中考数学解直角三角形的应用
微专题10 解直角三角形实际应用之四大模型++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
原型
【等量关系】BC为公共边
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变式
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
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【针对训练】
8.(2024·江西中考)图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建
筑,其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图2,“大碗”的主
2.(2024·济宁三模)如图,已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2,如果它把物
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体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为_________米.
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3.(2024·淄博二模)如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠
在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面
∠AFE=58°,BF的延长线交AD于点E,求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一
位).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
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【解析】根据题意可知四边形BEDC是矩形,
∴DE=BC=1.5 m.
∵tan∠ABE= ,tan∠AFE= ,
尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
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(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA的长度;
(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放,秋千摆动到另一侧与竖
直方向夹角为β的地方OA″,两次位置的高度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千
绳索OA的长度?如果能,请用含α,β和h的式子表示;如果不能,请说明理由.
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33º，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）(第15题)13【答案】0.4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
6【答案】35．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。
2023年安徽中考数学总复习专题：解直角三角形的实际应用(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：解直角三角形的实际应用1．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO＝60°，∠BPO ＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．3．投影仪，又称投影机，是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆AD与地面FC垂直，且AD的长为12cm，脚杆CD的长为50cm，AD距墙面EF的水平距离为240cm，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角∠EAD＝120°，脚杆CD与地面的夹角∠DCB＝42°，求光源投屏最高点与地面间的距离EF．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）4．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）5．小华在网上看到一个如图（1）的躺椅，他决定自己动手用木条制作一个简易的躺椅，如图（2）是简易躺椅的侧面，其中∠B＝44°，∠ACB＝17°，∠DEC＝∠DCE＝48°，AE=13AC，若木条AB＝5dm，请你计算木条AC，DE，DC的长．（相关数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97，sin17°＝0.29，cos17°＝0.96，tan17°＝0.31，sin48°＝0.74，cos48°＝0.67，tan48°＝1.11，结果保留一位小数）6．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深蓝的利器．如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为60°，当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为75.97°，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米）参考数据：3≈1.73，sin75.97°＝0.97，cos75.97°≈0.24，tan75.97°≈4.007．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B出发先沿水平方向向左行走37米到达点C，再经过一段坡度（坡面的垂直高度与水平方向的距离的比）为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E．在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮最高处A的仰角为24°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）8．一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B点，测得灯塔C在北偏东15°方向，求船与灯塔间的最近距离．9．海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A 的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为602海里的D处拦截到该可疑船只．（1）求点A到直线CB的距离；（2）若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73)10．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形BCLK的高BK＝19cm，宽BC＝40cm，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝76°，支架AF的长为240cm，篮板顶端F到篮筐D的距离FD＝90cm（FE与地面LK垂直，支架AK与地面LK 垂直，支架HE与FE垂直），篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝66°，求篮筐D到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin76°≈0.96，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）参考答案1．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，∵∠BPO＝45°，OP＝100，∴OB＝OP＝100．在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，∵∠APO＝60°，∴AO＝OP•tan∠APO．∴AO＝1003（米），∴AB＝100（3―1）（米）；（2）∵此车的速度=100(3―1)4=25（3―1）≈25×0.73＝18.25米/秒，70千米/小时=700003600米/秒≈19.4米/秒，18.25米/秒＜19.4米/秒，∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．2．解：（1）△OBD与△COE全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO∠ODBOC=OB，∴△COE≌△OBD（AAS）；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，∴EM＝DM+DE＝1.8（m），答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）∵OA＝OB=OD2+BD2=2．42+1．82=3（m），∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．故答案为：0.6．3．解：过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，则AB＝GF，AG＝BF＝240cm，∠GAB＝90°，在Rt△DBC中，∠DCB＝42°，CD＝50cm，∴DB＝CD•sin42°≈50×0.67＝33.5（cm），∵AD＝12cm，∴GF＝AB＝AD+DB＝45.5（cm），∵∠EAD＝120°，∴∠EAG＝∠EAD﹣∠GAB＝30°，在Rt△EAG中，EG＝AG•tan30°＝240×33=803（cm），∴EF＝EG+GF＝803+45.5≈183.9（cm），∴光源投屏最高点与地面间的距离EF约为183.9cm．4．解：作∠DAG＝50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H，则BEGH为矩形，∴GH＝BE，BG＝EH，设BE＝12xm，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴AE＝5xm，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，解得：x＝2（负值舍去），∴BE＝24m，AE＝12m，∴GH＝BE＝24m，在Rt△GAH中，tan∠GAH=GH AH，则24AH≈1.2，解得：AH＝20，∴EH＝AH﹣AE＝10（m），∴BG＝EH＝10m，答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．5．解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥FC于点N，如图，在Rt△ABM中，AB＝5dm，∠ABC＝44°，∵sin∠ABM=AM AB，∴AM＝AB•sin∠ABM＝5•sin44°＝5×0.69＝3.45dm，在Rt△ACM中，∠ACM＝17°，∵sin∠ACM=AM AC∴AC=AMsin∠ACM=AMsin17°=3.450.29≈11.9dm；∵AE=13 AC，∴EC=AC―AE=23AC=23×11.9≈7.93dm，∵∠DEC＝∠DCE＝48°，∴DE＝DC，∵DN⊥FC∴FN=CN=12EC≈3.97dm，在Rt△DEN中，EN＝3，97dm，∠DEN＝48°，∵cos∠DEN=EN DE，∴DE=ENcos∠DEN=3.97cos48°=3.970.67≈5.9dm答：AC的长为11.9dm，DE的长为5.9dm，DC的长为5.9dm．6．解：延长CB，交AE于点D，由题意得，∠DAB＝60°，∠DAC＝75.97°，∠ADC＝90°，BC＝2千米，设BD＝x千米，则CD＝（x+2）千米，在Rt△ABD中，tan60°=BDAD=xAD=3，解得AD=33 x，在Rt△ACD中，tan75.97°=CDAD=x+233x≈4.00，解得x≈1.5，经检验，x≈1.5是原方程的解且符合题意，∴CD≈3.5千米．∴点C到海面的深度约为3.5千米．7．解：过C作CM⊥OD于M，过F作FN⊥AB于N，如图所示：则FN＝EO，ON＝EF，OM＝BC＝37米，BO＝CM，FN∥EO，∴∠EDF＝∠DFN＝58°，∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝26米，∴BO＝CM＝10（米），MD＝24（米），∵DE＝50米，∴FN＝EO＝DE+MD+OM＝50+24+37＝111（米），在Rt△DEF中，tan∠EDF=EFDE=tan58°≈1.60，∴EF≈1.60DE＝1.60×50＝80（米），∴ON＝EF≈80米，∴BN＝ON﹣BO≈70（米），在Rt△AFN中，∠AFN＝24°，∵tan∠AFN=ANFN=tan24°≈0.45，∴AN≈0.45FN＝0.45×111＝49.95（米），∴AB＝AN+BN＝49.95+70≈120（米），即AB的高度约为120米．8．解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣15°＝75°，AB＝28×0.5＝14（海里），∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝45°，在Rt△ABE中，sin30°=BEAB=BE14=12，cos30°=AEAB=AE14=32，解得BE＝7，AE=73，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝7海里，∴AC＝AE+CE＝（7+73）海里，在Rt△ACD中，sin30°=CDAC=CD7+73=12，解得CD=72+732．∴船与灯塔间的最近距离为（72+732）海里．9．解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图．由题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH=12AC=12×120＝60（海里）．答：点A到直线CB的距离是60海里；（2）海警船能否在1小时内拦截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝602海里，AH＝60海里，∴DH=AD2―AH2=60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH=12 AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝203，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣203）海里，∵海警船的速度是30海里/小时，∴（60﹣203）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小时内拦截到可疑船只．10．解：延长FE交地面LK于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，则∠FML＝90°，AK＝GM，HE∥AG，∴∠FHE＝∠FAG＝66°，在Rt△ACB中，∠ACB＝76°，BC＝40cm，∴AB＝BC•tan76°≈40×4＝160（cm），∵BK＝19cm，∴GM＝AK＝AB+BK＝179（cm），在Rt△AFG中，AF＝240cm，∴FG＝AF•sin66°≈240×910=216（cm），∵FD＝90cm，∴DM＝FG+GM﹣FD＝216+179﹣90＝305（cm），∴篮筐D到地面的距离约为305cm．。
专题：解直角三角形的应用拥抱型
专题7：解直角三角形的应用拥抱型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例1（2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜i=（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，坡AB的坡度3:4︒≈︒≈）C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =，3sin 5BE BAE AB ∴∠==75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒tan 58 1.6x AN∴︒=≈58AN x ∴≈5608NE AN AE x ∴=+=+在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒45tan 220.4x BF -∴︒=≈5(45)2BF x ∴≈-5560(45)82x x ∴+=-解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．专题过关1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM ＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD ；（2）此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）【答案】（1）（2）()90+米【解析】【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH=DG=30米，DH=BG ，证明AB=BC ，设AB=BC=x米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到30903x x -=+据此求解即可．【小问1详解】解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，∴13DG CG =，∴90CG =米，∴CD ==米；【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG ，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，设AB=BC=x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH 中，tan 3AH ADH DH ∠==，∴30903x x -=+，解得90x =+，∴()90AB =米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．3.（2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD 的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测“大玉米”顶端C 处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测“大玉米”底部D 处的俯角是30°．已知楼房AB 高约是162m ，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果≈1.41≈1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt △ABD 中由边角关系求出AD 的长，在Rt △ACD 中，求出CD 即可．【详解】解：如图，由题意可知，∠CAD ＝45°，∠EBD ＝30°＝∠ADB ，AB ＝DE ＝162米，在Rt △ABD 中，∵tan30°AB AD=，∴AD 33==3，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝3≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE ＝2.5m ，在平地上的B 处测得石碑的底部E 的仰角为10°，向前走1m 到达点D 处，测得石碑的顶端A 的仰角为60°，求石碑AE 的高度.（精确到0.1m ；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183）【答案】石碑AE 的高度为19.8m【解析】【分析】在Rt BCE 中利用正切可求出BC 的长，从而得出CD 的长，再在Rt ACD △中利用正切即可求出AC 的长，进而可求出AE 的长．【详解】解：根据题意可知10EBC ∠=︒，60ADC ∠=︒，1m BD =．∵在Rt BCE 中，tan EC EBC BC∠=，∴ 2.5tan10BC ︒=，∴ 2.513.9m 0.18BC ≈≈，∴12.9m CD BC BD =-=．∵在Rt ACD △中，tan AC ADC CD ∠=，∴tan 6012.9AC ︒=，∴13.9tan 6012.912.9 1.22.37m 3AC =⨯︒=⨯≈⨯≈，∴22.3 2.519.8m AE AC EC =-=-=．答：石碑AE 的高度为19.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．5.（2022河南二模）洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE 的高度为21m ，他们在测量点A （与C 在同一水平线上）测得底座最高点E 的仰角为20°，沿AC 方向前进24m 到达测量点B ，测得老子铜像顶部D 的仰角为60°．求老子铜像DE 的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈，1.73≈）【答案】老子铜像DE 的高约38.3米．【解析】【分析】在t R ACE △，由根据正切定义解得AC 的长，继而得到BC 的长，在t R BCD 中，由正切定义解得CD 的长，最后根据线段的和差解答．【详解】解：在t R ACE △tan 20,21CE CE AC ︒==2158.33tan 20AC ∴=≈︒24AB =58.32434.3BC ∴=-=在t tan 60CDR BCD BC︒=，tan 6034.359.34CD BC ∴=⋅︒=⨯59.342138.3DE CD CE ∴=-=-≈（米）答：老子铜像DE的高约38.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．6.（2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.41，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM 的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1＝BMAM＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN 为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME ，在Rt △ABM 中，∠BAM ＝30°，∴AM ＝cos302AB AB °==（米），∴ME ＝AM+AE ＝（）米=BN ，∵∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN ＝（）米，∴CE ＝CN+NE ＝（）米，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE•tan53°≈21×43＝28（米），∴CD ＝CE ﹣DE ＝﹣28＝2≈6.7（米），即广告牌CD 的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．7.（2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G 信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD ）恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得信号柱顶端A 的仰角为30°，在C 处测得信号柱顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB 的长度．（结果保留根号）【答案】信号柱AB 的长度为12)+米【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，由锐角三角函数定义定义求出CH 、DH 、HG ，设BC x =米，再由锐角三角函数定义求出BG ，然后列出方程，解方程即可．【详解】（方法一）解：过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH AB ⊥交AB 于点H ，又AB BC ⊥，则四边形BEDH 为矩形，在Rt DCE V 中，1260CD DCE =∠=︒，，6CE DE ∴==，，=BH DE ∴=在Rt ABC △中，45ACB =︒∠，∴设==AB BC x ，(6)DH BE BC CE x ∴==++，(AH AB BH x ∴=-=+，在Rt ADH 中，30ADH ∠=︒，3tan 303AH DH ∴︒==，63x x -∴=+，解得：12)x =+．答：信号柱AB的长度为12)+米．（方法二）解：延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，在Rt DHC △中，60,12DCH CD ∠=︒=米，则cos 12cos 606CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），sin 12sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），,30DH BG G ⊥∠=︒，18tan 33DH HG G ∴===（米），24CG CH HG ∴=+=（米），设AB x =米，,30,45AB BG G BCA ⊥∠=︒∠=︒，,3tan 33AB BC x BG G ∴====（米），BG BC CG -=，324x -=，解得：312x =+，答：信号柱AB 的长度为312)+米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，因为tan ∠BDA＝，可求出AD ，又由tan30°＝，可求出CD ，即得到答案．【解答】解：由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，∴tan ∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan ∠CAD ＝tan30°＝＝＝，∴CD ＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．9.（2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【答案】路灯的高度为13.4m ．【解析】【分析】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2；在Rt △AFM 中求得 1.2tan10x FA -=︒，即可得 1.22tan10x AE -=︒；在Rt △CEP 中，可得1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，由此即可求得路灯的高度为13.4m ．【详解】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2，在Rt △AFM 中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，tan MF MAF FA ∠=，∴ 1.2tan10x FA -︒=，∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE=AE-AC= 1.22tan10x -︒-10，在Rt △CEP 中，∠PCE=27°，CE= 1.22tan10x -︒-10，tan PE PCE CE∠=，∴1.2tan27 1.22tan11xx-︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD ＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（8+4）m．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即这棵古树的高AB为（8+4）m．12.（2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到12≈1.414，3≈=1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【解析】【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程353x x -=+，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+x ＝7+≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A 处起飞，沿直线飞行120米至点B ，在此处测得楼基A 的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C ，在此处测得楼顶D 的俯角为30°，请计算万楼主楼AD 的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．【答案】万楼主楼AD 的高度约为52米．【分析】由题意可得在Rt △ABE 中和Rt △CDE 中，AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ，根据解直角三角形在在Rt △ABE 中，可计算出BE 和AE 的长度，在Rt △CDE 中，可计算出AD 的长度，由AD ＝AE ﹣AD 计算即可得出答案．【解答】解：由题意可得，在Rt △ABE 中，∵AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∴BE ＝＝＝60（米），AE ＝sin60°•AB ＝（米），在Rt △CDE 中，∵∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ＝60+30＝90（米），∴DE ＝tan30°•CE ＝＝30（米），∴AD ＝AE ﹣AD ＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD 的高度约为52米．14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m ，AB=10m ，∠C=90°，则BC=AC -AB=30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=o 故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．。
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。
在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。
下面列举一些常见的直角三角形应用题型。
1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。
这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。
例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。
解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。
2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。
由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。
例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。
解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。
3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。
我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。
例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。
解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。
利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。
4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。
我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。
例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。
解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。
以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
中考数学复习专题(五)解直角三角形的实际应用(含答案)
（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。
2023年数学中考试题精选：解直角三角形应用(一)
1.（2023.营口21题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B地在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程。
（参考数据：√2≈1.41，√6≈2.45）2.（2023.本溪铁岭辽阳22题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F 在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33）3.(2023.大连21题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景，已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC=10.4m，BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？（结果保留整数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）4.（2023.贵州省22题）贵州旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m，索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F. （图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）。
中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用
专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(一) 解直角三角形的实际应用
得起点 B 的仰角为 40°.斜坡 CD 的坡度为 i＝1∶2.4，底端点 C 与顶端
点 D 的距离为 26 m．参赛运动员们将从点 A 出发乘车沿水平方向行驶 100
m 到达点 C 处，再沿斜坡 CD 行驶至点 D 处，最后乘垂直于水平方向的电
梯到达点 B 处，则电梯 BD 的高度约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos
结
BD＝AB
CD＝EA，BD＋DA＝BA AD＋CE＋FB＝AB
1．(2021·南岸区校级期中)如图，某大楼 AB 正前方有一栋小楼 ED，小
明从大楼顶端 A 测得小楼顶端 E 的俯角为 45°，从大楼底端 B 测得小楼
顶端 E 的仰角为 24°，小楼底端 D 到大楼前梯坎 BC 的底端 C 有 90 m，
在坡比为 5∶12 的山坡上走了 1 300 m，此时小明看山顶的角度为 60°，
则山高为
( B)
A．(600－250 5)m
B．(600 3－250)m
C．(350＋350 3)m
D．500 3 m
6．(2021·重庆一中三模)如图，小欢同学为了测量建筑物 AB 的高度，
从建筑物底端点 B 出发，经过一段坡度 i＝1∶2.4 的斜坡，到达 C 点，
则高楼 AB 的高度为(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan
22°≈0.40)
(D)
A．60 m
B．70 m
C．80 m
D．90 m
4．如图，斜坡 AB 长 20 m，其坡度 i＝1∶0.75，BC⊥AC，斜坡 AB 正前
方一座建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告，小明在点 B 测得广告顶部 M 点
梯坎 BC 长 65 m，梯坎 BC 的坡度 i＝1∶2.4，则大楼 AB 的高度为(结果
2020届中考数学专题：解直角三角形及其应用知识点及典型例题(含答案)
解直角三角形及其应用【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=g°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c=°，∴ 1202c =．∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，203a =．举一反三：（1）已知a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=25 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是»AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案】(1)∵ »»AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝52，∴ BD＝225BC CD-=，∴ sin∠AEB＝sin∠DCB＝525552BDBC==．(3)在Rt△BDC中，BD＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴AD DEDB AD=，∴2AD DE DB=g．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭g，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BE．sin∠AEB＝32355452⨯=．举一反三：如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；（3）tanB=+224.类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为1:3i=（i＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【巩固练习】一、选择题1.在△ABC 中，∠C ＝90°，4sin 5A =，则tan B ＝( )． A ．43 B ．34 C ．35 D ．452．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( )．A ．7sin 35°B ．7cos35°C ．7cos 35°D ．7tan 35°3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h αg6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos5BDC∠=，则BD的长是( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )．A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A．2003m B．20033m C．1003m D．100m二、填空题9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan∠B的值为______．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第9题第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE 沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. 如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．17．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．(1)求垂直支架CD的长度．(结果保留根号)(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，cos BCB AB=．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ； 【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==g (米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题9．【答案】23；【解析】在Rt△ACM中，sin∠CAM＝35，设CM＝3k，则AM＝5k，AC＝4k．又∵ AM是BC边上的中线，∴ BM＝3k，∴ tan∠B＝4263 AC kBC k==．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，3sin602 AGAF==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 13AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =． 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ． ∴ 33(2)233x x -=+，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得3tan 30BD BC BD ==°． 又∵ BC-AB ＝AC ．∴ 320BD BD -=，∴ BD ＝2031-≈27.3(m)． 答：该古塔的高度约为27.3m ．17.【答案与解析】(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，∵ sin ∠CED ＝DC DE，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝383(厘米) 答：垂直支架CD 的长度为383厘米．(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383)x +厘米，AO ＝(150)x +厘米，∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝2(383)x +厘米，AO ＝(150+x)厘米， 解得：150763x =-≈18.52≈18.5(厘米)答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。
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挑战自我
2013年河南省第19题
我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，
需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米
增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高
工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角
∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角
∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加
的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sinD68°≈0.93，
cos68°≈0.37，
B
tan68°≈2.50， 3≈1.73 ）
60° 68°
CA
E
分享收获
老师寄语
拓展训练
2012年河南省
19.（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如 图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明 为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为 31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°， 已知点C到大厦的距离BC=7米，,请根据以上数据求条幅的长度 （结果保留整数.参考数据：）
tan68°≈2.5.
3≈1.7)
1000
A
D E海平面
30°
G
C
回顾解题秘笈
一、标（标数据） 把题目中出现的数据用铅笔标注在图形上，并确定求什么；
二、找（找Rt⊿） 找出图形中所有的Rt⊿，并尝试构造新的Rt⊿ ；
三、列（列方程） 在找到的Rt⊿中，选择合适的三角函数构造方程；
四、算（耐心算） 把题目中给出的近似值代入并准确计算，最后一步再 按要求四舍五入.特别不要忘了作答！
B
F D 30°
48°
E
A
C
解题秘笈
一、标（标数据） 把题目中出现的数据用铅笔标注在图形上，并确定求什么；
二、找（找Rt⊿） 找出图形中所有的Rt⊿，并尝试构造新的Rt⊿ ；
三、列（列方程） 在找到的Rt⊿中，选择合适的三角函数构造方程；
四、算（耐心算） 把题目中给出的近似值代入并准确计算，最后一步再 按要求四舍五入.特别不要忘了作答！
拓展训练
2009年河南省
20．（9分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B
地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可 直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°， ∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少 走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80）
A
45°
D
E C
F
37°
B
拓展训练
2008年河南省
20．（9分）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都 被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成 的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～ 0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上， 请你通过计算判断他安装是否比较方便? （参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.）
如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º， 朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶 端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，
cos48°≈0.67，ta直角三角形的应用
学习目标
1. 会用锐角三角函数解直角三角形，会用相关知识 解决简单的实际问题； 2. 探究并掌握解直角三角形应用题的一般规律； 3. 养成认真勤奋、反思质疑、独立思考、合作交流 的学习习惯.
历年考情
在2008—2015年， 连续八年， 7次考察到解直角三角形的应用问题，
在2011—2015年， 最近5年连续考察解直角三角形的应用， 3次考察仰角俯角的应用， 1次考察方位角的应用， 1次考察坡度坡角的应用.
直击考点
（1）仰角和俯角
视线
（2）方位角
北
A
30°
铅
仰角
垂
线
俯角
水平线
西
O
东
45°
视线
B
南
（3）坡度 i tan h
l
h
α
l
典例精析
2015年河南省第19题
老师寄语
人生就像一个函数。 上帝给了这个函数几个已知量，也给了这个函数一个未知量。 这个已知量不叫常数叫出身，这个未知量不是X是未来。 因为上帝给了人生一个已知量，故人生没有平等。 因为上帝给了人生一个未知量，故命运无法预知。 然而我们知道，函数最后的落点，与开始的起点千差万别，当我 们安于享乐，止步不前时，任上帝给了多高的起点，最后都无济于事， 只能眼看命运落入低谷，当我们坚忍不拔，奋勇向前时，即使上帝给 了一个很低的起点，也都无所谓；因为它最终会被远远甩开，会被我 们微笑俯视着。 于是我们发现，在人生这张图纸上，到底画出怎样的命运图像， 那只神奇的画笔，掌握在我们手里。 所以预祝各位同学，在中考前的最后100天里，奋勇向前，用自 己的努力描画属于自己的人生轨迹!
A
D E CB
拓展训练
2011年河南省
19.（9分）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第一高钢 塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从 地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为 60°．请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高 388米之间的误差．（参考数据：3≈1.732，2≈1.414．结果精确到0.1 米）
小组合作
2014年河南省第19题
在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰
A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方
1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°
试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深
度.（结果保留整数. 参考数 据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4
B
F
68°