灾区巡视--最佳路线-选择问题-数学建模

灾难最佳巡视路线

摘要

本文解决的是对全县的乡镇和村庄进行灾情巡视最佳线路的求解问题，多旅行售货问题。问题一是三个旅行售货问题，问题二是四个旅行售货问题。我们可以运用图论的知识并且考虑气均衡性，建立起约束最优化线路模型来解决这个问题。

关键词：Hamilton圈多旅行售货问题最小生成树

问题

今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

1.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

1.问题重述

问题1：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线图

问题2：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题3：在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认

为最佳的巡视路线。

问题4：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

2.模型的假设及符号说明

2.1模型假设

假设1：假设汽车在路上以V匀速行驶，且不停留，不考虑故障，忽略外部因素影响假设2：巡视过程中除了正常停留外，没有因其它因素造成时间延误

假设3：巡视路线可以重复

假设4：对于要多次经过的乡(镇)或村只停留一次

假设5：每个巡视人员只能走自己划分区域内的路线

2.2符号说明

G：表示加权图

Gi：表示子图

V：表示顶点，每一个乡(镇)或村看成一个点

E：表示边，乡(镇)或村之间的路线

w(x，y)：表示权重，乡(镇)或村之间的距离

S：表示回路路程总和

ə：表示路程均衡度

Li：表示每一条子回路

T：表示在每个乡(镇)停留的时间

I：表示在每个村停留的时间

Ti：表示第i组的巡视时间

V：表示汽车行驶速度

Z：表示划分的区域数

N：表示乡(镇)的数目

N：表示村的数目

Ni：表示第i组巡视乡(镇)的数目

Ni：表示第i组巡视村的数目

M：表示所分的组数

v ：表示时间均衡度

3.问题分析

本文研究的是最佳巡视路线设计问题，要求从O点出发巡视完所有乡(镇)

村后，在回到O点，此问题可以转化为旅行商问题，再设计相应的算法求解针对问题一：问题一要求设计3组巡视总路程最短且尽可能均衡，首先我们

通过主观筛选法将原图划分为3个子图，每个子图顶点数大约为17个，相邻的

点划在一个子图中，且尽量使每个子图构成一个回路，这样将原问题转化为单旅

行商问题求解

针对问题二：问题二在问题一的基础上加了时间的限制，在每一个顶点都有

停留时间，且在24小时巡视完。通过计算可得至少分为4组，才可能实现。和

问题一类似我们将原图划分为4个子图，分别计算每组的巡视时间，设计每组的

巡视路线。

针对问题三：问题三T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视

的最短时间，并设计最佳路线。首先，我们分析可知巡视H使用的时间是最长

的。那么，设计分组时，其它组巡视的时间不能超过这一最长时间。在计算过程

中我们先从距O点远的点开始考虑，因为若巡视时间与最小时间相差较远可以

考虑顺便访问途径的乡、村。运用图论软件可以很好解决这一问题。

针对问题四：巡视组数已定，要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最

佳巡视路线的影响。我们分别考虑当其中两个变量不变时对最佳路线的影响。分

为3种情况讨论。 4.数据分析处理

4.1理论知识

定义 一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G))，其中：其中元素称为图G 的顶点。

2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对(,)i j v v

组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.

定义 图G 的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v 来表示；

图的边的数目|E(G)|用ε来表示.

用((),())G V G E G =表示图，简记(,).G V E =也用i j v v 来表示边(,).i j v v

设G=是加权的连通图，对任意边e ∈，其权C(e)≥0。令

T=是G 的一棵加权生成树，其所有枝上的权的总和称为树T 的权，

记为C(T)。一般说来，对于G 的不同生成树T ，C(T)也是不同的。可以知道，

其中必有一个最小者，而这正是人们最为感兴趣的。因此，给定连通加权图

G=，T0=是G 的加权生成树，C(T0)为T0的权。

若对G 的任意加权生成树T 均有C(T0)≤C(T)，则称T0是G 的最小生成树。

下面给出一种求最小生成树的方法(破圈法)：

设G 是有n 个结点的连通图，下面算法产生的是最小生成树。

算法的基本思想

先将图G 的边按权的递减顺序排列后, 依次检验每条边, 在保持连通的情况下,

每次删除最大权边, 直到余下n- 1 条边为止。

4.2数据分析处理

我们把53个乡(镇)村看作53个顶点，它们之间的距离为权重，建立邻接矩

阵，运用图论软件，可视化如下图所示

运用图论软件，自动选择最短路径，可以求得O 点到53个顶点的最短距离

及路径。

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