数列与函数的关系问题

例2.已知函数f (x) （ 1）求证：a n 1；
x 1 ，设a n f (n)(n N * )， x
（2） {a n }是递增数列还是递减数列？为什么？
分析：数列的增减性 递增数列 —— a n ＜a n + 1
递减数列 —— a n ＞a n + 1
常数列 : a n = a n + 1 摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
22 19 16 13 10 7 4 1 o －2
● ● ● ● ● ● ●
1 ●
2
3
4
5
6
7
8
9
n
a1 q
2、关于等比数列{an}
通项公式an=a1qn-1,可以写成an= 当q>0且q≠1时，y=
q a1 的图象是函数y= q · qx(x R)的图象上的一群孤立点。
Байду номын сангаас
R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an=
数列与函数的关系问题
简述：数列可以看作是一个定义域为N*（正整数集）或它的有限子集{1，
2，3，…，k}的函数（“离散型”函数），当自变量由小到大的顺序依 次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an 与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列的 离散的点。 数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数 列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，解决数列中的某些问题。 事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固 有特征。作为特殊的函数，数列是函数概念的继续和延伸。另外，数列 与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问 题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架 起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地学好数列 问题。因此，学完《数列》后，一方面要用函数的观点加深了解数列， 拓展我们的知识,提升我们的能力；另一方面也为今后学习高等数学中有
a1 a1 x(x∈R)是指数函数，而y=· qx(x∈ q q a1 q
a1 · qn(n∈N*)。 q
· qn(n∈N*)
很明显，若>0,当q>1时， {an}数列递增；当0<q<1时， {an}数列递减。
二.把握数列的函数特性 辨析函数与数列联系与区别
通过上述几例的分析与说明，我们发现，利用函数的概念、图象、 性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系， 通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入 到数列中，渗透了函数思想；从而有效地分解数列问题。同时也使我们 的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解 法，课后去发现、探究。
数列的通项并不能用我们熟悉的函数把它们联系起来，这时可 以通过研究数列的单调性帮助我们求得数列的最值。一般地，函数单调 性的判断过程为：在给定区间D内任取x1<x2，比较f(x1)与f(x2)的大小。 而数列，由于其自变量取值范围的特殊性，在判断其是否具有单调性时， 只需观察前后项之间的关系，即比较和或者f(n)与f(n+1)的大小。下面
一、以函数观点为切入点 深刻认识数列问题
1、关于等差数列{an} （1）通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它是n的 一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在 直线上。当d>0时， {an}数列递增；当d<0时， {an}数列递减； an 当d=0时，{a }为常数数列。 n
7
2 3 例3：求数列 a n 2n 9n 中的数值最大的项 .
解:
an 2( n 又2
9 2 105 ) , 4 8
9 3, n N * 4 n 2时a n 取最大值13.
数列-2n 2 9n 3中数值最大的项为a 2 13.