排队论模型与蒙特卡罗仿真

P{x(tn ) n |x(t1 )x1 ,x(t2 )x2 ,...,x(tn1 )xn1 } P{x(tn ) n |x(tn1 )xn1 }
也就是说过程在t+Δ t所处的状态与t以前所处的状 态无关。 ②平稳性：即对于足够小的Δ t，有：
P1 ( t，t t ) t ( t )
Pn{t1, t 2} P{N (t 2) N (t1) n}
当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程 就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流)。
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普阿松流具有如下特性：
. t0 t1 . t2 . … . tn-1 . tn . .
① 无后效性：各区间的到达相互独立, 即 Markov 性。
排队可以是有形的，也可以是无形的。 如几个顾客打电话到出租车站要车，如 果出租车站无足够车辆，则部分顾客只得在 要车处等待，他们分散在不同地方，形成一 个无形的排队序列。
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排队的不一定是人，也可以是物。 例如：生产线上等待加工的原料、半 成品； 因故障停止运转等待修理的机器等。
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上述问题虽互不相同，但却都有 要求得到某种服务的人或物以及提供 服务的人或机构。 排队论里把要求服务的对象统称 为“顾客” , 提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”。
· þ Î ñ ¹ æ Ô ò
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Í ¼ 1 Å ¶ Ó Ï µ Í ³ Ê ¾ Ò â Í ¼
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3 . 1.1 输入过程
输入即顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独 立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（stationary），也 可以是非平稳的。输入过程平稳的指顾客相继到达 的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关； 非平稳的则与时间相关。
图3 排队系统状态变化示意图
t
4.根据排队系统对应的理论模型求用以判断系 统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lg）:系统中排队等待服务的顾客数。 (2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。 平均等待时间(Wg):一个顾客在系统中排队等待的时间。 (3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次 为空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾 客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）
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求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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3.1.3 服务机构
1 ）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，
这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同
队列，不同形式的排队服务机构。如前图2-1到23： 2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
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3.2
排队系统的描述符号与模型分类
服务时间的分布：
接受服务，然后离开
对顾客的服务时间：系统处于忙期时两顾客相继离 开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，设：
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不同的顾客与服务组成了各式各样的 服务系统。顾客为了得到某种服务而到 达系统、若不能立即获得服务而又允许 排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图2-1至图2-3。
图2-1 单服务台排队系统
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图2-2
单队列——S个服务台并联的排队系统
图2-3
S个队列——S个服务台的并联排队系统
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在[t,t+Δ t]内有一个顾客到达的概率与t无关, 26 而与Δ t成正比。
λ >0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。 ③ 普通性：对充分小的 Δ t,在时间区间（t,t+Δ t） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小. 即
Pn (t , t t ) o(t )
大小，就构成了随机服务系统中的一对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所
要研究解决的问题。
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三 排队论的研究方法
3.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。
¹ Ë ¿ Í Ô ´
¹ Ë ¿ Í µ ½ ´ ï
Å ¶ Ó ½ á ¹
Å ¶ Ó ¹ æ Ô ò
0
∴
FT (t ) 1 P0 (t ) 1 e
t
t>0 t>0
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dFT t f ( t ) e 其概率密度函数为： T dt
即T服从负指数分布，它的期望及方差为：
λ 表示单位Fra Baidu bibliotek间内顾客平均到达数。 E[T ] 1
1 Var[T ] 2
1/λ 表示顾客到达的平均间隔时间。 可以证明，间隔时间 T 独立且服从负指数分布与 顾客到达形成泊松流是等价的。
先到先服务（ FCFS ） 按顾客到达的先后顺序 对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
此 外 还 有 后 到 先 服 务 （ LCFS ） ， 随 机 服 务 （RAND）和优先权服务（PR）三种情形。
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(3) 混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规 则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具 体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过规定数量 时，后来顾客就自动离去，另求他处服务。 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。 另两种情况指等待时间和逗留时间限制的情形，略去。 一般的，损失制和等待制可认为是混合制的两种极端特 殊情形。
t>0，n=0,1,2,… （2）
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程， 即泊松过程。 24
在一定的假设条件下 一个泊松过程。
顾客的到达过程就是
若设N(t)表示在时间区间 [0,t)内到达的顾客数 (t>0),Pn(t1,t2) 表 示 在 时 间 区 间 [t1,t2)(t2>t1) 内 有 n(≥0)个顾客到达的概率。即： （t2>t1，n≥0）
上述特征中最主要的、影响最大的是：
• 顾客相继到达的间隔时间分布
• 服务时间的分布
• 服务台数
D.G.Kendall在1953提出了分类法，称为Kendall记号
(适用于并列服务台)即：X/Y/Z，
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。 M—负指数分布Markov， D—确定型分布Deterministic， Ek—K阶爱尔朗分布Erlang，
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3.3 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断 :即判断一个给定的排 队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行 研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3. 最优化问题：即包括最优设计 ( 静态优化 ) ， 最优运营（动态优化）。
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3.4
理论分布
1.泊松分布
在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变 量为X，则有：
P{ X n}
e
n
n!
n=0,1,2,…
（ 1）
式中λ 为常数(λ >0)，称X服从参数为λ 的泊松分布， 若在上式中引入时间参数t，即令λ t代替λ ，则有：
( t ) n t Pn{t } e n!
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二 排队现象
排队是我们日常生活中常见的现象，
• • • • 如： 上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 病员到医院看病； 学生去食堂就餐等出现的排队和等待 服务现象。
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排队论就是研究排队现象及其规律的一 门学科，是运筹学的一个分支。如同数学的 特质那样，排队论研究的内容比我们感觉中 的排队现象要广泛得多，它是研究那些本质 上都有排队特征的一类现象。具体表现在：
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求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由 于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也 很难使用。因此常常使用它的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n (t ) p n
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 稳态的物理意义图，系 pn 统的稳态一般很快都能 达到，但实际中达不到 稳态的现象也存在。要 注意的是求稳态概率Pn 并不一定求t→∞的极限, 稳定状态 过渡状态 只需求Pn’(t)=0 。 22
面对拥挤现象，人们总希望尽量设法减 少排队，通常的做法是增加服务设施。 但是增加设施的数量越多，人力、物力 的支出就越大，同时会出现空闲浪费。 如果服务设施太少，顾客排队等待的时 间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。
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顾客排队时间的长短与服务设施规模的 如何做到既保证一定的服务质量指标， 又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
排队论模型与蒙特卡 罗仿真
--基本原理、 MATLAB实现及案例分析
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讲座提纲
•一 •二 •三 •四 •五 •六 引例 排队现象 排队论的研究方法 蒙特卡罗仿真原理 仿真例子与分析 作业
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一 引例
• 1 到银行取钱，发现前面有几十个人在排 着队，你掉头就走：不能忍受啊！怎么不多开 几家银行、再增加几个服务窗口啊！ 假如你 是相关人员，你觉得应根据什么来决定是否需 要开设新的银行或增加新的服务窗口——要知 道这次让你心烦具有随机性（偶然性）啊。 • 2 银行一般都有几个服务窗口，过去是顾 客每个窗口分别排队等待服务，而现在几乎都 改为叫号制，这相当于多个窗口只排一队的服 务规则。银行为什么要这么做? 有什么好处？
n2

P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率 为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
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2.负指数分布
当输入过程是泊松流时，我们研究两顾客相继到 达的时间间隔的概率分布。 设T为时间间隔，分布函数为FT（t），则： FT（t）=P{T≤t} 此概率等价于在[0，t）区间内至少有1个顾客到 达的概率。 对分布函 间隔： 间隔： t 间隔 数微分 ∵没有顾客到达的概率为： 5）式而来) P (t ) e (由（
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3 . 1 . 2. 排队规则
分为损失制、等待制、混合制三大类。 (1) 损失制 指如果顾客到达排队系统 时，所有服务台都已被先来的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。 典型例子是，如电话拔号后出现忙音， 顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打， 就需重新拔号。
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(2) 等待制 当顾客来到系统时，所有服务台都 不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
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GI— 一般相互独立随机分布(General Independent)， G —一般随机分布，
Y——填写服务时间分布（与上同），
Z——填写并列的服务台数。 如 M/M/1即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布， 单台的排队系统模型。 在1971年的一次国际会议上，将Kendall记号扩充为 ： X/Y/Z/A/B/C。其中前三项意义不变，后三项为 A——排队系统的最大容量 B——顾客源数量 C——排队规则 并 约 定 ， 如 略 去 后 三 项 ， 即 指 X/Y/Z/∞/∞/FCFS 。 M/M/1/∞/∞/FCFS，可简写为 M/M/1 ，指顾客到达为泊 松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无 限源，先到先服务的排队系统模型。