初高中数学衔接之数学思想方法

把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解
决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用
题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。
（1）高中体现
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知
识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数
关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解
决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思
想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决
举例：
例 1 已知函数 f(x)=logm x 3 x3
(1)若 f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断 f(x)在定义域上的增
初高中数学衔接之数学思想方 法
初高中数学衔接
——数学思想方法
目录 一、方程与函数思想
1.1 方程思想 1.2 函数思想 二、数形结合思想 2.1 数形结合思想 三、分类讨论思想
1.1 方程思想
方程知识是初中数学的核心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中
十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，
形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的
值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明。
举例
例 3、如图，抛物线ｙ＝－x2＋px＋q 与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交
于Ｃ点，若
∠ACB＝90O ，且 tan∠CAO－tan∠ABO=2。(1)求 Q 的值，(2)求此抛
故当 b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1
（3）由题意 A、B 两点应在直线 y=x 上，设 A(x1,x1),B(x2,x2) 又∵A、B 关于 y=kx+ 1 对称
2a2 1 ∴k=–1 设 AB 的中点为 M(x′,y′)
∵x1,x2 是方程 ax2+bx+(b–1)=0 的两个根
解：连接AO并延长交BC于F。设S△AOE为x，S△AOD为y。 因为△ABF与△ACF同高，所以S△ABF:S△ACF=底之比=BF:CF=2BF:2CF。① 同理S△OBF:S△OCF=底之比=BF:CF。② 由①和②得S△ABF:S△ACF=S△OBF:S△OCF=（S△ABF-S△OBF）:（S△ ACF-S△OCF）=S△AOB:S△AOC。 所以S△AOB:S△AOC=S△OBF:S△OCF 同理，S△BOA:S△BOC=S△OAD:S△OCD。即（3+x）:4=y:2 同理，S△COA:S△COB=S△OAE:S△OBE。即（y+2）:4=x:3 解这个方程组即可。解得x=4.2，y=3.6。所以所求四边形面积=x+y=8。 例5、正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图 形阴影部分的面积是____． （设每一个叶片的面积为x，“高脚杯 ”面积为
所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的
数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或
方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常
重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。方程型综合题，主
要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变
∴x′=y′= x1 x2 b ，
2
2a
又点
M
在直线
y
x
1 2a2 1
上有
b 2a
b 2a
1 2a2 1
，
即
b
a 2a2 1
1 2a
1
a
∵a＞0，∴2a+ 1 ≥2 2 当且仅当 2a= 1 即 a= 2 ∈(0,1)时取等号，
a
a
2
故 b≥– 1 ，得 b 的最小值– 2
22
4
(2)初中体现
3 3
x2 x2
3 3
6(x1 x2 ) (x1 3)(x2
3)
0
当 0＜m＜1 时，f(x)为减函数，当 m＞1 时，f(x)为增函数
（2）若 f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数
∴
f f
( (
) )
log m log m
物线的解析式。(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于
y
Ｍ、Ｎ两点。若以ＭＮ为直径的圆恰好与 x 轴相
C
切，求此圆的半径。
例 4、如图，D、E 分别是三角形 ABC 的 AC、AB
AO
Bx
边上的点，BD、CE 相交于点 O，若三角形 OCD 的面积是 2，三角形 OBE 的面积
是 3 ， 三 角 形 OBC 的 面 积 是 4 ， 求 四 边 形 ADOE 的 面 积 。
（2）若对任意实数 b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 y=f(x)图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)
的不动点，且
A、B
关于直线
y=kx+
2a
1
2
1
对称，求
b
的最小值
解 （1）当 a=1,b=–2 时，f(x)=x2–x–3，
由题意可知 x=x2–x–3，得 x1=–1,x2=3
3 3 3 3
log m log m
m( m(
1) 1)
即
m 2 m 2
(2m 1) (2m 1)
3(m 1) 3(m 1)
0,又 0
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即α,β为方程 mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0 的大于 3 的两个根
0 m 1
∴
16m2 16m 2m 1 3
2m
1
0
mf (3) 0
故当 a=1,b=–2 时，f(x)的两个不动点为–1,3
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，
∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，
即 ax2+bx+(b–1)=0 恒有两相异实根
∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立
于是Δ′=(4a)2–16a＜0 解得 0＜a＜1
减性，并加以说明；
(2)当 0＜m＜1 时，使 f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］
的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由 解 （1） x 3 0 x＜–3 或 x＞3 x3 ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α，有
x1 x1
∴0＜m＜ 2 3 4
故当 0＜m＜ 2 3 时，满足题意条件的 m 存在 4
例 2.对于函数 f(x)，若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立，则称 x0 为 f(x)的不动 点 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若 a=1,b=–2 时，求 f(x)的不动点；