(2)1]x x f x e x ax x a e x a x a '=++++=++++．因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，所以 (2)0f '=，即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++=所以 3a =-． ……………4分（2）()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ……5分①当11a +=，即0a =时，2()(1)0x f x e x '=+≥，函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数，函数无极值点； …………7分 ②当(1)1a -+<-，即0a >时．所以 当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-； ………11分 ③当(1)1a -+>-，即0a <时．所以 当1x =-时，函数有极大值是e，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………15分综上所述，当0a =时函数无极值；当0a >时，当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-；当0a <时，当1x =-时，函数有极大值是2ae-，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………16分21.假设a 是奇数，设a=2k+1(k ∈Z),则a 2=4k 2+4k+1,………………6分∵k ∈Z ，∴4k 2为偶数，4k 为偶数，∴4k 2+4k+1为奇数， ……8分从而a 2为奇数，这与a 2为偶数矛盾，∴假设不成立． ……………10分22.k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时，取等号…2分 又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ，∴k 切=2，此时切点A(-1,-1),切线l ：y=2x+1…5分由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1，∴)2sin(ϕ+x =0，从而B(21-,0) …7分 ∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ …………………9分 又22πϕπ<<-，∴ϕ= 123. 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，…………2分即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．…4分所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． …………10分24. 证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，………2分令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x gx x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =， ………6分 故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数， ………8分则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0． ………10分。
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江苏省苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“x x R x >∈∀2,”的否定是 .2. 已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ，则=N M .3. 设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的 条件．4. 函数x x f ln 1)(-=的定义域为 .5. 函数xx y 1+=的值域为 .6. 设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .7. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log3f 的值为 .8. 设7.06-=a ，6.0log7.0=b ，7log6.0=c ，则c b a ,,从小到大的排列顺序为 .9. 已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x x x f ，则=-)1(x f . 10. 函数x xy ln 21+=的单调减区间为 .11. 设直线a y =分别与曲线x y =2和xe y =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为 . 12. 下列说法：xyO图②22xyO图③2 2xyO图①21 xyO图④22 11DACEB(第14题图)①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；②函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中0>a 且1≠a ）平移得到； ③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则)(x f 的周期为2； ④ “若062≥-+x x ，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称. 其中正确的命题的序号 .13. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 .14. 已知ABC ∆的面积为1，点D 在AC 上，AB DE //，连结BD ，设DCE ∆、ABD ∆、BDE ∆中面积最大者的 值为y ，则y 的最小值为 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分） （1）已知1>>b a 且310loglog=+a b ba，求a b baloglog-的值.（2）求1.0lg 10lg5lg 2lg 125lg 8lg --+的值.16. （本小题满分14分）已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C . （1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分14分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1． 设xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.18. （本小题满分16分）已知奇函数)(x f y =定义域是]4,4[-，当04≤≤-x 时，x x x f 2)(2--=.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 的值域； （3）求函数)(x f 的单调递增区间.AB45 PQDCθ第19题图19. （本小题满分16分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD 。
在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为045 (其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上),设t PAB ==∠θθtan ,.（1）用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值；（2）问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少(平方百米)？20. （本小题满分16分）已知函数(),()ln x x f x e ax g x e x =+=（1）设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线(1)1x e y +-=垂直，求a 的值. （2）若对任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，确定实数a 的取值范围.（3）当1a =-时，是否存在实数0[1,]x e ∈，使曲线:C ()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.2013届苏州市五市三区高三数学期中考试模拟试题(1)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.命题“x x R x >∈∀2,”的否定是 . 答案：x x R x ≤∈∃2,2.已知集合}55|{},53|{<<-=≤<-=y y N x x M ，则=N M ． 答案：)5,3(-3.设b a ,都是实数，那么“22b a >”是“b a >”的 条件．既不充分也不必要 4.函数x x f ln 1)(-=的定义域为_______.答案：],0(e 5.函数xx y 1+=的值域为____________．答案：(][),22,-∞-⋃+∞6.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，给出如下四个图形，其中能表示从 集合M 到集合N 的函数关系的是 .答案：④7.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log3f 的值为 .答案：1188.设7.06-=a ，6.0log 7.0=b ，7log6.0=c ，则c b a ,,从小到大的排列顺序为 ▲ .答案：b a c <<9.已知函数]2,1[,2)(2∈-=x x x x f 则=-)1(x f . 答案：]3,2[,342∈+-x x x 10.函数x xy ln 21+=的单调减区间为 ．答案：)21,0(11.设直线a y =分别与曲线x y =2和xe y =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为___________.答案：2212.下列说法：①当0>x 且1≠x 时，有2ln 1ln ≥+xx ；xyO图②22x yO图③2 2xyO图①21 xyO图④22 11DA CEB(第14题图)②函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）平移得到； ③若对R x ∈，有),()1(x f x f -=-则),(x f 的周期为2； ④ “若062≥-+x x ，则2≥x ”的逆否命题为真命题；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确的命题的序号 . 答案：②③13. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 答案：1或3-14. 已知ABC ∆的面积为1，点D 在AC 上，AB DE //， 连结BD ，设DCE ∆、ABD ∆、BDE ∆中面积最大者的 值为y ，则y 的最小值为答案：253-二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. （本小题满分14分） （1）已知1>>b a 且310loglog=+a b ba，求a b baloglog-的值.（2）求1.0lg 10lg5lg 2lg 125lg 8lg --+的值.(1)38-……………………7分(2)-4……………………14分16. （本小题满分14分） 已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C .（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围. 解：(1)∵),7[]2,(+∞--∞= A ，)3,4(--=B ，………………………………………………4分∴)3,4(--=B A .………………………………………………6分 (2) ∵A C A =∴A C ⊆.………………………………………………8分①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m .……………………………………9分②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m .……………………………12分∴6≥m .………………………………………………13分 综上，2<m 或6≥m …………………………14分17. （本小题满分14分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围； 解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ． ….6分（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-xx k f 可化为xxxk 22212⋅≥-+，化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ，所以k 的取值范围是]1,(-∞． ………14分 18.（本小题满分16分）已知奇函数)(x f y =定义域是]4,4[-，当04≤≤-x 时，x x x f 2)(2--=. (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 求函数)(x f 的值域； (3) 求函数)(x f 的单调递增区间.（1）40,04,22)(22≤<≤≤-⎩⎨⎧---=x x x x x x x f …….5分（2）]8.8[-….12分（3）)1,4(--和)4,1(….16分19. （本小题满分16分）解(1).10,1,≤≤-==t t CP t BP,11)45tan(,450tt DQ DAQ +-=-=-=∠θθ.12111tt tt CQ +=+--=------------------3分tttt t CQCPPQ ++=++-=+=∴11)12()1(22222---------------------6分=++=∴PQ CQ CP l 211111212=++-=+++++-t t tttt t ---------------------9分(2)tt t tt t S S S S ADQ ABP ABCD+-⋅--=+-⋅⋅-⋅⋅-⋅=--=∆∆1121211112112111正方形=+--+=-+⋅--=++-⋅--=112211)112(21211)1(22121t t t t t t t )1121(2+++-=t t -----------------12分01>+t 22112122)1121(2-=+⋅+-≤+++-=∴t t t t S(当且仅当1121+=+t t ,即12-=t 等号成立) -----------15分答:探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为22-平方百米.-----------16分20.（本小题满分16分）已知函数(),()ln xxf x e axg x e x =+=（1）设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线(1)1x e y +-=垂直，求a 的值（2）若对任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，确定实数a 的取值范围（3）当1a =-时，是否存在实数0[1,]x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，说明理由 解: （1）()x f x e a '=+，因此()y f x =在()1,(1)f 处的切线的斜率为e a +， 又直线(1)1x e y +-=的斜率为11e-， ∴（e a +）11e⋅-＝－1，∴ a ＝－1. …………….3分（2）∵当x ≥0时，()x f x e ax =+0>恒成立，∴ 先考虑x ＝0，此时，()x f x e =，a 可为任意实数； 又当x ＞0时，()x f x e ax =+0>恒成立，则xea x>-恒成立， 设()h x ＝xex-，则()h x '＝2(1)xx e x-，当x ∈(0,1)时，()h x '＞0，()h x 在(0,1)上单调递增， 当x ∈(1,＋∞)时，()h x '＜0，()h x 在(1,＋∞)上单调递减， 故当x ＝1时，()h x 取得极大值，max ()(1)h x h e ==-， ∴ 实数a 的取值范围为(),e -+∞． …………….9分 （3）依题意，曲线C 的方程为ln xxy e x e x =-+，令()u x ＝ln x xe x e x -+，则()ln 1x x xeu x e x e x'=+-+设1()ln 1v x x x=+-，则22111()x v x xxx-'=-+=，当[]1,x e ∈，()0v x '≥，故()v x 在[]1,e 上的最小值为(1)0v =，所以()v x ≥0，又0xe >，∴1()ln 11xu x x e x ⎛⎫'=+-+⎪⎝⎭＞0，11 而若曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直， 则0()u x '＝0，矛盾。