第八章地理系统的线性规划
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
线性规划PPT课件
本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规划(上课课件)
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况）
xmk , mk 0. 证明：某个非基变量 xm k 换入基变量中，得到基可行解 X
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T 得到新的基可行解： x(2)=(0,3,2, 16 , 0) T S2= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
其中（1）—1/2（3）
这个方案比前方案好，但是否是最优？
这个方案比前方案好，但是否是最优？ 分析： Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
•继续寻找更优的基可行解，进一步改进 目标函数值。当某一个基可行解不能再改 善时，该解就是最优解。
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
增加单位产品乙（x2）比甲对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
权重系统讲义--线性规划(定稿)
新课标高考必备
权重系统彻底突破
考点 1：平面区域
★数学科★
【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A {( x, y ) x y 1 ，且 x 0 ， y 0} ，则平面区域
B ( x y，x y ) ( x，y ) A 的面积为（
A. 2 B. 1
3．解线性规划问题的步骤
（1）求可行解：即可行域 （2）作出目标函数的等值线 （3）求出最终结果 4．简单的线性规划的三类题型 （1）求可行域面积 （2）求可行域中整点个数 （3）求约束条件中参数的取值范围 （4）求目标函数的取值范围
1
主编：张舒惠
邹云
刘炳威 程伟
行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。
x 2 【例 5】若 x 、 y 满足约束条件 y 2 ，则 z x 2 y 的取值范围是（ x y 2
A . [ 2, 6] B . [ 2, 5] C . [3, 6]
）
D. [3, 5]
x y 2 o 【例 6】设变量 x， y 满足约束条件 x 5 y 10 0 ，则目标函数 z 3x 4 y 的最大值和最小值分别为 x y 8 0
A. ( ,1)
） B. ( ,1)
1 4
1 2
C. ( , )
1 1 2 4
D. ( , )
1 1 2 2
x 1 【例 14】设不等式组 x 2 y 3 0 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 1 关于直线 3x 4 y 9 0 y x 0
对称，对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B , | AB | 的最小值等于（ A. ） D.2
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化某个线性函数，该函数被称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列线性等式或不等式，这些条件被称为约束条件。
3. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件和决策变量的取值范围。
1. 目标函数的确定：根据实际问题确定要最大化或最小化的线性函数。
2. 约束条件的确定：根据实际问题确定线性等式或不等式的约束条件。
3. 决策变量的确定：根据实际问题确定需要决策的变量及其取值范围。
四、解法线性规划有多种解法，包括图形法、单纯形法、内点法等。
下面介绍两种常用的解法：1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。
通过逐步迭代改进当前解，直到找到最优解。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决物流配送中的最优路径问题，以最小化运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于合理分配有限资源，以满足不同需求的最优化。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型，可以求解线性约束条件下的最优解。
本文对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行了总结。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。
2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常用符号x表示。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。
等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。
4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。
它通常由决策变量和系数构成。
三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。
2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。
目标函数可以是最小化或者最大化的。
3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。
每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。
四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。
图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，逐步逼近最优解。
单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。
3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。
五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。
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y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划及其求解
2675.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 375.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000 X3 75.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 1.050000 2) 0.000000 0.625000 3) 0.000000 0.300000
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4
蕴含约束：数量非负
x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
第10页
模
型
min s.t.
c
i 1 j 1
2
4
ij
x
第 9页
问 题 分 析
可控因素：从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量 设为 x ij ; i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小 费用函数 c ij x ij
i 1 j 1 2 4
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换 概念
第 4页
生 产 计 划 问 题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 料数量（公斤） 原料P1 原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元） 产品 Q1 产品 Q2 产品 Q3
… … …
am1 am2 …am
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
线性规划的图解法
线性规划的图解法
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
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演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
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二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
地理系统的线性规划
而且使
z = ∑∑ cij xij → min
i =1 j =1
m
n
设有两个煤矿A1，A2，其最少产煤量分别为 23万吨和27万吨，他们的产煤量应充分供保 证应B1,B2,B3三个城市的需求，这三个城市 的需煤量最少分别为17万吨、18万吨和15万 吨，而从两个煤矿到各个城市的运费见运费 表。问应如何合理调运才能使总运费最省？
线性规划解的性质
①线性规划问题的可行解集（可行域）为 凸集。 ② 可行解集S中的点X是顶点的充要条件是 基本可行解。 ③若可行解集有界，则线性规划问题的最 优值一定可以在其顶点上达到。 因此线性规划的最优解只需从其可行解集 的有限个顶点中去寻找。
四、线性规划问题的求解方法——图解法 线性规划问题的求解方法 图解法 线性规划的图解法(解的几何表示)： 对于只有两个决策变量的线性规划问 题，可以二维直角坐标平面上作图表 示线性规划问题的有关概念，并求解。
常记为如下更为紧凑的形式
maxZ = CX AX = b X ≥ 0
（二）化为标准形式的方法
具体的线性规划问题，需要对目标函数或 约束条件进行转换，化为标准形式。 目标函数化为标准形式的方法 如果其线性规划问题的目标函数为 min Z = CX 显然有 minZ = max(-Z)=max Z′ max Zˊ= -CX 则目标函数的标准形式为
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1 ，x2 ，…， xn）表示某一规划方案，其一组定值代表一个具体的方 案，而且通常要求这些未知变量的取值是非负的。 ②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照 研究问题的不同，常常要求目标函数取最大或最小值； 二是约束条件，它定义了一种求解范围，使问题的解 必须在这一范围之内。 ③每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划学习线性规划的解法
线性规划学习线性规划的解法线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
线性规划的主要目标是在给定的线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法。
Ⅰ. 线性规划的基本概念线性规划问题通常可以表示为以下形式：给定一组线性约束条件和一个线性目标函数，求解目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件可以表示为一组形如ax1 + bx2 + … + c ≤ d的不等式，线性目标函数为z = cx1 + dx2 + … + e。
Ⅱ. 线性规划的解法线性规划问题的求解方法有多种，下面将介绍其中两种常用的解法：单纯形法和内点法。
1. 单纯形法单纯形法是一种逐步改进的方法，通过迭代寻找最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行基本解。
（2）选择进基变量：从非基变量中选择一个可以增大目标函数值的变量作为进基变量。
（3）选择出基变量：由于选择进基变量而产生的新的解是非可行解，需要选择一个基变量作为出基变量，并进行调整。
（4）迭代：重复进行步骤2和步骤3，直到找到满足条件的最优解。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的方法，通过寻找线性规划问题的可行解来逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行解。
（2）构造路径方程：引入一个路径参数，并构造路径方程，将线性规划问题转化为一系列等价的非线性问题。
（3）迭代：通过求解路径方程的解，逐步逼近最优解。
Ⅲ. 实例分析下面通过一个实例来说明线性规划问题的解法。
假设有一家制造公司生产两种产品A和B，分别需要通过机器X和机器Y进行加工。
机器X每小时可工作6小时，机器Y每小时可工作4小时。
产品A通过机器X加工需要1小时，产品B需要2小时；产品A通过机器Y加工需要2小时，产品B需要1小时。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
问该公司如何安排生产，才能使利润最大化？解：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则目标函数为z = 3x + 2y。
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?合理下料问题
? 用某种原材料切割零件 A1，A2, …,Am的毛 坯，现已设计出在一块原材料上有 B1，B2，…， Bn种不同的下料方式，如用 Bj下料方式可得 Ai 种零件aij个，设Ai种零件的需要量为 bi个。试问 应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要， 又节约原材料？
第八章 地理系统的线性规划 (Liner Programming ，LP)
线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和 比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛 与深入 ,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与 交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业 管理等各个领域。
在地理学领域，线性规划，作为传统的计量 地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统 优化问题的重要手段。
动日为主要原料生产 A、
B，现有资源数、生产 铜（吨）
每单位产品所需要原料 电力（千瓦） 数以及每单位产品可得
利润数如下表所示。 劳动日（个）
A(公斤 ) 9
B （公斤） 4
现有 资 源
360
4
5
200
3
10
300
单位利润（千瓦） 7
12
?2. 资源利用问题
? 假设某地区拥有 m种资源，其中，第 i种资 源在规划期内的限额为 bi(i=1，2，…，m)。这m 种资源可用来生产 n种产品，其中，生产单位数 量的第 j种产品需要消耗的第 i种资源的数量为 aij(i=1，2，…，m；j=1,2, …,n)，第j种产品的单 价为cj(j=1，2， …，n)。试问如何安排这几种产 品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总 产值达到最大 ?
4x1 ? 3x2 ? 2x3 ? x4 ? x5 ? 50 x2 ? 2x4 ? x5 ? 3x6 ? 20
x3 ? x5 ? 2 x7 ? 15 xi 为整数
最优解： x2=12, x5=15, 其余为0； 最优值： 27
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料 27米
钢管下料问题1
当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
?线性规划的数学模型 ?线性规划的标准形式及方法 ?线性规划的解及其性质 ?线性规划问题的求解方法——图解法 ?线性规划问题的求解方法——单纯形法 ?应用实例: 农场种植计划模型
一、线性规划的数学模型
? （一）线性规划模型之实例 ? 线性规划研究的两类问题： ? 某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、 物力和财力去完成该项任务； ? 面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何 安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最优规 划的范畴。 ? 以下为一些实例。
20
15
约束 满足需求
4x1 ? 3x2 ? 2x3 ? x4 ? x5 ? 50 x2 ? 2x4 ? x5 ? 3x6 ? 20
x3 ? x5 ? 2x7 ? 15
整数约束： xi 为整数
钢管下料(问题1)
目标1（总余量） Min Z1 ? 3x1 ? x2 ? 3x3 ? 3x4 ? x5 ? x6 ? 3x7
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数 (i=1,2,…7)
目标1（总余量） Min Z1 ? 3x1 ? x2 ? 3x3 ? 3x4 ? x5 ? x6 ? 3x7
模式 4米根数 6米根数 8米根数 余料
1
4
0
0
3
2
3
1
0
1
3
2
0
1
3
4
1
2
0
3
5
1
1
1
1
6
0
3
0
1
7
0
0
2
3
需求
50
钢管下料问题1 合理切割模式
模式 4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料(米)
1
4
0
0
3
2
3
1
0
1
3
2
0
1
3
4
1
2
0
3
5
1
1
1
1
6
0
3
0
1
7
0
0
2
3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
, n)
? i?1
??
?
n
x ij ? a i ( i ? 1, 2 , ?
, m)
? j?1
? ?
x ij
?
0(i ?
1, 2 , ?
, m ; j ? 1, 2 , ?
,n)
?
?
而且使 m n
?? z ?
cij xij ? min
i?1 j?1
资源合理利用问题
? 某工厂以铜、电力和劳
单位产品所需原 料
设第j种产品的生产数量为xj(j=1， 2，…，n)，则上述资源问题就是：
?
求一组实数变量 xj(j=1，2，…，n)，使
其满足
??
?
n
a ij x j
? bi (i ? 1,2,?
, m)
? j?1
? ?
x
j
?
0
( j ? 1,2,? , n)
n
? Z ? c j xj ? max j?1
客户需求 4米50根
煤矿
A1
X11
X12
X13
A2
X21
X22
X23
收量
17
18
15
城市 煤矿
A1 A2
运费表
B1
B2
50
60
60
110
发量
23 27 50
B3
70 160
?1. 运输问题
假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有
m个产地，n个销地。第i产地的产量为 ai（i=1， 2，…，m），第j 销地的需求量为 bj(j=1, 2，…，n)， 它们满足产销平衡条件
目标2（总根数） Min Z2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7
4x1 ? 3x2 ? 2x3 ? x4 ? x5 ? 50
约束条件不变 x2 ? 2 x4 ? x5 ? 3x6 ? 20
x3 ? x5 ? 2 x7 ? 15
xi 为整数
以上两个模型均是一般 整数线性规划
? ? 。 m
ai ?
n
bj
i?1
j?1
如果产地i到销地j的单位物资的运费为 Cij，要
使总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：
设xij表示由产地i供给销地j 的物 资数量，则上述问题可以表述为：
求一组实值变量xij(i=1，2，…， m；j=1，2，…，n)，使其满足
?? m
?
x ij ? b j ( j ? 1,2 , ?
合理运输问题
?设有两个煤矿A1，A2，其最少产煤量分别为 23万吨和27万吨，他们的产煤量应充分供保 证应B1,B2,B3三个城市的需求，这三个城市 的需煤量最少分别为17万吨、18万吨和15万 吨，而从两个煤矿到各个城市的运费见运费 表。问应如何合理调运才能使总运费最省？
运煤量表
城市
B1
B2
B3
钢管下料
原料钢管 :每根19米6米20根Fra bibliotek8米15根
问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根 4米1根 6米1根
8米1根 6米1根
余料1米 余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式 的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸