信号与系统第二章(陈后金)2

x' (t ) w0 cosw0t [u(t ) u(t T )] sin w0t [ (t ) (t T )] w0 cos w0t [u(t ) u(t T )]
x(t) 1 T 0 1 t
0 T x' (t)
w0
t
w0
离散时间信号的时域描述
[ k n]
1 k
0
n
二、基本离散时间序列
4．单位脉冲序列
单位脉冲序列的作用 表示任意离散时间信号
x [k] 3 2 1 2 1 0 1 2 3 k 2
[k ]
1
2 1 0 1 2
k
x[k ] 3 [k 1] [k ] 2 [k 1] 2 [k 2]
t
[例] 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为 常数， w0= 2p/T 。
(1) x(t ) t[u(t ) u(t T )] (2) x(t ) sin w0t [u(t ) u(t T )]
解： (2) x(t ) sin w0t [u(t ) u(t T )]
du(t ) (t ) dt t u (t ) ( )d

[k ] u[k ] u[k 1]
u[k ]
n
[ n] u[n]
k
k
dr (t ) u(t ) t dt r (t ) u ( )d

u[k ] r[k 1] r[k ]
j0 ( k N )
e
j0 k
e
j0 N
e
j0 k
即0N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。
如果0 /2p m/N ， N、m是不可约的整数，
则信号的周期为N。
[例]判断下列离散序列是否为周期信号.
1) x1[k] = cos(kp/6)
0 /2p 1/12, 由于1/12是不可约的有理数，
故离散序列的周期N=12。
2) x2[k] = cos(k/6),
0 /2p 1/12p, 由于 1/12p不是有理数，
故离散序列是非周期的。 3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列 6π x3 [k ] x3 (t ) 1 cos( k ) t k 8 8 0 /2p 3 / 8 由于3/8是不可约的有理数，故x3[k]的周期为N=8。
e
j0k
e
0 w0T
两者的区别:
e j 0 k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e
j( 0 n 2 π ) k
e
j 0 k
e
j2 πnk
e
j 0 k
cos(0k)当角频率0从0增加到p时的波形
1
1
1
0
低
0 10 20 30 40
0
频
10 20
信
30 40
0
x(2t)
x(t/2)
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
2. 信号的翻转
x(t) x(t)
将 x(t) 以纵轴为中心作180翻转
x(t) 1 1
x(t)
2
0
1
t
1
0
二、基本离散时间序列
1．实指数序列
r >1
x[k ] Ar , k Z
k
0< r <1
k
r <1
1< r <0
k
k
k
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列 x[k ] A cos(0 k ) x[k ] e j0k
利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即
Ar e
k j0k
Ar cos( 0 k ) jAr sin( 0 k )
k k
k
k
衰减正弦信号
增幅正弦信号
二、基本离散时间序列
4．单位脉冲序列
定义：
[k ]
1
1 [k ] 0
k 0 k 0
2 1 0 1 2
k
1 k n [k n] 0 k n
离散时间信号的表示
基本离散时间序列
实指数序列 虚指数序列 和 正弦序列 复指数序列 单位脉冲序列 单位阶跃序列 矩形序列 斜坡序列
一、离散时间信号的表示
3
序列的图形表示
x[k ] 2
1 1
-1 0 1 2 3
k
序列的列表表示
表示k=0的位置
x[k]=[0, 2, 0, 1, 3, 1, 0]
先翻转 再展缩 后平移
：右移b/a单位 +：左移b/a单位
0<a<1，扩展a倍 a>1， 压缩1/a倍
[例] 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为
常数，w0= 2p/T。 (1) x(t ) t[u(t ) u(t T )] (2) x(t ) sin w0t [u(t ) u(t T )]
e j0k cos 0 k jsin 0 k
1 j0k cos 0 k (e e j0k ) 2
1 j 0 k sin 0 k (e e j 0 k ) 2j
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
e
j0 k
可由e
jw0t
抽样得到
jw0t t kT ,
号
0 10 20 30 40
-1
-1 0
-1
00
1
1
00.1p
1
00.2p
0
高
0 10 20 30 40
0
频
0 10 20
信
30 40
0
号
10 20 30 40
-1
-1
-1 0
00.8p
00.9p
0p
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
周期性：
若e
j 0 N
1 则e
r[k 1]
n
1
1
x(t )
t
2
1
x2 (t )
1
t
t
5. 信号的相乘
1 x1(t)
x(t) = x1(t) x2(t)
t
x(t )
1
1
1
x2(t)
1 t 1
1
2 2 t
6. 信号的微分
x(t )
1
2 1
1 1
2 1 1
y(t) = dx(t)/dt = x '(t)
1 y(t ) 2
1. 尺度变换
x(t) 1
x(t) x(at) a>0
若0<a<1，则x(at)是x(t)的扩展。 若a>1， 则x(at)是x(t)的压缩。
2
0
1
t
x(2t) 1 1
x(t/2)
1 0
0.5
t
4
0
2
t
[例] 尺度变换后语音信号的变化
x(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的时域分析
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算
离散时间信号的时域描述
离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
连续时间信号的基本运算
信号的尺度变换 信号的翻转 信号的时移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积分
2
t
3. 时移（平移） x(t) x(tt0)
x(t) 1
t0>0
2
0
1
t
x(tt0)表示信号右移t0单位； x(t+t0)表示信号左移t0单位。
x(t1) 1 1
x(t+1)
1
0
1
2
t
3
1
0
t
4. 信号的相加 x(t) = x1(t)+x2(t)+ ……+xn(t)
x1 (t )
N 1 m 0
RN [k ] u[k ] u[k N ] [k m]
RN [k] 1
2 1 0 1 2
k N1
二、基本离散时间序列
7．斜坡序列
r[k ] ku[k ] n [k n]
n 0

r [k]
3 2 1
4
k 0 1 2 3 4
1 k 0 u[k ] 0 k 0
t
2
t
注意：对不连续点的微分
y(t )
1 1
2
2
1
1
y' (t)
t
(1)
(1)
t
(1) (1)
7. 信号的积分
y(t )
x(t )
1

t

x( ) d x ( 1) (t )
y(t ) x ( 1) (t )
1
t
0
1
t
0
1
[例] 已知x(t)的波形如图所示，试画出x(62t) 的波形。 解：
解： (1) x(t ) t[u(t ) u(t T )]
x' (t ) u(t ) u(t T ) t[ (t ) (t T )] u (t ) u (t T ) T (t T )
x (t )
T
x' (t )
1
0
t T
T 0 (T)
1)x1[k] = cos(kp/6)
x1[k] k
0
2)x2[k] = cos(k/6)
x2[k] k
0
3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
x3(t), x3[k]
1
0 1
1
t
二、基本离散时间序列
3．复指数序列 x[k ] Ark e j k Azk
0
2 x(t) 1 t
0
3
缩2 翻转 右移3 x(t ) x(2t ) x(2t ) x[2(t 3)]
x(2t) 1 1 t
1.5 1 t x(2t)
1 x(2t+6)
1.5
1
1.5
4
t
b x(at b) x[a(t )], a 0 a
二、基本离散时间序列
5．单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1
1 k 0 u[k ] 0 k 0
k
2 1 0 1 2
[k]与u[k]的关系:
[k ] u[k ] u[k 1]
பைடு நூலகம்
u[k ]
n
[ n]
k
二、基本离散时间序列
6．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise