中学数学解题研究
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理8题考查数集关于乘法的封闭性知识，考 查考生对新定义的理解和推理论证能力， 有较大难度。
((fo g )• h )(x ) f(g (x ))h (x ) ((f• h )o (g • h ))(x ) (f(x )h (x ))o (g (x )h (x )) f(g (x )h (x ))h (g (x )h (x ))
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。
首 先 ， 题 干 设 计 三 个 已 知 条 件 : ① T ,V 是 ¢ 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集 ;条 件 ② T U V ? ; ③ a,b,c T ,有 abc T ； x, y, z V ,有 xyz V 。
V =¢ / 0，1！）
以下检验V 是否关于乘法是封闭。取 x 1, y 1, x , y V ，但 xy =1 V 。于 是 V
关 于 乘 法 是 不 封 闭 的 。即 T = 0，1 ，V = ¢ / 0，1
时， T 是关于乘法封闭的，而V 关于乘法是不
封闭的。
同 理 ， 我 们 可 以 得 到 ， x 0 = -1 ， T 是 关 于 乘 法封闭的，而V 关于乘法是不封闭的。
与x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1，取 x0, x0, x0 T ， 由条件③可知 x0x0x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1， 矛盾）. 显然T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1， 此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显 然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
现在的问题是：反证法的第一步是什么？ 反证法的逻辑依据是什么？
实践证明，不少的中学数学教师做不出来。
4、通过解题研究，积累解题经验
对于大多数人来说，解题经验是必要的。 熟悉的问题远比陌生的问题好解。
5、更好地了解学生的思维过程
作为一名教师，应熟悉问题的解决思路和 步骤，如此，才能更好地了解学生的思维 过程，发现学生的思维存在的问题，才能 更好地帮助学生，促进学生的数学理解。
中学数学解题研究 第一讲
一、解题研究的意义
1、巩固知识和技能，提高数学理解能力 数学知识和技能的学习，离不开数学解题，
即使学生理解了数学概念、定理等，对于 数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有 计算能力、数据处理能力、推理能力等。 数学知识和技能的巩固只有在相应的数学 问题情境中才能体现，学生必须通过处理 相应的问题，将数学知识和技能内化，才 能真正掌握。
创新题研究
近年来，全国各地的试题都不断出现创新 题。所谓创新题，一是形式创新；二是内 容创新，主要以高等数学知识为背景。
创新题的意图就是考查学生的创新意识和 能力，为高等院校选拔出具有学习潜力的 考生。
2011年文10题
2011年理8题
文10题考查复合函数与函数的乘积等知识点， 考查考生对新定义的理解与创新思维能力， 有较大难度。
先 考 虑 0， 由 条 件 ① 和 ② 可 知 0 T 或 者 0 V . 不 妨 假 设 0 T ，以 下 以 T 的 元 素 个 数 来 讨 论 T ,V 的 性 质 ：
（ 1） 若 T 只 有 一 个 元 素 ， 即 T = 0 ， 此 时 由 条 件 ① ② ， V = ¢ / 0 . 显 然 T ,V 满 足 条 件 ③ 。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭 的 。 否 则 ， 若 存 在 x、 y V ， 使 得 x y V . 令 z=1 ， 则 有 xyz=xy V ， 与 假 设 矛 盾 。
（2）若 T 有两个的元素，即 T =0，x0 ，则 x0 =1或x0 = 1 .否则，若 x0 1且x0 1, 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0Fra Baidu bibliotekV ，
6、解题能力是中学老师重要的能力之一
波利亚指出“掌握数学意味着解题”。解 题教学是数学教学的重要组成部分。是完 成数学教学目的的重要手段。因此，要搞 好解题教学，对教师的能力要求，不仅是 看他是否具备某一项“看家本领”，而应 看他是否具备数学教师在解题教学中应该 具备的能力结构。
1、教师自身的解题能力
数学教师自身的解题能力是整个解题教学能力形 成的前提和基础。作为一名数学教师，具备一定 的解题能力应是最起码的要求，在此不作赘述。
需要指出的是，教师的解题能力，在知识、技能、 方法的应用上，既要超过课程标准要求的的广度 和深度，又要有较大的灵活度；在题目的解决上， 既要有较开阔的解题思路，又要有较好的书写表 达能力；在知识层次上，既能用初等数学知识解 决问题，又能用高等数学的观点去分析解题方法 和解题思维过程中出现的数学背景；
2、在解题中领悟数学思想方法
通过观察发现，等号两边都是关于x的式子， 必然恒等。因此想到解决问题的方法。
最后解得A=4。
通过解决以上两个问题，更加能够理解要先
观察数学问题的结构特点，然后再运用适 当的数学思想方法去解决它。如此，我们 对于数学问题的理解就更深一步了。
3、通过解题，发现自己的知识和方法存在 的问题
在学生解题的同时，增加对数学的思考， 可以更好地理解数学，掌握数学。当然， 这里的解题是一种有意义学习，而不是机 械模仿或记忆，通过学生的理解和深化， 对数学知识进行合理组织，构建或完善数 学认知结构，从而提高数学的理解能力。
通过上述的解答，学生练习三角函数的化 简能力，同时可以巩固周期的概念，而不 是仅仅记住周期的定义；学生熟练了计算 的技能。在解题过程中，学生对于数学知 识进行重新组织和安排，从而进一步理解 三角函数的概念，以及周期的意义。同样， 通过解题，学生可以复习和巩固“三角函 数的最大值和最小值”问题。
((fo g )• h )(x ) f(g (x ))h (x ) ((f• h )o (g • h ))(x ) (f(x )h (x ))o (g (x )h (x )) f(g (x )h (x ))h (g (x )h (x ))
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。
首 先 ， 题 干 设 计 三 个 已 知 条 件 : ① T ,V 是 ¢ 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集 ;条 件 ② T U V ? ; ③ a,b,c T ,有 abc T ； x, y, z V ,有 xyz V 。
V =¢ / 0，1！）
以下检验V 是否关于乘法是封闭。取 x 1, y 1, x , y V ，但 xy =1 V 。于 是 V
关 于 乘 法 是 不 封 闭 的 。即 T = 0，1 ，V = ¢ / 0，1
时， T 是关于乘法封闭的，而V 关于乘法是不
封闭的。
同 理 ， 我 们 可 以 得 到 ， x 0 = -1 ， T 是 关 于 乘 法封闭的，而V 关于乘法是不封闭的。
与x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1，取 x0, x0, x0 T ， 由条件③可知 x0x0x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1， 矛盾）. 显然T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1， 此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显 然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
现在的问题是：反证法的第一步是什么？ 反证法的逻辑依据是什么？
实践证明，不少的中学数学教师做不出来。
4、通过解题研究，积累解题经验
对于大多数人来说，解题经验是必要的。 熟悉的问题远比陌生的问题好解。
5、更好地了解学生的思维过程
作为一名教师，应熟悉问题的解决思路和 步骤，如此，才能更好地了解学生的思维 过程，发现学生的思维存在的问题，才能 更好地帮助学生，促进学生的数学理解。
中学数学解题研究 第一讲
一、解题研究的意义
1、巩固知识和技能，提高数学理解能力 数学知识和技能的学习，离不开数学解题，
即使学生理解了数学概念、定理等，对于 数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有 计算能力、数据处理能力、推理能力等。 数学知识和技能的巩固只有在相应的数学 问题情境中才能体现，学生必须通过处理 相应的问题，将数学知识和技能内化，才 能真正掌握。
创新题研究
近年来，全国各地的试题都不断出现创新 题。所谓创新题，一是形式创新；二是内 容创新，主要以高等数学知识为背景。
创新题的意图就是考查学生的创新意识和 能力，为高等院校选拔出具有学习潜力的 考生。
2011年文10题
2011年理8题
文10题考查复合函数与函数的乘积等知识点， 考查考生对新定义的理解与创新思维能力， 有较大难度。
先 考 虑 0， 由 条 件 ① 和 ② 可 知 0 T 或 者 0 V . 不 妨 假 设 0 T ，以 下 以 T 的 元 素 个 数 来 讨 论 T ,V 的 性 质 ：
（ 1） 若 T 只 有 一 个 元 素 ， 即 T = 0 ， 此 时 由 条 件 ① ② ， V = ¢ / 0 . 显 然 T ,V 满 足 条 件 ③ 。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭 的 。 否 则 ， 若 存 在 x、 y V ， 使 得 x y V . 令 z=1 ， 则 有 xyz=xy V ， 与 假 设 矛 盾 。
（2）若 T 有两个的元素，即 T =0，x0 ，则 x0 =1或x0 = 1 .否则，若 x0 1且x0 1, 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0Fra Baidu bibliotekV ，
6、解题能力是中学老师重要的能力之一
波利亚指出“掌握数学意味着解题”。解 题教学是数学教学的重要组成部分。是完 成数学教学目的的重要手段。因此，要搞 好解题教学，对教师的能力要求，不仅是 看他是否具备某一项“看家本领”，而应 看他是否具备数学教师在解题教学中应该 具备的能力结构。
1、教师自身的解题能力
数学教师自身的解题能力是整个解题教学能力形 成的前提和基础。作为一名数学教师，具备一定 的解题能力应是最起码的要求，在此不作赘述。
需要指出的是，教师的解题能力，在知识、技能、 方法的应用上，既要超过课程标准要求的的广度 和深度，又要有较大的灵活度；在题目的解决上， 既要有较开阔的解题思路，又要有较好的书写表 达能力；在知识层次上，既能用初等数学知识解 决问题，又能用高等数学的观点去分析解题方法 和解题思维过程中出现的数学背景；
2、在解题中领悟数学思想方法
通过观察发现，等号两边都是关于x的式子， 必然恒等。因此想到解决问题的方法。
最后解得A=4。
通过解决以上两个问题，更加能够理解要先
观察数学问题的结构特点，然后再运用适 当的数学思想方法去解决它。如此，我们 对于数学问题的理解就更深一步了。
3、通过解题，发现自己的知识和方法存在 的问题
在学生解题的同时，增加对数学的思考， 可以更好地理解数学，掌握数学。当然， 这里的解题是一种有意义学习，而不是机 械模仿或记忆，通过学生的理解和深化， 对数学知识进行合理组织，构建或完善数 学认知结构，从而提高数学的理解能力。
通过上述的解答，学生练习三角函数的化 简能力，同时可以巩固周期的概念，而不 是仅仅记住周期的定义；学生熟练了计算 的技能。在解题过程中，学生对于数学知 识进行重新组织和安排，从而进一步理解 三角函数的概念，以及周期的意义。同样， 通过解题，学生可以复习和巩固“三角函 数的最大值和最小值”问题。