概率论 第四章2010
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概率论-第四章_4
称(X1, X2,…, Xn)服从n维正态分布.
电子科技大学
多维正态随机变量
20.4.24
注
1)
E (Xi ) i ,
D(
X
i
)
2 i
,
2) cij Cov( X i , X j ) i j .
n维正态随机变量的分布由一阶矩和二阶
矩完全确定. 四. 正态随机向量性质
正态分 布具有 可加性
1) 有限个相互独立的正态随机变量的线
三. 多维正态随机变量
定义4.1.1 设 n维随机变量(X1, X2,…, Xn) 联 合概率密度为
( x1, x2 ,..., xn )
2
1
n/ 2
C 1/2
exp
1 2
(X
μ) C1(X
μ)
其中C=(cij)是n 阶正定对称矩阵, C 是其行列式，
X ( x1, x2 ,...xn ), μ (1, 2 ,...n )
电子科技大学
1 (0.5) 3 4 3 3
电子科技大学
多维正态随机变量
(2) 计算相关系数 XZ , 先求协方差
Cov( X , Z ) Cov( X , X Y ) 32
Cov( X , X ) Cov( X , Y )
3
2
1 Cov( X , X ) 1 Cov( X ,Y )
3
2
1 3
y)
1 2π C
1 2
exp
1 2
(X
μ)1(X
μ)
二. 二维正态分布的重要结论
若 (X ,Y ) ~ N(1,12; 2, 22; ),有下述结论成立：
1. 每个分量服从正态分布； P72例3.1.10
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多维正态随机变量
20.4.24
注
1)
E (Xi ) i ,
D(
X
i
)
2 i
,
2) cij Cov( X i , X j ) i j .
n维正态随机变量的分布由一阶矩和二阶
矩完全确定. 四. 正态随机向量性质
正态分 布具有 可加性
1) 有限个相互独立的正态随机变量的线
三. 多维正态随机变量
定义4.1.1 设 n维随机变量(X1, X2,…, Xn) 联 合概率密度为
( x1, x2 ,..., xn )
2
1
n/ 2
C 1/2
exp
1 2
(X
μ) C1(X
μ)
其中C=(cij)是n 阶正定对称矩阵, C 是其行列式，
X ( x1, x2 ,...xn ), μ (1, 2 ,...n )
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1 (0.5) 3 4 3 3
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多维正态随机变量
(2) 计算相关系数 XZ , 先求协方差
Cov( X , Z ) Cov( X , X Y ) 32
Cov( X , X ) Cov( X , Y )
3
2
1 Cov( X , X ) 1 Cov( X ,Y )
3
2
1 3
y)
1 2π C
1 2
exp
1 2
(X
μ)1(X
μ)
二. 二维正态分布的重要结论
若 (X ,Y ) ~ N(1,12; 2, 22; ),有下述结论成立：
1. 每个分量服从正态分布； P72例3.1.10
概率论课件第四章
二项分布
描述$n$重伯努利试验中成功次数的概率分 布。
泊松分布
用于描述单位时间或空间内事件发生的次数 的概率分布。
常见的连续概率分布
正态分布
描述自然界中许多现象的分布情况，具有钟 形曲线的特点。
均匀分布
在一定范围内的取值概率均相等的分布。
期望和方差
期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。 方差是随机变量取值与其期望之差的平方的加权平均值，反映了随机变量的离散程度。
概率论课件第四章
本章将回顾概率论的基础知识，包括实验、样本空间和事件，概率和频率， 离散和连续概率分布，以及期望和方差。
实验、样本空间和事件
在概率论中，实验是指可以重复进行的过程，样本空间是实验所有可能结果的集合，事件是样本空间中 的一个子集。 通过对实验和事件的定义，我们可以定量地描述事件的发生概率。
概率和频率
概率是事件发生的可能性的度量，通常用数字表示。 频率是事件在多次独立重复实验中发生的相对次数，随着实验次数增多，频 率逐渐趋近于概率值。
离散和连续概率分布
离散概率分布用于描述离散型随机ห้องสมุดไป่ตู้量的取值及其对应的概率。 连续概率分布用于描述连续型随机变量的取值及其对应的概率密度函数。
常见的离散概率分布
概率论与数理统计第四章
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2
概率论第四章
1
1
2 1 x 6 x 2 ydy dx 0 0
2 3 4
2 12 x 2 x x d x ; 0 5
19
E XY
xyf x, y dxdy.
2 1 x 2 2 6 x y dy dx 0 0 1
28
例设随机变量X服从参数为1的指数分布，求 E{ X e 2 X }
解 X的密度函数为
e , ( x 0) f ( x) EX 1 0, ( x 0) 2 X 2 X 所以 E( X e ) EX E(e )
x
而
E (e
所以
f ( x)dx 1 3 x e dx 0 3 4 2 X E( X e ) 3
(4)
如果 X 与 Y 相互独立，则
E XY E X E Y .
25
证明 （2）连续型 设X~f(x),则 E (CX)
Cxf ( x )dx
C
xf ( x )dx CE(X)
（3）离散型 设(X,Y)联合分布为 P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2…)
g ( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛，
则：EZ=
g ( x, y) f ( x, y)dxdy 。
15
例 设离散型随机变量X 的分布列为 X -1 0 2 3
Pk
1 8
1 4
2
3 8
1 4
试计算：E X , E X
和 E 2 X 1 。
概率论基础第四章ppt
P{ X k}
k
e
k 0,1, 2, , 0
X 的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x)dx dx ba 2 a
b
即数学期望是区间[a, b]的中点. 例4.5已知随机变量 X ~ e( ) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0
概率论
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 熵与信息 随机变量的特征函数 小结与练习
二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为
P( X xi ) pi
b
例4.11已知随机变量 X ~ N ( , 2 )。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
xR
易知数学期望为 E ( X ) 所以，随机变量X 的方差为
D( X ) ( x )
t x 2 1 e 2 ( x )2 2 2
k! X 的数学期望为 k e k 1 E( X ) k e e e k! k 0 k 1 ( k 1)! 即 E( X ) 例4.4已知随机变量 X ~ U (a, b) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
k!
k e
k!
k! k! k 0 k e k (k 1) 2e e 2 k! k 2 而已知 E( X ) 所以，X 的方差为 D( X ) E ( X 2 ) -[ E ( X )]2
概率论与数理统计_第4章1节概要
( t ) E (ei t ) E (ei t ( a b ) )
ei tb E (ei ta ) ei tb (at )
例如：设 ~N , , 求 t . t2 解：设 = , 则 ~ N 0,1 , t e 2 故 t Eeit Eeit eit Eeit
特别地，若 ~ U a, a , 则
1 sin at t e dx ， a 2a at 注意，此时 t 是实值的！
a itx
【标准正态分布】
(t )
1 1
2π
e e
i tx
x2 2
dx dx 1
2π
1
cos tx e
e
dF ( x)
定义
若实随机变量 的分布函数为 F ( x) ，则称
(t ) Ee
it
t R
为 的特征函数 (characteristic function). 显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布 函数的特征函数.
(t ) Ee E cos t i sin t
x2 2
2π
i sin tx e
x2 2
dx
由于 (t )
'
1
2π
cos tx e
x2 2
dx
x2 2
2π
x sin tx e
dx
1
2π
x2 2
sin tx de
x2 2
1 sin tx e 2π
ei tb E (ei ta ) ei tb (at )
例如：设 ~N , , 求 t . t2 解：设 = , 则 ~ N 0,1 , t e 2 故 t Eeit Eeit eit Eeit
特别地，若 ~ U a, a , 则
1 sin at t e dx ， a 2a at 注意，此时 t 是实值的！
a itx
【标准正态分布】
(t )
1 1
2π
e e
i tx
x2 2
dx dx 1
2π
1
cos tx e
e
dF ( x)
定义
若实随机变量 的分布函数为 F ( x) ，则称
(t ) Ee
it
t R
为 的特征函数 (characteristic function). 显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布 函数的特征函数.
(t ) Ee E cos t i sin t
x2 2
2π
i sin tx e
x2 2
dx
由于 (t )
'
1
2π
cos tx e
x2 2
dx
x2 2
2π
x sin tx e
dx
1
2π
x2 2
sin tx de
x2 2
1 sin tx e 2π
概率论第四章
（连续型随机变量的性质） 定 理 设 X 是任意一个连续型随机变量，
例 9．某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验， 如果发现其 中的次品数多于 1，就去调整设备。以 X 表示一天 中调整设备的次数， 试求 X 的概率函数。 （设各产品 是否为次品是相互独立的）
三.一维连续型随机变量
• 1 概率密度函数 • 2 常见连续型随机变量
（1） 该物业管理公司至少需要配备多少名 维修工人，才能使居民报修后能得到及时修
理的概率不低于 99%？（这里不考虑维修时间长短） （2） 如果该物业管理公司现有 4 名修理工， 那么居民报修后不能得到及时 维修的概率有 多大？
均匀分布： 称具有下列分布律的随机变量 X 服从 集合 a1, a2 ,, an 上的（离散型）均匀分布：
2．二项分布 如果随机变量 X 的概率函数为
P X k C p 1 p
k n k nk
， k 0,1,, n 。
那么称 X 服从参数为 n 、 p 的二项分布。 记作 X B n, p ，其中 0 p 1 。
（1）在 n 次重复独立试验中，事件 A 发生的 次数就服从二项分布。 （2）利用二项展开定理不难验证：
例3． 某物业管理公司负责 10000 户居民的 房屋维修工作。假定每户居民是否报 修是相互独立的，且一个时段内报修 的概率都是 0.04%。另外，一户居民 住房的维修只需一名修理工来处理。
在某个时段报修的居民数 X B 10000,0.0004 。 按泊松定理，可以近似认为 X 4 。试问：
（1）由无穷级数知识知
k! e
k 0
k
概率论第四章总结
概率密度函数是分布函数的导数，描述 了随机变量在某个区间内取值的概率。
VS
概率密度函数的性质
概率密度函数具有非负性、规范性、连续 性等性质，这些性质反映了随机变量的概 率分布特征。
常见随机变量的分布函数与概率密度函数
离散型随机变量
离散型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量取离散值的概率，常见的离散型随机变量有二项分布、 泊松分布等。
独立性的定义与性质
独立性的定义
在概率论中，两个事件A和B被称为独立的，如果它们的联合概率可以表示为各自概率 的乘积，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
独立性的性质
独立性具有一些重要的性质，包括传递性、对称性、反对称性等。这些性质确保了独立 性在概率论中具有实际意义。
条件概率与独立性的关系
条件概率与独立性的关系
连续型随机变量
连续型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续型随机变量有 正态分布、指数分布等。
05
随机变量的变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是概率论中随机变量的 一种变换方式，它将一个随机变 量转换为另一个随机变量，且转 换关系由线性方程式给出。
线性变换的性质
04
随机变量的分布函数与概率密度函数
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数，表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。
分布函数的性质
分布函数具有非负性、规范性、单调性、右连续性等性质，这些性质反映了随机变量的概率特征。
概率密度函数的定义与性质
概率密度函数的定义
函数方差的定义与性质
定义
设$g(x)$是$R$上的有界函数，$X$是随机 变量，则$D[g(X)]$定义为$g(X)$关于$X$ 的方差。
VS
概率密度函数的性质
概率密度函数具有非负性、规范性、连续 性等性质，这些性质反映了随机变量的概 率分布特征。
常见随机变量的分布函数与概率密度函数
离散型随机变量
离散型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量取离散值的概率，常见的离散型随机变量有二项分布、 泊松分布等。
独立性的定义与性质
独立性的定义
在概率论中，两个事件A和B被称为独立的，如果它们的联合概率可以表示为各自概率 的乘积，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
独立性的性质
独立性具有一些重要的性质，包括传递性、对称性、反对称性等。这些性质确保了独立 性在概率论中具有实际意义。
条件概率与独立性的关系
条件概率与独立性的关系
连续型随机变量
连续型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续型随机变量有 正态分布、指数分布等。
05
随机变量的变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是概率论中随机变量的 一种变换方式，它将一个随机变 量转换为另一个随机变量，且转 换关系由线性方程式给出。
线性变换的性质
04
随机变量的分布函数与概率密度函数
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数，表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。
分布函数的性质
分布函数具有非负性、规范性、单调性、右连续性等性质，这些性质反映了随机变量的概率特征。
概率密度函数的定义与性质
概率密度函数的定义
函数方差的定义与性质
定义
设$g(x)$是$R$上的有界函数，$X$是随机 变量，则$D[g(X)]$定义为$g(X)$关于$X$ 的方差。
概率论第四章-new资料
n
的部分和 Sn X k 的分布在适当条件下向正态分
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
（1）定义 如果随机变量 X 的密度函数为
f x 1
e
x 2
2 2
2
x
其中参数
>0
则称随机变量 X服从正态分布 N (, 2 )，
记为：
X ~ N ，2
(2)正态分布密度函数的图形性质
f (x)的图形呈钟形，关于直线 x 对称;
μ
=
1.8
5.9
-
σ
μ
=
0.7
解方程组可得： σ = 3, μ = 3.8
P{X 0} = 1- F(0) = 1- Φ(0 - 3.8)
3
= 1- Φ(-1.27) = Φ（1.27） = 0.898
例4 设 X ~ N (, 2 ) , （1）求P{|X-μ|<σ},
P{|X-μ|<2σ}, P{|X-μ|<3σ}; (2) 已知：P{μ-aσ<X<μ-aσ}=0.95，求a的值。
(b) 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多 分布所不具备的．
(c) 正态分布可以作为许多分布的近似分布,它是数理 统计的基础．
标准正态分布
若 0， 1，我们称 N 0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函数是：
x
1
x2
e2
2
x
标准正态分布的分布函数是：
x x
,
r
)
则其两个边缘分布都是一维正态分布。
证明略。
X的边缘分布为：
X
N(
1,
2 1
的部分和 Sn X k 的分布在适当条件下向正态分
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
（1）定义 如果随机变量 X 的密度函数为
f x 1
e
x 2
2 2
2
x
其中参数
>0
则称随机变量 X服从正态分布 N (, 2 )，
记为：
X ~ N ，2
(2)正态分布密度函数的图形性质
f (x)的图形呈钟形，关于直线 x 对称;
μ
=
1.8
5.9
-
σ
μ
=
0.7
解方程组可得： σ = 3, μ = 3.8
P{X 0} = 1- F(0) = 1- Φ(0 - 3.8)
3
= 1- Φ(-1.27) = Φ（1.27） = 0.898
例4 设 X ~ N (, 2 ) , （1）求P{|X-μ|<σ},
P{|X-μ|<2σ}, P{|X-μ|<3σ}; (2) 已知：P{μ-aσ<X<μ-aσ}=0.95，求a的值。
(b) 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多 分布所不具备的．
(c) 正态分布可以作为许多分布的近似分布,它是数理 统计的基础．
标准正态分布
若 0， 1，我们称 N 0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函数是：
x
1
x2
e2
2
x
标准正态分布的分布函数是：
x x
,
r
)
则其两个边缘分布都是一维正态分布。
证明略。
X的边缘分布为：
X
N(
1,
2 1
概率论第四章习题答案
概率论第四章习题答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。
在概率论的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概率论知识的理解和运用。
本文将针对概率论第四章的习题进行解答，以帮助读者更好地掌握这一章节的内容。
第一题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取2名学生，求选出的两名学生都是男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取2名学生，共有C(30, 2)= 435种可能的选法。
然后，计算选出的两名学生都是男生的样本空间。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
所以，选出的两名学生都是男生的概率为P = 45/435 = 1/9。
第二题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取4名学生，求选出的学生中至少有1名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取4名学生，共有C(30, 4)= 27,405种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生的样本空间。
从20名女生中选取4名学生，共有C(20, 4) = 4,845种可能的选法。
所以，选出的学生中至少有1名男生的概率为P = 1 - 4,845/27,405 =22,560/27,405 ≈ 0.822。
第三题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取6名学生，求选出的学生中至少有3名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取6名学生，共有C(30, 6) = 593,775种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生或者只有1名男生或者只有2名男生的样本空间。
从20名女生中选取6名学生，共有C(20, 6) = 38,760种可能的选法。
从10名男生中选取1名学生，共有C(10, 1) = 10种可能的选法。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
概率论 第四章
1 f ( x) e 2 σ ( x μ)2 2σ 2
2
, σ 0, x .
则有
E ( X ) xf ( x) d x
1 x e )2 2σ 2
所以
5. 指数分布
设X服从指数分布，其概率密度为
x 1 e , f ( x) 0,
x0 x0
( 0)
E ( X ) x e dx xde
0
1
x
x
xe
x
0
0
e dx
0
x
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ ), 其概率密度为
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望
r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
§4.1 数学期望
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
k 1
(2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则
g( x ) f ( x )dx
E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx
例 设随机变量 X 的分布律为
2
, σ 0, x .
则有
E ( X ) xf ( x) d x
1 x e )2 2σ 2
所以
5. 指数分布
设X服从指数分布，其概率密度为
x 1 e , f ( x) 0,
x0 x0
( 0)
E ( X ) x e dx xde
0
1
x
x
xe
x
0
0
e dx
0
x
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ ), 其概率密度为
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望
r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
§4.1 数学期望
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
k 1
(2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则
g( x ) f ( x )dx
E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx
例 设随机变量 X 的分布律为
概率论与数理统计教程第四章
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
第四章 大数定律与中心极限定理
第22页
例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率?
解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
第四章 大数定律与中心极限定理
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
第16页
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
第31页
4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理
定理4.4.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ林德贝格中心极限定理
设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
1 n
lim
B n
2
2 n i1
xi Bn (x i )2 pi (x)dx 0
林德贝格条件
则
lim
P
1
n Bn
n
(Xi
i 1
i )
y
(
y)
第8页
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
第四章 大数定律与中心极限定理
概率论第四章1
12 3
❖ 2.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡， 其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。 现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如 果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺 口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
若取到卡口再放回去,求在取到螺口灯泡之前 已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
❖ 3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红 绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示 的时间比为2:1, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已 通过的路口的个数，求X的分布律?
例6 一批产品有20件，其中有3件废品，从中任取4件，
求取到的废品数的分布律。
解：P( 0) C147 C420
0.4912
P(
1)
C13C137 C420
0.4211
P(
2)
C32C127 C420
0.0842
P(
3)
C33C117 C420
0.0035
即 0
1
2
3
P 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035
1 N1
...1
k 1 N1
Nnk 2
(n k
)!
1
1 N2
...1
Nn n!
1
1 N
...1
n 1 N
n k 1
N2
n!
N1k
N
n 2
k
k!(n k)! Nn
1
1 N1
... 1
k 1 N1
1
1 N2
... 1 nk 1N2源自1 1 Nn!
p q k0 nk0
n!
❖ 2.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡， 其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。 现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如 果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺 口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
若取到卡口再放回去,求在取到螺口灯泡之前 已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
❖ 3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红 绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示 的时间比为2:1, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已 通过的路口的个数，求X的分布律?
例6 一批产品有20件，其中有3件废品，从中任取4件，
求取到的废品数的分布律。
解：P( 0) C147 C420
0.4912
P(
1)
C13C137 C420
0.4211
P(
2)
C32C127 C420
0.0842
P(
3)
C33C117 C420
0.0035
即 0
1
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3
P 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035
1 N1
...1
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... 1
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p q k0 nk0
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概率论第四章总结
k 1 k k k 1 k k 1 k k
• 2.性质（假设以下所遇到的随 机变量的数学期望存在） 1）设C是常数，则有E(C)=C.
k
2）设X是一个随机变量，C是常数， 则有E(CX)=CE(X). 3）设X,Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y).(这一性质可以 推广到任意有限个随机变量之和的 情况） 4）设X,Y是相互独立的随机变量，则 有E(XY)=E(X)E(Y).(这一性质可以 推广到任意有限个相互独立的随机 变量之积的情况）
2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
3.例题 • 设随机变量X ~ N（ ， ），Y ~ N( , ),且设X,Y相互独立，试求 • Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数（其中a,b是不为零的常数）.
2
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}.
4.重要定理——切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望 E(X)= ,方差D(X)= 2 ,则对于 任意正数 ，不等式
P{|X- |≥ }≤ 成立.
证明：设X的概率密度为飞f(x),则 有 P{|X- |≥ }= f ( x)dx ≤
XY
=
数.
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量X与Y的相关系
2.基本性质
7)| |=1的充要条件是，存在常数 a,b使得 P{Y=a+bX}=1
XY
1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X) , Cov(X,X)=D(X).
• 2.性质（假设以下所遇到的随 机变量的数学期望存在） 1）设C是常数，则有E(C)=C.
k
2）设X是一个随机变量，C是常数， 则有E(CX)=CE(X). 3）设X,Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y).(这一性质可以 推广到任意有限个随机变量之和的 情况） 4）设X,Y是相互独立的随机变量，则 有E(XY)=E(X)E(Y).(这一性质可以 推广到任意有限个相互独立的随机 变量之积的情况）
2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
3.例题 • 设随机变量X ~ N（ ， ），Y ~ N( , ),且设X,Y相互独立，试求 • Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数（其中a,b是不为零的常数）.
2
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}.
4.重要定理——切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望 E(X)= ,方差D(X)= 2 ,则对于 任意正数 ，不等式
P{|X- |≥ }≤ 成立.
证明：设X的概率密度为飞f(x),则 有 P{|X- |≥ }= f ( x)dx ≤
XY
=
数.
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量X与Y的相关系
2.基本性质
7)| |=1的充要条件是，存在常数 a,b使得 P{Y=a+bX}=1
XY
1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X) , Cov(X,X)=D(X).
概率论第四章
概率：概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A 事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。
频率定义：随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。
另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。
R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。
对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。
这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……概率论：《概率论（经管类）》是2016年科学出版社出版的图书，作者是王文轲,高慧,卫贵武。
内容简介：本书是一线教师在对近10年的概率论教学经验总结的基础上编写而成的.本书主要内容包括随机事件的概率、一维随机变量及其分布、多维随机变量及其分布,随机变量的数字特征、大数定理及中心极限定理.编写过程遵循由浅入深,由易到难,由具体到抽象的原则,以便学生易于理解和掌握.全书每节都配备了习题,且每章最后配备了总习题,这样便于学生巩固知识,也为自学者提供同步复习的内容,从而达到巩固新知识的目的.目录：第一章随机事件的概率第二章一维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理参考资料。
概率论第四章ch4_3
X与Z的协方差为：
例 题 ： 若 二 维 随 机 变 量 (X ， Y) 服 从 正 态 分 布 ， 试 证 X 、 Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0。 。
证:
边缘分布密度为：
随机变量X,Y的相关系数为：
因此二维正 态型X，Y独 立等价于不 相关。
若(X,Y)具有二维正态分布 N(0,0,1,1,ρ), 以下画出 取几个不同ρ值时(X,Y)的密度函数曲面三维图象:
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
方差与协方差的关系
证明：将方差的定义展开并用期望的性质可得。
例1 已知二维随机变量 X,Y 的联合分布律为:
X -1 1 Y -2 0.3 0.10 0 0.12 0.18 1 0.18 0.12
求X,Y的协方差与相关系数。 解：先求边缘分布律：
令
，则上式为
(2) 当X和Y 独立时ρ=0.
由于当X和Y 独立时，Cov(X,Y)= 0，故
= 0
定义：若X，Y的相关系数ρ=0，则称X，Y不相关。 显然若X与Y 独立，则X与Y 不相关，但是不相关的X，Y 却不一定独立。后面要举例子说明。
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)
|ρ|=1的充要条件是X 和Y 以概率1线性相关即：
数学期望 是一阶原 点矩。
(2)若对自然数 k=1,2,…,随机变量 (X-E(X))k 数学期望存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩 即：
方差是二 阶中心矩
矩的概念
(3)若对自然数 l,k=1,2,…, 若下面数学期望 存在，则称它为随机变量X的k+l阶混合原点矩即：
(4)若对自然数 l,k=1,2,…, 若下面数学期望 存在，则称它为随机变量X的k+l阶混合中心矩即：
概率论第四章4-4
i , j 1,2 , , n 都存在 , 则称矩阵
c 11 c 21 C c n1 c 12 c 22 cn2
.
j
c1n c2n c nn
为 n 维随机变量的
协方差矩阵
例如
二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
.若 ( X 1 , X 2 , , X n ) 服从 n 维正态分布 3 Y k 是 X j ( j 1 , 2 , , n ) 的线性函数 也服从多维正态分布 .
, 设 Y 1 , ,
, 则 (Y 1 , Y 2 , , Y k )
线性变换不变性
, 则“ X 1 ,
n
4 .设 ( X 1 , , X n ) 服从 n 维正态分布 X 2 , , X
n
相互独立” 与“ X 1 , X 2 , , X
两两
不相关” 是等价的 .
三、小结
1 . 矩是随机 变量的数字特征 .
随机变量
X 的
数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D ( X ) 是 X 的二阶中心矩 ; 协方差 Cov( X , Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩
c 22 E {[ X 2 E ( X 2 )] }.
2
由于 c ij c ji ( i , j 1 , 2 , , n ) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 为例 .
由于
c 11 c 21 C c n1 c 12 c 22 cn2
.
j
c1n c2n c nn
为 n 维随机变量的
协方差矩阵
例如
二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
.若 ( X 1 , X 2 , , X n ) 服从 n 维正态分布 3 Y k 是 X j ( j 1 , 2 , , n ) 的线性函数 也服从多维正态分布 .
, 设 Y 1 , ,
, 则 (Y 1 , Y 2 , , Y k )
线性变换不变性
, 则“ X 1 ,
n
4 .设 ( X 1 , , X n ) 服从 n 维正态分布 X 2 , , X
n
相互独立” 与“ X 1 , X 2 , , X
两两
不相关” 是等价的 .
三、小结
1 . 矩是随机 变量的数字特征 .
随机变量
X 的
数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D ( X ) 是 X 的二阶中心矩 ; 协方差 Cov( X , Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩
c 22 E {[ X 2 E ( X 2 )] }.
2
由于 c ij c ji ( i , j 1 , 2 , , n ) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 为例 .
由于
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例3. 设X,Y独立且均服从[0,1]上的均匀分布， 求E(|X-Y|), Emin(X,Y).
第四章 随机变量的数字特征
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
第四章 随机变量的数字特征
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 例1：设X~B(n,p),求E(X).
例2：某射手连续向一目标射击，直到命中为 止，设他每发命中的概率是p，求平均射击次 数。
第四章 随机变量的数字特征
■连续型随机变量的数学期望
定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果 x f ( x)dx
绝对收敛,则定义X的数学期望为
E ( X ) x f ( x )dx
第四章 随机变量的数字特征
■相关系数
定义
设D(X)>0, D(Y)>0,称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E ( X Y ) XY
* *
* *
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
推论 DX=0 X以概率1取常数，即P(X=E(X))=1
第四章 随机变量的数字特征
作业： 1：某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 设他每发命中的概率是p，求射击次数的方差。
第四章 随机变量的数字特征
§4.3 协方差和相关系数
第四章 随机变量的数字特征
■协方差
定义 任意X和Y是两个随机变量，若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 存在，则称其为X和Y的协方差，记为Cov(X,Y)。 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)
例2：设送客汽车载有m位旅客，自始发站开出， 旅客有n 个车站可以下车，如到达一个车站没 有旅客下车，就不停车。设每位旅客在各站下 车是等可能的，求平均停车次数。
第四章 随机变量的数字特征
作业： 习题4 第 5，7，10，11，12 模拟题4 第13题
第四章 随机变量的数字特征
1. 已知5种动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液 来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物， 呈阴性的即没患病。下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结 果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化 验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1只化验。 （1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验 次数的概率； （2）X表示依方案乙所需化验次数，求X的期望。
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
第四章 随机变量的数字特征
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
第四章 随机变量的数字特征
甲乙两部机床生产同一种机轴，其直径尺寸 分布律X,Y如下.若轴的标准尺寸为10mm,比 较两部机床。
第四章 随机变量的数字特征
例1. 设X服从参数为p的0-1分布，求D(X).
Y~P(λ), 求D(Y)
例2. 设X~U[a,b]，求D(X). 设Y~N(μ,σ2)，求D(Y).
第四章 随机变量的数字特征
■常见分布的期望和方差
名称 两点分布 二项分布 泊松分布 正态分布
概率分布
P( X k) p k (1 p)1k , k 0,1.
均匀分布
1 ba f ( x) 0
a xb 其它
x0 其它 ( 0)
(b a ) 2 12
指数分布
e x f ( x) 0
1
1
2
第四章 随机变量的数字特征
■方差的性质
1. 设a,b是常数，则D(aX+b)=a2D(X); 推论1：常数的方差等于零，即：D(C)=0 推论2：设X是一个随机变量，a是常数，则 D(aX)=a2D(X) 推论3：D(X)=D(-X)
2. 1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1， 即X和Y以概率1有线性相关. 3. 若X和Y独立，则X和Y不相关，即 =0， 但其逆不真.
第四章 随机变量的数字特征
协方差为零的充要条 件和充分条件?
Cov(X,Y)=0
E(XY)= E(X)E(Y) D(X+Y)= D(X)+D(Y)
第四章 随机变量的数字特征
例1.设随机变量X~N(0,1),求E|X|.
例2. 设一批圆盘的直径X~U(2,4)，求这批圆 盘的平均面积。
第四章 随机变量的数字特征
回顾：设随机变量X的概率密度为
e x f ( x) 0
求E（e-2X）。
x0 其它
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
例. 设随机变量X~N(50,1),Y~N(60,4),且X与Y 相互独立，记Z=3X-2Y-10,求Z的概率密度。
第四章 随机变量的数字特征
■切比雪夫不等式
定理 设随机变量X有期望E(X)和方差 2 ，则对于 任给 >0, 2
P{| X E ( X ) | } 2
小，则事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即
由切比雪夫不等式可以看出，若 2越
随机变量X集中在期望附近的可能性越大.
第四章 随机变量的数字特征
例1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白 细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比 雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400 之间的概率 .
第四章 随机变量的数字特征
§4.2
方差
第四章 随机变量的数字特征
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图：
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
第四章 随机变量的数置如图：
2．随机变量X,Y独立同分布，U=X+Y,V=X-Y， 则U,V必然（ ） A. 独立 B.不独立 C. 相关 D. 不相关
第四章 随机变量的数字特征
X,Y相互独立，X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , ) 则aX+bY,aX-bY服从什么分布？
2 1 2 2
aX bY ~ N (a1 b 2 , a b )
2 2 1 2 2 2 2 aX bY ~ N (a1 b 2 , a2 12 b2 2 )
4. (X,Y)的分布列如下。 X Y -1 0 1 -1 0 1
1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8
第四章 随机变量的数字特征
1．对于随机变量X,Y，若EXY=EXEY，则（ ）
A. D(XY)=D(X)D(Y) C. X与Y独立
B. D(X+Y)=DX+DY D. X与Y不独立
第四章 随机变量的数字特征
■简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
第四章 随机变量的数字特征
例1：已知离散型随机变量X的分布列为
X
Pk
-2
-1
0
1
2
0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
求X2的数学期望。
第四章 随机变量的数字特征
■随机变量函数的数学期望
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x). 注意: 同样需要满足绝对收敛!
第四章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量的数字特
§4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差和相关系数
征
第四章 随机变量的数字特征
§4.1
数学期望
例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y 的分布律如下，问哪个射手水平较高？ X Pk 8 0.1 9 10 0.7 0.2 Y Pk 8 0.3 9 10 0.4 0.3
k P( X k )Cn p k (1 p) nk ,
期望
方差
p np
p(1 p) np(1 p)
k 0,1,, n
P( X k )
f ( x)
k e
k!
, k 0,1,, n
, x
a b 2
2
1 e 2
( x )2 2 2
若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
第四章 随机变量的数字特征
例1.判断下列随机变量的独立性和不相关性。 1.X ~ N (0,1), Y | X |; 2.设X 服从[0， ]上的均匀分布，Y cos X ; 2 3.(X , Y )在X Y R 内服从均匀分布.
2 2 2
否则称X的数学期望不存在.
第四章 随机变量的数字特征