线性代数典型例题

所以 D2 (1) a1 p1 a2 p2
t
anpn D1 .
评注 本题证明两个行列式相等，即证明两点: 一、两个行列式有完全相同的项； 二、每一项所带的符号相同.
2. 化三角形法 特征1 行列式各行（列）元素的和都相同．
x a1 a1 x a2 a2 x a3 a3 a3 a3 a4 an an an . x
1 x1
2 Dn x1 n 1 x1
1 x2
2 x2

1 xn
2 xn

n i j 1
( xi x j ).
n 1 n 1 x2 xn
常用方法 1. 定义法 利用定义计算（证明）． 2. 化三角形法 利用行列式的性质将行列式化为 三角形行列式． 3. 化简法 利用行列式性质化简． 4. 目标法 利用已知行列式进行计算．其中最重 要的行列式是范德蒙德行列式． 5. 降阶法 利用按行（列）展开法则，化行列式 为较低阶行列式． 6. 递推法 利用行列式的性质，把一个行列式表 示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系， 再根据此关系式递推求得行列式的值．
计算 D
a a
1
a a a
a a 0
a a x a a
a a a x a
a 0 0 x 2a
D
c1 c2 cn
1 x a
[ x ( n 2)a ] 1
1
r2 r1 r3 r1
1 0
x 2a 0 0
[ x ( n 2)a ] 0
0
x 2a 0
an 0 0 b
(a1 a2
an ) b a2 b 0 0
a3 0 b 0
n i 1
an 0 0 b
c1 c2 cn
0 0 0
[(a1 a2
an ) b]bn1 [ ai b]b n1
1 2 2 2 2 2 2 2 2. n
6(1) 计算行列式 D 2 2 3
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
评注 从一般项入手，首先确定所有的非零项， 然后确定每一项的符号，最后给出代数和. 这是 用定义计算行列式的一般步骤.
a11
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann ,
4. 典型的行列式
a11 a12 a22 0 a1n a2 n ann a11a22 ann .
1）上三角行列式
0 0
a11
0 a22
0 0 ann a11a22 ann .
2）下三角行列式
a21
a n1 a n 2
a11 ar 1
a1r arr c1r csr a1r arr 0 0
0 0 b11 bs1 c11 cr 1 b11 bs1
c c2 . ab
计算行列式 D a 2 bc
解 将D的第1行加到第3行，得 a b c D a2 b2 c2 abc abc abc
1 (a b c ) a 1 b 1 c
a 2 b2 c 2 (a b c )(b a )(c a )(c b).
D2 ( 1)t (a1 p1 b1 p1 )(a2 p2 b 2 p2 ) = ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn b(1 2
(anpn b n pn ) ,
n ) ( p1 p2 pn )
其中t是排列 p1 p 2 p n的逆序数. 而 p１ p2 pn 1 2 n,
(2) 利用典型行列式. 1 2 3 0 2 1 0 0 例7 计算D 1 0 1 0 1 0 6 4 0 2 4 2 1 2 3 4 3 解D 2 1 0 2 1 1 0 1
rn r1
[ x (n 2)a]( x 2a)n1 .
特征2 第一行、第一列及对角线Hale Waihona Puke Baidu素除外，其余 元素全为零的行列式．
1 2 3 1 2 0 n 0 0, n
例4 设n阶行列式 Dn 1 0 3
1 0 0
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
2 2 2
1 2 1; 解 n 2, D 2 2
1 0 0 2 2 2 n 2, D 0 0 1 0 0 0 0 2 0 n2
1 0 0 2 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 n2
-2(n 2)!.
3. 化简法 例5 计算 D4
a2 b2 c2 d2
7. 数学归纳法．
注意: 一个行列式的计算方法往往不是唯一的，有
时甚至需多种方法综合使用．
解题提示 由于行列式的计算方法很多，但具体到一个题 目用什么方法求解往往不是一件容易决定的事情．
应注意行列式的特征，掌握了行列式的特征，也就
自然找到了求解方法．
1. 定义法
用定义计算（证明）
特征 行列式中零元素比较多.
a2 b2
2
(a 1)2 (b 1)2
2
(a 2)2 (b 2)2 (c 2) (d 2)2 6a 9 6b 9 6c 9 6d 9
2
(a 3)2 (b 3)2 (c 3) (d 3)2
2
解 D4
c2 c1 c3 c1 c4 c1

n 1
1 n n n n ! ( xi x j )
n i j 1
n !(2 1)(3 1) ( n 1) (3 2) ( n 2) [n ( n 1)]
n
n !(n 1)!( n 2)!
2!1! k !.
k 1
a
b b2 ca
提取第一列的公因子，得
1 Dn 1 ( x ai ) 1
i 1 n
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
an an an x
1
1
提取第一列的公因子，得
1 Dn 1 ( x ai ) 1
i 1 n
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
an an an x
1
1
c2 a1c1 c3 a2 c1
1 ( x ai )
i 1 n
0 x a1 a2 a1 a2 a1
0 0 x a2 a3 a2
0 0 0 x an
1 1 1
=
cn an c1
( x ai ) ( x ai ).
i 1 i 1
n
n
练习
x a a a x a a a a a x a a a a a x a .
a pn n ;
a i n jn .
( i1i2
in ) ( j1 j2
ai1 j1 ai2 j2
2. 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等．
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号． 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数k，等于用数k乘此行列式．
性质4 行列式中如果有两行（列）元素对应成比 例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数 之和，则D等于两个行列式之和． 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行 列式不变．
n
1 1 2 0 0 3 0 0
1 0 0 n
n 1 n ! 1 . k 2 k
一般地
a0 c1 Dn1 c2 cn
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
bn1 0 0 0 an 0)
bn 0 0 . an
(a0a1
a1 +b a1 6(3) D a1 a1
x ai
i 1 n
x ai
i 1
a2
a3
x
提取第一列的公因子，得
1 Dn 1 ( x ai ) 1
i 1 n
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
an an an x
1
1
将第1列的( a1 )倍加到第2列，将第1列的 ( a2 )倍加到第3列， , 将第1列的( an )倍加到 最后一列，得
例3 计算 Dn1 a1 a2
a1 a2
分析
行列式的特点是各行元素的和都相等，遇
到这种情况，常常把各列都加到第一列，提取公
因子后再化简．
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai
i 1 n n
a1 x a2
a2 a2 x
an an an
x ai
i 1 n
Dn 1
2
0.
4. 目标行列式法 (1) 利用范德蒙行列式计算行列式. 根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为 范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果.
1
1
1 2n 3n . n
n
2 22 例6 计算 Dn 3 32 n n
2
1 1 1 2 解 Dn n! 1 3
1 22 32
2
1 2 n 1 3 n 1 .
例2 设 D1
a21 a n1
a11 D2 a21b a n1 b n 1
a12b 1 a21 an 2 b n 2
a1nb1 n a2 n b 2 n ann ,
证明D1 D2 .
证明 由行列式的定义，有
D1 ( 1)t a1 p1 a2 p2 其中t是排列 p1 p 2 anpn , p n的逆序数.
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示为
1 1 1 1 2 0 1 0 0 n
A11 A12 A1n 1 0 3
1 0 0
a11 0 目标: 把第一列化为 0
“箭”型行列式
1 c1 c2 2
1 1 k 2 k 1 cn 0 n 0 0
c (c 1) d 2 (d 1)2 2a 1 4a 4 2b 1 4b 4 2c 1 4c 4 2d 1 4d 4
2a 1 2 6 2b 1 2 6 2c 1 2 6 2d 1 2 6
.
a2
c3 2 c2 c4 3 c2

b2 c d2
0 0 b1 s bss c1 s crs b1 s bss
a11 a1 r ar 1 arr bs1 bss b11 b1 s . a11 a1 r ar 1 arr bs 1 bss b11 b1 s ;
3） c11
cs1 a11 ar 1

4） 0
0

5）范德蒙德(Vandermonde)行列式
0 a21
例1 计算 D5 a31 0
a12 a22 a32 a42 a52
a13 a23 a33 a43 a53
0 a24 a34 0 0
0 a25 a35 . 0 0
0
解 展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4 a5 p5
p1 2, 3; p2 1, 2, 3,4,5; p3 1, 2, 3,4,5; p4 2, 3; p5 2, 3.
a3 a3 a3 +b a3
an an an an +b
a1 +b a1 6(3) D a1 a1
r2 r1 r3 r1 rn r1
a2 a2 +b a2 a2
a3 a3 a3 +b a3
an an an an +b
a1 +b a2 b b b b 0 0
a3 0 b 0
一、计算排列的逆序数 二、计算（证明）行列式 三、克拉默法则
二、行列式的计算（证明）
1. 行列式的定义
1) D 1
( p1 p2
pn )
a1 p1 a2 p2
anpn ;
2) D 1
3) D 1
( p1 p2
pn )
a p1 1a p2 2
jn )
3. 代数余子式的性质
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
a2 a2 +b a2 a2
a3 a3 a3 +b a3
an an an an +b
1 a1 1 6(4) D 1 1
1 1 a2 1 1
1 1 1 a3 1
1 1 1
1 1 1 .
1 1 an
可化为“箭”型行列 式
a1 +b a1 6(3) D a1 a1
a2 a2 +b a2 a2