届一轮复习函数的奇偶性与周期性(课堂PPT)
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
高考数学一轮复习课件23函数的奇偶性与周期性
即 f(-x)+f(x)=2b 是偶数.
∵f lg
1
=f(-lg a),
∴f(lg a)+f lg
1
是偶数,排除 A,B,故 C,D 可能满足条件.故选 CD.
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数
解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B
中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数 y=f(x+1)-2 为奇函数,所以函数 f(x)的图象关于点(1,2)
2-1
解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
B
(2)(2019 福建漳州质检二,16)已知函数 y=f(x+1)-2 是奇函
2-1
数,g(x)= -1 ,且 f(x)与 g(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
4- 2 ≥ 0,
(3)∵
| + 3| ≠ 3,
∴-2≤x≤2,且 x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
2025高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性【课件】
【解】 (1)由x32－－x32≥≥00，， 得 x2＝3，解得 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵4|x－＋x32|>≠0，3 ⇒－2<x<2 且 x≠0， ∴函数定义域关于原点对称． f(x)＝lxn＋43－－x23＝ln4－x x2， 又 f(－x)＝ln[4－－－x x2]＝－ln4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
奇函数 有－x∈I，且
f(－x)＝－f(x)
关于 ，那
原点
对称
么函数 f(x)就叫做奇函数
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)函数奇偶性常用结论 ①若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0，若函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． ②奇函数在两个关于原点对称的区间上若单调，则具有相同的单调性；偶函数在两个 关于原点对称的区间上若单调，则具有相反的单调性．
易错点睛：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件，忽视函数的定 义域是常见的思维障碍．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 函数的奇偶性 角度 1：函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝|lxn＋43－|－x23； (3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，<x0>，0 ； (4)f(x)＝loga(x＋ x2＋1)(a>0 且 a≠1)．
第二章 函数
第三节 函数的奇偶性与周期性
高考数学(人教)一轮复习配套课件2.3函数的奇偶性与周期性(共66张PPT)
—-H-弟二-p函数的奇偶性与周期性知识要求内容了解 ⑷理解(B) 掌握 (0奇偶性V周期性V三年考题宝干回顾•歩基團源温*提示4黑您在视石木貳件的辻 竝中出字他泉・謗吳 同幷右幻灯片・fitII# 可正*恋・13年（7考）:12年（4考）:11年（5考）: 福建T5湖南T4湖北T山东T3北京T3天津T7 重庆T9广东T4湖南T9江苏T10 浙江T16新课标全国卷T12广东T12 辽宁T6安徽T11 湖南T12要考点2•常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题3•多以选择题、填空题的形式出现1.函数的奇偶性、 期性的应用是高考的重考情【知识梳理】1 •奇函数、偶函数的概念及图象特征2函数的周期性⑴周期函数:T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①THO;② ___________ 对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个____ 就叫做它的最小正周期.⑶周期不唯一喏T是函数y=f(x)(xeR)的一个周期，则nT (nW 乙且r#0)也是f(x)的周期，即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数【考点自测】1・(思考)给出下列命题：①若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0;②函数f(x)=sinx,xW[0,2TT]为周期函数；③若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对称；④若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. 其中正确的是()A.①②B•①③ C.②③ D.③④【解析】选D.①错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义，如f(x)=，则f(0)不存在.②错误•函数f(x)在R上为周期函数而在［0,2珂上不是.③正确•岡数y二f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y二f(x)关于直线x二a 对称.④正确•常数y二f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y二f(x)关于点(b,0)中心对称. x2下列函数为偶函数的是（）A.y=tanxB.y=C.y=e xD.y=ln【解析】选D.由函数奇偶性的定义知A,B项为奇函数,C项为非奇非偶函数Q 项为偶函数. X3£1乙厂°Z ££7°芒厂v• =q+e^ 7 0=qX二贈厂0二叱創曲日申•日采【出期】(盾甸胡q+E?2T糜毘釦刃丁［陀1町丑X孝書xq+?xs(x)嗚口£4.(2014 •武汉模拟)函数y=f(x)(xeR)的图象如图所示，下列说法正确的是(①函数y=f (x)满足f(-x)=-f(x);②函数y=f(x)W 足 f (x+2)=f (・x);③函数y=f jxj满足f j・x)=f (xj;④函数y=fjxj 满足f&+2)=f(x).A.①③B.②④C.①②D.③④【解析】选c根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称，故为奇函数，所以①正确;又其图象关于直线x=1对称，所以②正确.5.(2013-山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时,f(x) =x2+，则f(-1)=()A.-2B.OC.1D.2【解析1选A.因为函数f(x)为奇函数,所lUf(-l) = -f(l),又因为当％>0时f(x)二x2+ ,所以f(巧二匸+ 二2 z f(-l) = -f(l) = -2.1>{M ^T H (I V 7H (寸 1)4丄8)4去监 亍34 L (叮)4"(叮3)富(寸吕“九心汙丄个讦百包富於讦於+^丄器【蚩】 ・上寸L¥oo =亘7HsrH(L)迈遐T软冈炬S9痕孫晅嗖X)蠢冈枫S 挺殆怅證寸LO CM )・9考点1确定函数的奇偶性【典例1】(1)(2013-广东高考)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1 ,y=2sinx r t I,奇函数的个数是()A.4B.3C. 2D.1(2)判断下列函数的奇偶性：【解题视点】⑴根据定义逐一验证奇偶性即可.(2)先求定义域,看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断【规范解答】⑴选C.y二x3,y=2sinx是奇函数y二x?+l是偶函数y二2*是非奇非偶函数.(2)①要使f(x)有意义则>0,解得Jvxsl ,显然f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.②因为所以-2sxs2 且x#0. 1 -X所以函数f(x)的定义域关于原点耳慎4-X2>0,\4-x 2 V4-x 2x+3-3 x③显然函数f(x)的定义域为：(-8 z 0)U(0, + OO)z 关于原点对称z 因为当x<0时z -x>0 ,贝!Jf(-x)=-(-x)2-x = -x 2-x=-f(x);又 f(x)二所以f(・x)二・f(k 即函数f(x)負奇函数当x>0时厂xvO ,则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x).综上可知：对于定义域内的任意X 函数.，总有f(・x)二-f(x)成立,所以函数f(x)为奇【易错警示】关注函数定义域本例第⑵①题容易忽略函数的定义域导致判断错误，所以判断函数的奇偶性时，切记先看定义域是否关于原点对称.【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：⑵图象法:【变式训练］(2014-兰州模拟)若函数f(x)=3x+3x与g(x)二3Q3-X的定义域均为只,则( )A・f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C・f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数g(x)为偶函数【解析】选B・因为f(・x)二3i3x二f(x), a(-x)二3眾_3乂二_g(x)z 所以f(x)为偶函数g(x)为奇函数故选“【加固训练】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= (2)f(x)=(3)f(x)= 彳1 i— i—x —. A/X2-1+Jl-x2.Xx2 +2,x>0,0, x = 0,—x~ — 2，x VO.【解析】⑴原函数的定义域为{X|XHO}, 并且对于定义域内的任意一个X都有f(-x)=(-x)3-从而函数f(x)为奇函数.1-X= -(x3--) = -f(x),X⑵f(x)的定义域为｛也“关于原点对称. 又f(-l)=f (l)=O,f(-l) = -f(l)=O/ 所以f(x)既是奇函数又是偶函数.⑶f(x)的定义域为R,关于原点对称，当x > 0时f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x < 0时f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时f (0)=0 也满足f(・x) = -f(x). 故该函数为奇函数.考点2函数的周期性及其应用【典例2】(1)(2013-湖北高考)x为实数，［x］表示不超过x的最大整数，则函数f(x)=x- ［x］在R上为()A.奇函数B・偶函数C.增函数D.周期函数⑵(2013-大纲版全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当XW ［1,3)时，f(x)=x-2,则f(-1)= ____ ・【解题视点】⑴根据［X］的规定，作出函数f(x)的图象由图象观察求解. (2)根据函数周期为T二2,得f(x)二f(x+2),从而将f(-l)的函数值转化为求f⑴的值【规范解答】（1）选D.由图象可知选D.(2)因为T 二2,则f(x) 以f(-l)二f ⑴二1-2 答案:J⑴因为XEW)时,f(x)=x-2,所—>3 %【互动探究】在本例⑵的条件下，求f(2014)+f(2015)的值. 【解析】由已知f(2014)二f(1007x2+0)二f(0)二f(2), f(2015)=f(2xl007+l)=f(l),所以f(2014)+f(2015)=f(2)+f(l)=(2-2) + (l-2)=-l.【规律方法】1判断函数周期性的两个方法⑴定义法.⑵图象法.3•函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.•〔C 9U X ・s —v —x )z二9.寸〕w xU+XE —s 1'至(X)二m Hx善(X)砸 H(X)4£n、x m d s J 二I匚丄ILI XB IF -0H(0)二 M .n s K E -幣(rx)显(X)脊呂・7i g ・ S J CN .X )翼(x)4 二寸匚」lilx怒(0)・O H(寸=+("§忘 -(寸)富(S +ZV 8节m 只E ・S Hl e【翟】【加固训练】1.(2014-舟山模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 且f ⑴=3,则f(2 014)=—・—f(x + )【解析】因为f(x)二所以f(x+3)== 二f(x)・所以f(x)是以3为周期的囲期酉I数. 则f(2 014)二f(67f«M卄谢软甥=3・答案：3 2 2_f(x+m2 •已知函数f(x)满足f(x+1 )=【解析】因为f(x+l)二所以所以f(x+4)二f(x),即函数f(x)的周/期内4. l+fgf (x + 2)=l + f(x + l)1-f(x + l) 1+l + f(x)1-fWf(汀寸-o z-寸 loz—(Is i-{M ^aH (m )v (m +寸羔&"("0吕去^ VLO0H34尺回3.(2013-济南模拟)设定义在R上旳函数f(x)满足f(x)-f(x+2)=13,若则f(99)= 【解凉卮为f(x) • f(x+2)二13,所以f(x+2)二则有f(x+4)二所以f(x)是以4为周期的周期函数所UAf(99)=f(25x4T l)=f(-l)= 答棄••f(x)‘13 _ 13f(x+2)=nr f(x)13 1313I考点3函数奇偶性的应用高频考点【考情】函数的奇偶性在求函数值，求解析式，求解析式中惨數H殖Ju 函数图象和判断单调性等方面有着重要应用，因此已成为高考命题的一个热点，常与函数的其他性质交汇命题，多以选择、填空题的形式出现.【典例3】⑴(2013•湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，且f(・1)4-g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1⑵(2014-济南模拟)若函数f(x)=ax2+(2a2-a-1 )x+1为偶函数,则实数a的值为()2A.1B.- 0.1或・ D.0【解题视点】⑴根据函数的奇偶性的定义利用f(-l)二-f⑴,g(・l)二g⑴求解.(2)根据f(x)-f(-x)二0构建关于a的方程求解.【规范解答】⑴选B.因为f(x)是奇函数g(x)是偶函数. 所以f(・T⑴,g(B=g⑴, 分别代入f(-l)+g⑴二2, f⑴+g(・l)二4再相加得g(l)=3.⑵选C.因为f(x)为偶函数所以f(x)・f(-x)二0, 即ax2+(2a2-a-l)x+l-[ax2-(2a2-a-l)x+l]=0.亦BP(2a2-a-l)x=0z又鹵为对x w R恒成立，所以2a2-a・l=0j解得a = 1或-.【通关锦囊】【通关题组】1.(2013-福建高考)函数f(x)=ln(xJl)的图象大致是()【解析】选A.f(-x)二In [ (-x)2+l ] =ln(x2+l)=f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，且xw(0,+8)时，f(x)是增函数,过点(0,0).。
2025届高中数学一轮复习课件《函数的奇偶性、周期性》PPT
高考一轮总复习•数学
第26页
已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
高考一轮总复习•数学
第31页
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
高考数学一轮复习课件_2.3函数的奇偶性与周期性
【答案】 －10
1．(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝ f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 【解析】 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0， f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
(2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数 在关于原点对称的区间上单调性相同．
(3)①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；②若奇函数f(x)在x＝0 时有定义，则f(0)＝0.
【解析】 (1)设x＞0，则－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx. 又f(－x)＝－f(x)， ∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.
【答案】 B
【解析】 D(x)的值域是{0，1}，选项A正确．当x是有 理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x) ＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0， D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确． 当x是有理数，D(x＋a)＝1＝D(x)；
【答案】 B
【解析】 y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平 移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0.
【答案】 B
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则 f(8)的值为( )
函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
则
的最小值为
x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四 奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(
函数的奇偶性、周期性与对称性+课件-2025届高三数学一轮复习
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数 y ＝ f ( x )， x ∈R， a ＞0， a ≠ b .
(1)若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
1
(2)若 f ( x ＋ a )＝±
，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
()
(3)若 f ( x ＋ a )＝ f ( x ＋ b )，则｜ a － b ｜是函数 f ( x )的周期.
于直线 x ＝ a 对称.
(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图
象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性
(1)周期函数
一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈
∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.
， )
2
2
＋
2
对称.
对称.
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x
的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论
函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系
(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b －
0 .
(2)若函数在关于原点对
称的区间上单
称的区间上有最值，则
调性⑤ 相同 .