中学数学解题研究
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
先 考 虑 0， 由 条 件 ① 和 ② 可 知 0 T 或 者 0 V T ,V 的 性 质 ：
（ 1） 若 T 只 有 一 个 元 素 ， 即 T = 0 ， 此 时 由 条 件 ① ② ， V = ¢ / 0 . 显 然 T ,V 满 足 条 件 ③ 。
中学数学解题研究 第一讲
一、解题研究的意义
1、巩固知识和技能，提高数学理解能力 数学知识和技能的学习，离不开数学解题，
即使学生理解了数学概念、定理等，对于 数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有 计算能力、数据处理能力、推理能力等。 数学知识和技能的巩固只有在相应的数学 问题情境中才能体现，学生必须通过处理 相应的问题，将数学知识和技能内化，才 能真正掌握。
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。
首 先 ， 题 干 设 计 三 个 已 知 条 件 : ① T ,V 是 ¢ 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集 ;条 件 ② T U V ? ; ③ a,b,c T ,有 abc T ； x, y, z V ,有 xyz V 。
数学教师自身的解题能力是整个解题教学能力形 成的前提和基础。作为一名数学教师，具备一定 的解题能力应是最起码的要求，在此不作赘述。
需要指出的是，教师的解题能力，在知识、技能、 方法的应用上，既要超过课程标准要求的的广度 和深度，又要有较大的灵活度；在题目的解决上， 既要有较开阔的解题思路，又要有较好的书写表 达能力；在知识层次上，既能用初等数学知识解 决问题，又能用高等数学的观点去分析解题方法 和解题思维过程中出现的数学背景；
V =¢ / 0，1！）
以下检验V 是否关于乘法是封闭。取 x 1, y 1, x , y V ，但 xy =1 V 。于 是 V
关 于 乘 法 是 不 封 闭 的 。即 T = 0，1 ，V = ¢ / 0，1
时， T 是关于乘法封闭的，而V 关于乘法是不
封闭的。
同 理 ， 我 们 可 以 得 到 ， x 0 = -1 ， T 是 关 于 乘 法封闭的，而V 关于乘法是不封闭的。
创新题研究
近年来，全国各地的试题都不断出现创新 题。所谓创新题，一是形式创新；二是内 容创新，主要以高等数学知识为背景。
创新题的意图就是考查学生的创新意识和 能力，为高等院校选拔出具有学习潜力的 考生。
2011年文10题
2011年理8题
文10题考查复合函数与函数的乘积等知识点， 考查考生对新定义的理解与创新思维能力， 有较大难度。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭 的 。 否 则 ， 若 存 在 x、 y V ， 使 得 x y V . 令 z=1 ， 则 有 xyz=xy V ， 与 假 设 矛 盾 。
（2）若 T 有两个的元素，即 T =0，x0 ，则 x0 =1或x0 = 1 .否则，若 x0 1且x0 1, 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0 V ，
与x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1，取 x0, x0, x0 T ， 由条件③可知 x0x0x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1， 矛盾）. 显然T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1， 此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显 然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
在学生解题的同时，增加对数学的思考， 可以更好地理解数学，掌握数学。当然， 这里的解题是一种有意义学习，而不是机 械模仿或记忆，通过学生的理解和深化， 对数学知识进行合理组织，构建或完善数 学认知结构，从而提高数学的理解能力。
通过上述的解答，学生练习三角函数的化 简能力，同时可以巩固周期的概念，而不 是仅仅记住周期的定义；学生熟练了计算 的技能。在解题过程中，学生对于数学知 识进行重新组织和安排，从而进一步理解 三角函数的概念，以及周期的意义。同样， 通过解题，学生可以复习和巩固“三角函 数的最大值和最小值”问题。
2、在解题中领悟数学思想方法
通过观察发现，等号两边都是关于x的式子， 必然恒等。因此想到解决问题的方法。
最后解得A=4。
通过解决以上两个问题，更加能够理解要先
观察数学问题的结构特点，然后再运用适 当的数学思想方法去解决它。如此，我们 对于数学问题的理解就更深一步了。
3、通过解题，发现自己的知识和方法存在 的问题
现在的问题是：反证法的第一步是什么？ 反证法的逻辑依据是什么？
实践证明，不少的中学数学教师做不出来。
4、通过解题研究，积累解题经验
对于大多数人来说，解题经验是必要的。 熟悉的问题远比陌生的问题好解。
5、更好地了解学生的思维过程
作为一名教师，应熟悉问题的解决思路和 步骤，如此，才能更好地了解学生的思维 过程，发现学生的思维存在的问题，才能 更好地帮助学生，促进学生的数学理解。
理8题考查数集关于乘法的封闭性知识，考 查考生对新定义的理解和推理论证能力， 有较大难度。
((fo g )• h )(x ) f(g (x ))h (x ) ((f• h )o (g • h ))(x ) (f(x )h (x ))o (g (x )h (x )) f(g (x )h (x ))h (g (x )h (x ))
6、解题能力是中学老师重要的能力之一
波利亚指出“掌握数学意味着解题”。解 题教学是数学教学的重要组成部分。是完 成数学教学目的的重要手段。因此，要搞 好解题教学，对教师的能力要求，不仅是 看他是否具备某一项“看家本领”，而应 看他是否具备数学教师在解题教学中应该 具备的能力结构。
1、教师自身的解题能力
（ 1） 若 T 只 有 一 个 元 素 ， 即 T = 0 ， 此 时 由 条 件 ① ② ， V = ¢ / 0 . 显 然 T ,V 满 足 条 件 ③ 。
中学数学解题研究 第一讲
一、解题研究的意义
1、巩固知识和技能，提高数学理解能力 数学知识和技能的学习，离不开数学解题，
即使学生理解了数学概念、定理等，对于 数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有 计算能力、数据处理能力、推理能力等。 数学知识和技能的巩固只有在相应的数学 问题情境中才能体现，学生必须通过处理 相应的问题，将数学知识和技能内化，才 能真正掌握。
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。
首 先 ， 题 干 设 计 三 个 已 知 条 件 : ① T ,V 是 ¢ 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集 ;条 件 ② T U V ? ; ③ a,b,c T ,有 abc T ； x, y, z V ,有 xyz V 。
数学教师自身的解题能力是整个解题教学能力形 成的前提和基础。作为一名数学教师，具备一定 的解题能力应是最起码的要求，在此不作赘述。
需要指出的是，教师的解题能力，在知识、技能、 方法的应用上，既要超过课程标准要求的的广度 和深度，又要有较大的灵活度；在题目的解决上， 既要有较开阔的解题思路，又要有较好的书写表 达能力；在知识层次上，既能用初等数学知识解 决问题，又能用高等数学的观点去分析解题方法 和解题思维过程中出现的数学背景；
V =¢ / 0，1！）
以下检验V 是否关于乘法是封闭。取 x 1, y 1, x , y V ，但 xy =1 V 。于 是 V
关 于 乘 法 是 不 封 闭 的 。即 T = 0，1 ，V = ¢ / 0，1
时， T 是关于乘法封闭的，而V 关于乘法是不
封闭的。
同 理 ， 我 们 可 以 得 到 ， x 0 = -1 ， T 是 关 于 乘 法封闭的，而V 关于乘法是不封闭的。
创新题研究
近年来，全国各地的试题都不断出现创新 题。所谓创新题，一是形式创新；二是内 容创新，主要以高等数学知识为背景。
创新题的意图就是考查学生的创新意识和 能力，为高等院校选拔出具有学习潜力的 考生。
2011年文10题
2011年理8题
文10题考查复合函数与函数的乘积等知识点， 考查考生对新定义的理解与创新思维能力， 有较大难度。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭 的 。 否 则 ， 若 存 在 x、 y V ， 使 得 x y V . 令 z=1 ， 则 有 xyz=xy V ， 与 假 设 矛 盾 。
（2）若 T 有两个的元素，即 T =0，x0 ，则 x0 =1或x0 = 1 .否则，若 x0 1且x0 1, 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0 V ，
与x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1，取 x0, x0, x0 T ， 由条件③可知 x0x0x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1， 矛盾）. 显然T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1， 此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显 然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
在学生解题的同时，增加对数学的思考， 可以更好地理解数学，掌握数学。当然， 这里的解题是一种有意义学习，而不是机 械模仿或记忆，通过学生的理解和深化， 对数学知识进行合理组织，构建或完善数 学认知结构，从而提高数学的理解能力。
通过上述的解答，学生练习三角函数的化 简能力，同时可以巩固周期的概念，而不 是仅仅记住周期的定义；学生熟练了计算 的技能。在解题过程中，学生对于数学知 识进行重新组织和安排，从而进一步理解 三角函数的概念，以及周期的意义。同样， 通过解题，学生可以复习和巩固“三角函 数的最大值和最小值”问题。
2、在解题中领悟数学思想方法
通过观察发现，等号两边都是关于x的式子， 必然恒等。因此想到解决问题的方法。
最后解得A=4。
通过解决以上两个问题，更加能够理解要先
观察数学问题的结构特点，然后再运用适 当的数学思想方法去解决它。如此，我们 对于数学问题的理解就更深一步了。
3、通过解题，发现自己的知识和方法存在 的问题
现在的问题是：反证法的第一步是什么？ 反证法的逻辑依据是什么？
实践证明，不少的中学数学教师做不出来。
4、通过解题研究，积累解题经验
对于大多数人来说，解题经验是必要的。 熟悉的问题远比陌生的问题好解。
5、更好地了解学生的思维过程
作为一名教师，应熟悉问题的解决思路和 步骤，如此，才能更好地了解学生的思维 过程，发现学生的思维存在的问题，才能 更好地帮助学生，促进学生的数学理解。
理8题考查数集关于乘法的封闭性知识，考 查考生对新定义的理解和推理论证能力， 有较大难度。
((fo g )• h )(x ) f(g (x ))h (x ) ((f• h )o (g • h ))(x ) (f(x )h (x ))o (g (x )h (x )) f(g (x )h (x ))h (g (x )h (x ))
6、解题能力是中学老师重要的能力之一
波利亚指出“掌握数学意味着解题”。解 题教学是数学教学的重要组成部分。是完 成数学教学目的的重要手段。因此，要搞 好解题教学，对教师的能力要求，不仅是 看他是否具备某一项“看家本领”，而应 看他是否具备数学教师在解题教学中应该 具备的能力结构。
1、教师自身的解题能力