数列与函数的关系问题
初中数学教案：数列与函数的关系
初中数学教案：数列与函数的关系一、引言数学是一门抽象而又有实际应用的学科，在初中阶段，数列与函数是数学学习的重要内容之一。
通过研究数列与函数的关系，可以帮助学生更好地理解数字规律和数值之间的关系，培养其逻辑思维能力和问题解决能力。
本教案旨在通过富有趣味性的活动和清晰的演示，帮助学生理解数列与函数的关系，并培养他们的数学思维能力。
二、数列的概念与特征1. 什么是数列数列是按照一定的规则或模式排列生成的一组数的集合。
它是数学中研究数值排列规律的重要工具。
在数列中，每个数被称为项，用字母表示为an。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的特征数列可以用以下几个方面来描述和理解：(1) 首项：数列中排在第一位的数，用a1表示。
(2) 公差：数列中相邻两项之间的差值，用d表示。
(3) 通项公式：数列中第n项与n的关系式，用an表示。
三、函数的概念与性质1. 什么是函数函数是两个集合之间的对应关系。
在数学中，我们通常将自变量x的集合称为定义域，将对应的函数值y的集合称为值域。
符号上，函数可以用f(x)表示，其中x表示自变量，f表示函数。
2. 函数的性质函数具有以下几个基本性质：(1) 唯一性：对于定义域内的每个x值，函数f(x)有唯一的函数值y。
(2) 定义域：函数的自变量的取值范围。
(3) 值域：函数所有可能函数值的取值范围。
(4) 递增和递减性：函数在定义域内的取值是否随着自变量的增大而增大或减小。
四、数列与函数的关系1. 数列可以看作函数数列是函数的一种特殊形式，可以将数列看作输入为自然数集合的函数。
例如，数列{1, 2, 3, 4, 5, ...}可以看作是自然数集合到正整数集合的一个函数。
2. 数列与函数的对应关系数列与函数之间有着密切的对应关系，通过对数列的研究，我们可以找到数列与函数之间的规律。
例如，等差数列可以看作是一个线性函数的图像，等比数列则和指数函数相关。
这样的对应关系可以帮助我们更好地理解数列与函数之间的联系。
函数极限与数列极限的关系
使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:-函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对:任意以两直线为边界的带形区域;2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;)局部保号性 (3若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例): ) 给定任意大正数G; (2) 解不等式; (3) 取定; (4)令，由成立，推出. (1利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的(或N). 极限存在准则1(夹逼准则 (1)数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线;把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
三角函数与数列的联系
三角函数与数列的联系三角函数是指正弦、余弦、正切等与三角比例有关的函数，而数列则是按照一定规律排列的一系列数值。
虽然它们看似属于不同的数学概念，但事实上，在一些特定的情况下，三角函数与数列之间存在着密切的联系。
本文将探讨三角函数与数列的联系，并给出相应的数学证明和应用示例。
一、三角函数与等差数列的联系1. 正弦函数与等差数列的联系在单位圆上，对于一个角θ，其对应的坐标为(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。
如果将θ固定为一定的角度，那么对应的x和y坐标就构成了一个等差数列。
具体来说，当角度从0递增到2π时，正弦函数的取值sinθ也是递增的，对应的y坐标也是递增的，而且等差数列的公差就是单位圆上的弦长。
2. 余弦函数与等差数列的联系同样在单位圆上，对于一个角θ，其对应的坐标为(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。
如果将θ固定为一定的角度，而y坐标对应的正弦值保持不变，那么x坐标就构成了一个等差数列。
具体来说，当角度从0递增到2π时，余弦函数的取值cosθ也是递减的，对应的x坐标也是递减的，而且等差数列的公差同样是单位圆上的弦长。
二、三角函数与等比数列的联系1. 正弦函数与等比数列的联系正弦函数在某些情况下与等比数列也存在联系。
我们将单位圆上的角度限定在0到π/2之间。
把这个区间等分为n份，每个小份的角度是π/2n。
对应的正弦值即为sin(π/2n)，将它们放在一起可以得到一个等比数列。
例如，当n=4时，对应的角度分别为0、π/8、π/4、3π/8，那么对应的正弦值就构成了等比数列。
2. 余弦函数与等比数列的联系与正弦函数类似，余弦函数在某些情况下也与等比数列存在联系。
同样将单位圆上的角度限定在0到π/2之间，把这个区间等分为n份，每个小份的角度是π/2n。
对应的余弦值即为cos(π/2n)，将它们放在一起可以得到一个等比数列。
三、三角函数与斐波那契数列的联系斐波那契数列是指从0和1开始，后续每一项都等于前两项之和的数列。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系两者之间的联系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出...2.两者之间的区别 1、从研究的对象看区别:数列极限是函数极限的一种特殊情况,数列是离散型函数。
而函数极限研究的对象主要是具有(哪怕局部具有)连续性的函数。
2、取值方面的区别:数列中的下标n仅取正整数.数字特性掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。
（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。
【推论】1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
（二）整除判定基本法则1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2．能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
3．能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
（三）倍数关系核心判定特征如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列极限设{x n}为实数数列，a为常数．若对任意给定的正数ɛ，总存在正整数N，使得当n>N时，有∣x n−a∣<ɛ，则称数列{x n}收敛于a，常数a称为数列{x n}的极限．并记作x n=a或x n→a(n→∞),limn→+∞读作“ 当n趋于无穷大时，{x n}的极限等于a”．若数列{x n}没有极限，则称{x n}不收敛，或称{x n}为发散数列．对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：定理1：如果数列{x n}收敛，则其极限是唯一的；定理2：如果数列{x n}收敛，则其一定是有界的，即对于一切n(n=1,2,⋯)，总可以找到一个正数M，使得∣x n∣⩽M．函数极限函数极限可以分成x→x0,x→+∞,x→−∞三种．x→x0:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域，即(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)(δ>0)内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ɛ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limf(x)=A.x→x0x→+∞:设f(x)为定义在[a,+∞)上的函数，A为常数．若对于任意给定的正数ɛ，存在正数M，使得当x>M时，有∣f(x)−A∣<ɛ，则称函数f(x)当x趋于正无穷时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)→A(x→+∞),limx→+∞x→−∞与此类似．例题1. 设无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 1=lim n→∞(a 3+a 4+⋯+a n )，则 q = ．【答案】 √5−12【分析】 易知 ∣q ∣<1，且 a 1=lim n→∞(a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a n −a 1−a 2)，所以 a 1=a 11−q−a 1−a 1q ，即 q 2+q −1=0．2. lim√n 2+5n−n= ．【答案】 253. 如图，抛物线 y =−x 2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A ，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P 1,P 2,⋯,P n−1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q 1,Q 2,⋯,Q n−1，从而得到 n −1 个直角三角形 △Q 1OP 1,△Q 2P 1P 2,⋯,△Q n−1P n−2P n−1，当 n →∞ 时，这些三角形的面积之和的极限为 ．【答案】 13【分析】 S =lim n→∞[12(1n −1n 3)+12(1n −4n 3)+⋯+12(1n −(n−1)2n 3)]=lim n→∞[n−12n −12+22+⋯+(n−1)22n 3]=13.4. 计算： limn→∞3n 2+4n−2(2n+1)2= ．【答案】 345. limn→∞(1−3nn+3)=．【答案】−26. limn→∞(1+a)n+1n+a=2，则常数a=．【答案】17. limx→2(4x2−4−1x−2)=．【答案】−148. limn→∞C n2+2C n n−2n+1=．【答案】329. limn→∞1+3+⋯+(2n−1)2n2−n+1=．【答案】1210. limx→1x−1x2+3x−4=．【答案】1511. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,⋯,V n,⋯，则limn→∞(V1+V2+⋯+V n)=．【答案】8712. 若函数f(x)={3x+2x2−4−ax−2(x>2),b(x⩽2)在x=2处连续，则a=，b=．【答案】2；1413. limn→∞2n+3n2n−3n= ．【答案】 −114. 设函数 f (x )=1x+1，点 A 0 表示坐标原点，点 A n (n,f (n ))(n ∈N ∗)，若向量 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 i 的夹角，（其中 i =(1,0)），设 S n =tanθ1+tanθ2+⋯+tanθn ，则 lim n→∞S n = ．【答案】 1【分析】 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1n+1)．由题意，得 θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 x 轴正方向 的夹角，从而 tanθn =1n (n+1)．运用裂项相消法，得 S n =1−1n+1．15. 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 6=S 3=12，则 limn→+∞S nn 2=【答案】 1【分析】 {a 6=12S 3=12 故 {a 1=2d =2，所以 a n =2n ，lim n→+∞S n n 2=lim n→+∞n (n+1)n 2=lim n→+∞n+1n =1．16. lim x→0(1x 2−x −2x 2−2x )= ．【答案】 −1217. 计算 limn→+∞n+21+2+⋯+n= ．【答案】 018. (1)若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．(2) √x−√π= ．【答案】 2 ； −2√π19. 已知无穷等比数列 {a n } 的各项和为 4 ，则首项 a 1 的取值范围是 ．【答案】 (0,4)∪(4,8)20. 已知函数 f (x )={x 2+2x−3x−1,x >1,ax +1,x ⩽1,在 x =1 处连续，则实数 a 的值为 ．【答案】 321. 设函数 f (x )={2x +1(x >0),a(x =0),bx (√1+x −1)(x <0) 在 x =0 处连续，求 a,b 的值．【解】lim x→0−f (x )=lim x→0−bx⋅(√1+x −1)=lim x→0√1+x √1+x x(√1+x +1)=lim x→0b (1+x −1)x(√1+x +1)=lim x→0√1+x +1=b2,而 lim x→0+f (x )=lim x→0+(2x +1)=2⋅0+1=1，所以 {b2=a 1=a⇒{a =1,b =2.22. 已知 lim x→−2x 2+mx+2x+2=n ，求 m,n 的值．【解】 解法一：∵ limx→−2x 2+mx+2x+2=n ，∴ x =−2 为方程 x 2+mx +2=0 的根． ∴ m =3． 又 limx→−2x 2+3x+2x+2=lim x→−2(x +1)=−1，∴ n =−1．∴ m =3,n =−1．解法二：∵lim x→−2(x 2+mx +2)=lim x→−2[(x +2)⋅x 2+mx +2x +2]=lim x→−2(x +2)⋅lim x→−2x 2+mx +2=0⋅n =0,∴ (−2)2+(−2)m +2=0,m =3． 同上可得 n =−1．23. 在数列 {a n } 中，若 a 1，a 2 是正整数，且 a n =∣a n−1−a n−2∣，n =3,4,5,⋯ 则称 {a n } 为“绝对差数列”．(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）；【解】 a 1=3，a 2=1，a 3=2，a 4=1，a 5=1，a 6=0，a 7=1，a 8=1，a 9=0，a 10=1．（答案不唯一）(2)若“绝对差数列” {a n } 中，a 1=3，a 2=0，试求出通项 a n ；【解】 因为在绝对差数列 {a n } 中，a 1=3，a 2=0，所以该数列是 a 1=3，a 2=0，a 3=3，a 4=3，a 5=0，a 6=3，a 7=3，a 8=0，⋯． 即自第 1 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，所以 {a 3n+1=3,a 3n+2=0,a 3n+3=3,(n =0,1,2,3,⋯).(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【解】 根据定义，数列 {a n } 必在有限项后出现零项，证明如下：假设 {a n } 中没有零项，由于 a n =∣a n−1−a n−2∣，所以对于任意的 n ，都有 a n ⩾1，从而 当 a n−1>a n−2 时，a n =a n−1−a n−2⩽a n−1−1(n ⩾3)； 当 a n−1<a n−2 时，a n =a n−2−a n−1⩽a n−2−1(n ⩾3)； 即 a n 的值要么比 a n−1 至少小 1，要么比 a n−2 至少小 1．令 c n ={a 2n−1(a 2n−1>a 2n ),a 2n (a 2n−1<a 2n ),(n =1,2,3,⋯)． 则 0<c n ⩽c n−1−1(n =2,3,4,⋯)．由于 c 1 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c n <0， 这与 c n >0(n =1,2,3,⋯) 矛盾，从而 {a n } 必有零项．若第一次出现的零项为第 n 项，记 a n−1=A (A ≠0)，则自第 n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A ，A ，即{a n+3k =0,a n+3k+1=A,a n+3k+2=A,(k =0,1,2,3,⋯).所以绝对差数列 {a n } 中有无穷多个为零的项．24. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =8(n+1)(n+3)，求 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1 的值．【解】 因为 (n +1)(a n −a n+1)=8(n +1)[1(n +1)(n +3)−1(n +2)(n +4)]=8⋅[1(n +2)(n +4)+1(n +3)(n +4)]=4⋅(1n +2−1n +4)+8(1n +3−1n +4),所以 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1=4∑(1n +2−1n +4)∞n=1+8∑(1n +3−1n +4)∞n=1=4⋅(13+14)+8⋅14=133.25. 已知数列 {a n } 中，a n =(2n )2(2n−1)(2n+1), S n 为其前 n 项的和，求 lim n→∞S nn的值．【解】∵a n=(2n )2(2n−1)(2n+1)=(2n )2−1+1(2n−1)(2n+1)=1+(12n−1−12n+1)×12,∴1n S n =1n [1+12(1−13)+1+12(13−15)+⋯+1+12(12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−12n+1)]=2n+22n+1.∴ lim n→∞S nn =limn→∞2n+12n+1=1.26. 已知数列 {a n }，其中 a 1=1，a 2=3，2a n =a n+1+a n−1 (n ⩾2)．记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 {lnS n } 的前 n 项和为 U n ． (1)求 U n ；【解】 由题意，得 {a n } 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列，则其前 n 项和S n =n ×1+n (n −1)2×2=n 2,从而lnS n =lnn 2=2lnn,因此U n =2(ln1+ln2+⋯+lnn )=2ln (n!). (2)设 x >0，F n (x )=e U n2n (n!)2x 2n ，T n (x )=∑F k ʹn i=1(x )（其中 F k ʹ(x ) 为 F k (x ) 的导函数），计算 limn→∞T n (x )T n+1(x )．【解】 由（1），得F n (x )=e U n 2n (n!)2⋅x 2n =(n!)22n (n!)2⋅x 2n=x 2n2n,则F nʹ(x)=x2n−1.从而T n(x)=∑F kʹ(x)=nk=1∑x2k−1=nk=1{x(1−x2n)1−x2,0<x<1,n,x=1,x(1−x2n)1−x2,x>1.因此lim n→∞T n(x)T n+1(x)={limn→∞1−x2n1−x2n+2=1,0<x<1,limn→∞nn+1=1,x=1,limn→∞(1x2n)−1(1x2n)−x2=1x2,x>1.27. 已知等差数列{a n}的前三项为a，4，3a，前n项和为S n，且S k=2550． (1)求a及k的值；【解】∵a+3a=2×4,∴a=2.∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列．∵2k+k(k−1)2×2=2550,∴k=50,即a、k的值分别为2、50．(2)求limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)的值．【解】∵S n=2n+n(n−1)2×2=n2+n,∴1S n =1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1.∴1S1+1S2+⋯+1S n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1 =1−1n+1.∴limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)=limn→+∞(1−1n+1)=1.28. 已知数列{a n}的前n项和S n=3n−1，数列{b n}满足b1=1，b n=3b n−1+a n(n⩾2)，记数列{b n}的前n项和为T n．(1)证明：{a n}为等比数列；【解】因为数列{a n}的前n项和S n=3n−1，所以a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n⩾2)．因为n=1时，a1=S1=2，也适合上式，所以a n=2⋅3n−1(n∈N∗)．因为a n+1a n =2⋅3n2⋅3n−1=3，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列． (2)求T n；【解】当n⩾2时，b n=3b n−1+2⋅3n−1，将其变形为b n3n−1=b n−13n−2+2，即b n3n−1−b n−13n−2=2．所以数列{b n3n−1}是首项为b130=1，公差为2的等差数列．所以b n3n−1=1+2(n−1)=2n−1．所以b n=(2n−1)⋅3n−1(n∈N∗)．因为T n=1×30+3×31+5×32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，所以3T n=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−1)⋅3n．两式相减得2T n=−1−2(31+32+⋯+3n−1)+(2n−1)⋅3n．整理得T n=(n−1)⋅3n+1(n∈N∗)．(3)设P n=S n+T n，若对于任意n∈N∗，都有(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1成立，求实数λ的取值范围．【解】由P n=S n+T n=n⋅3n，得P nP n+1=n⋅3n(n+1)⋅3n+1=n3n+3．于是(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1化为(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅n3n+3. ⋯⋯①（i）当n是正奇数时，①式可化为λ<23+13n+3，显然，13n+3大于0，且随着正奇数n的增大而减小．由于①式对任意正奇数n恒成立，所以λ⩽23．（ii）当n是正偶数时，①式可化为λ>−43+13n+3，显然，13n+3随着正偶数n的增大而减小．由于①式对任意正偶数n恒成立，所以λ>−43+13×2+3=−119．综上，实数λ的取值范围(−119,23 ]．29. 设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx，其中a1,a2,⋯,a n∈R,n∈N+，已知对一切x∈R，有∣f(x)∣⩽∣sinx∣和limx→0sinxx=1，求证：∣a1+2a2+⋯+na n∣⩽1．【解】由于f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx,则fʹ(x)=a1cosx+2a2cos2x+⋯+na n cosnx,所以fʹ(0)=a1+2a2+⋯+na n.由于∣fʹ(0)∣=∣∣∣limΔx→0f (Δx )−f (0)Δx∣∣∣=lim Δx→0∣∣∣f (Δx )Δx ∣∣∣⩽limΔx→0∣sinΔx∣∣Δx∣=1,故有 ∣a 1+2a 2+⋯+na n ∣⩽1．30. 已知公比为 q (0<q <1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9，无穷等比数列 {a n 2} 各项的和为 815．(1)求数列 {a n } 的首项 a 1 和公比 q ；【解】 依题意可知，{ a 11−q =9,a 122=81,⇒{a 1=3,q =23.(2)对给定的 k (k =1,2,3,⋯,n )，设 T (k ) 是首项为 a k ，公差为 2a k −1 的等差数列，求 T (2) 的前 10 项之和；【解】 由（1）知，a n =3×(23)n−1，所以数列 T (2) 的的首项为 t 1=a 2=2，公差 d =2a 2−1=3，S 10=10×2+12×10×9×3=155，即数列 T (2) 的前 10 项之和为 155．(3)设 b i 为数列 T (k ) 的第 i 项，S n =b 1+b 2+⋯+b n ，求 S n ，并求正整数 m (m >1)，使得limn→∞S nn m存在且不等于零．（注：无穷等比数列各项的和即当 n →∞ 时该无穷等比数列前 n 项和的极限）【解】 b i =a i +(i −1)(2a i −1)=(2i −1)a i −(i −1)所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n =[a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n ]−[1+2+⋯+(n −1)]令 S =a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n 因为 S −qS =2(a 1+a 2+⋯+a n )−a 1−(2n −1)a n+1 所以S =2a 1(1−q n )(1−q )2−a 1+(2n −1)a n+11−q =45−(18n +45)(23)n故S n =S −n (n −1)2=45−(18n +45)(23)n −n (n −1)2当 m =2 时，lim n→∞S n n 2=lim n→∞[45n 2−18n +45n 2(23)n −12+12n ]=−12 当 m >2 时，lim n→∞S n n m =0，所以当 m =2 时，lim n→∞S nn 存在且不等于零．31. 已知在 x 轴上有一点列：P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)，P 3(x 3,0)，⋯，P n (x n ,0)，⋯，点 P n+2 分有向线段 P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为 λ，其中 n ∈N ∗，λ 为常数，x 1=1，x 2=2． (1)设 a n =x n+1−x n ，求数列 {a n } 的通项公式；【解】 由题意得 x n+2=x n +λxn+11+λ，又 a n =x n+1−x n ， ∴a n a n−1=−11+λ，又 a 1=x 2−x 1=1，∴ 数列 {a n } 是首项为 1 、公比为 −11+λ 的等比数列， ∴ a n =(−11+λ)n−1．(2)设 f (λ)=lim n→+∞x n ，当 λ 变化时，求 f (λ) 的取值范围．【解】 因为x n =x 1+(x 2−x 1)+(x 3−x 2)+⋯+(x n −x n−1)=1+a 1+a 2+⋯+a n−1,λ>0．∴ ∣∣−11+λ∣∣<1，lim n→+∞x n =1+11+11+λ=2λ+3λ+2． ∴ 当 λ>0 时，f (λ)=2(λ+2)−1λ+2=2−1λ+2∈(32,2)．32. 已知函数 f (x )={0,(x ⩽0),n [x −(n −1)]+f (n −1),(n −1<x ⩽n,n ∈N ∗), 数列 {a n } 满足a n =f (n )(n ∈N ∗)．(1)求数列 {a n } 的通项公式；【解】 ∵ n ∈N ∗，所以f (n )=n [n −(n −1)]+f (n −1)=n +f (n −1),所以f (n )−f (n −1)=n,所以f (1)−f (0)=1,f (2)−f (1)=2,f (3)−f (2)=3,⋯⋯f (n )−f (n −1)=n.将这 n 个式子相加，得f (n )−f (0)=1+2+3+⋯+n=n (n +1).∵ f (0)=0， ∴ f (n )=n (n+1)2，所以a n =n (n +1)2(n ∈N ∗). (2)设 x 轴，直线 x =a 与函数 y =f (x ) 的图象所围成的封闭图形的面积为 S (a )(a ⩾0)，求 S (n )−S (n −1)(n ∈N ∗)；【解】 S (n )−S (n −1) 为一直角梯形（n =1 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 f (n −1)，f (n )，高为 1，所以S (n )−S (n −1)=f (n −1)+f (n )2×1=a n−1+a n 2=12[n (n −1)2+n (n +1)2]=n 22.(3)在集合 M ={N ∣N =2k,k ∈Z 且 1000⩽k <1500} 中，是否存在正整数 N ，使得不等式 a n −1005>S (n )−S (n −1) 对一切 n >N 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数 N ；若不存在，请说明理由．【解】 设满足条件的正整数 N 存在，则n (n +1)2−1005>n 22⇔n2>1005⇔n >2010. 又 M ={2000,2002,⋯,2008,2010,2012,⋯,2998}，∴ N =2010,2012,⋯,2998 均满足条件．它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列． 设共有 m 个满足条件的正整数 N ，则2010+2(m −1)=2998,解得m =495,∴ M 中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个，所以N min =2010.(4)请构造一个与 {a n } 有关的数列 {b n }，使得 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在，并求出这个极限值．【解】 设 b n =1a n，即b n =2()=2(1−1),则b 1+b 2+⋯+b n=2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n +1)]=2(1−1n +1).显然，其极限存在，并且lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n )=lim n→∞[2−1n +1]=2. 注：b n =c a n（c 为非零常数），b n =(12)2a n n+1,b n =q 2a nn+1(0<∣q ∣<1) 等都能使 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在．33. 已知 a >0 ，且 a ≠1 ，函数 f (x )=log a (1−a x ) ． (1)求函数 f (x ) 的定义域，并判断 f (x ) 的单调性；【解】 由题意知 1−a x >0 ，当 0<a <1 时， f (x ) 的定义域是(0,+∞);当 a >1 时， f (x ) 的定义域是(−∞,0).因为fʹ(x )=−a x lna 1−a x ⋅log a e =a xa x −1.由此，当 0<a <1 时， x ∈(0,+∞) ，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (0,+∞) 上是减函数．当 a >1 时， x ∈(−∞,0)，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (−∞,0) 上是减函数． (2)若 n ∈N ∗，求 lim n→∞a f (n )a n +a；【解】 因为 f (n )=log a (1−a n ),所以a f (n )=1−a n ,由函数定义域知 1−a n >0 ，因为 n 是正整数，则 0<a <1 ，所以lim n→∞a f (n )a n +a =lim n→∞1−a n a n +a =1a. (3)当 a =e （ e 为自然对数的底数）时，设 ℎ(x )=(1−e f (x ))(x 2−m +1) ，若函数 ℎ(x ) 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 ℎ(x ) 的极值．【解】 由 ℎ(x )=e x (x 2−m +1)(x <0) ，所以ℎʹ(x )=e x (x 2+2x −m +1).令 ℎʹ(x )=0 ，即x 2+2x −m +1=0,由题意应有 Δ⩾0 ，即m ⩾0.①当 m =0 时， ℎʹ(x )=0 有实根x =−1,在 x =−1 点左右两侧均有 ℎʹ(x )>0 ，故 ℎ(x ) 无极值． ②当 0<m <1 时， ℎʹ(x )=0 有两个实根x 1=−1−√m,x 2=−1+√m.当 x 变化时， ℎʹ(x ) 、 ℎ(x ) 的变化情况如下表所示：x (−∞,x 1)x 1(x 1,x 2)x 2(x 2,0)ℎʹ(x )+00+ℎ(x )↗极大值↘极小值↗所以 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m),ℎ(x ) 的极小值为2e −1+√m (1−√m).③当 m ⩾1 时, ℎʹ(x )=0 在定义域内有一个实根x =−1−√m.同上可得 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m).综上所述，当 0<m <1 时 ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ， ℎ(x ) 的极小值为 2e −1+√m (1−√m) ；当 m ⩾1 时， ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ．34. 已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q =f (P )．设 P 1(x 1,y 1)，P 2=f (P 1)，P 3=f (P 2)，⋯，P n =f (P n−1)，⋯ 如果存在一个圆，使所有的点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 P n (x n ,y n ) 的一个收敛圆．特别地，当 P 1=f (P 1) 时，则称点 P 1 为映射 f 下的不动点．若点 P (x,y ) 在映射 f 下的象为点 Q (−x +1,12y)． (1)求映射 f 下不动点的坐标；【解】 设不动点的坐标为 P 0(x 0,y 0)，由题意，得{x 0=−x 0+1,y 0=12y 0.解得x 0=12,y 0=0.所以此映射 f 下不动点为 P 0(12,0)．(2)若 P 1 的坐标为 (2,2)，求证：点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 存在一个半径为 2 的收敛圆．【解】 由 P n+1=f (P n )，得{x n+1=−x n +1,y n+1=12y n .所以x n+1−12=−(x n −12),y n+1=12y n . 因为 x 1=2，y 1=2，所以 x n −12≠0，y n ≠0，所以x n+1−12x n −12=−1,y n+1y n =12. 由等比数列定义，得数列 {x n −12}(n ∈N ∗) 是公比为 −1，首项为 x 1−12=32 的等比数列，所以x n −12=32×(−1)n−1, 则x n =12+(−1)n−1×32. 同理，y n =2×(12)n−1．所以 P n (12+(−1)n−1×32,2×(12)n−1)．设 A (12,1)，则∣AP n ∣=√(32)2+[1−2×(12)n−1]2.因为 0<2×(12)n−1⩽2，所以 −1⩽1−2×(12)n−1<1，所以∣AP n ∣⩽√(32)2+1<2.故所有的点 P n (n ∈N ∗) 都在以 A (12,1) 为圆心，2 为半径的圆内，即点 P n (x n ,y n ) 存在一个半径为 2 的收敛圆．35. 设 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1 对称，对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且 f (1)=a >0． (1)求 f (12),f (14)；【解】 因为对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有 f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)， 所以 f (x )=f (x 2+x 2)=f (x 2)⋅f (x2)⩾0,x ∈[0,1]． ∵ f (1)=f (12+12)=f (12)⋅f (12)=[f (12)]2, f (12)=f (14+14)=f (14)⋅f (14)=[f (14)]2, f (1)=a >0，∴ f (12)=a 12,f (14)=a 14． (2)证明 f (x ) 是周期函数；【解】 依题设 y =f (x ) 关于直线 x =1 对称，故 f (x )=f (1+1−x )，即f (x )=f (2−x ),x ∈R.又由 f (x ) 是偶函数知 f (−x )=f (x ),x ∈R ，∴ f (−x )=f (2−x ),x ∈R ．将上式中 −x 以 x 代换，得f (x )=f (x +2),x ∈R.这表明 f (x ) 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期． (3)记 a n =f (2n +12n)，求 lim n→∞(lna n )．【解】 由（1）知 f (x )⩾0,x ∈[0,1]，∵f (12)=f (n ⋅12n)=f [12n +(n −1)⋅12n ]=f (12n )⋅f [(n −1)⋅12n]=⋯=f (12n )⋅f (12n )⋅⋯⋅f (12n)=[f (1)]n ,f (12)=a 12，∴ f (12n )=a 12n．∵ f (x ) 的一个周期是 2 ∴ f (2n +12n )=f (12n )，因此 a n =a 12n． ∴lim n→∞(lna n )=lim n→∞(12n lna)=0．36. 已知点 P 1(a 1,b 1)，P 2(a 2,b 2)，…，P n (a n ,b n )（n 为正整数）都在函数 y =a x (a >0,a ≠1) 的图象上，其中 {a n } 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． (1)求数列 {a n } 的通项公式，并证明数列 {b n } 是等比数列；【解】 a n =2n −1，(n ∈N ∗)，b n =a a n =a 2n−1，∴ b n+1b n=a 2（定值），∴ 数列 {b n } 是等比数列．(2)设数列 {b n } 的前 n 项的和为 S n ，求 lim n→∞S nS n+1；【解】 ∵ {b n } 是等比数列，且公比 a 2≠1，∴ S n =a (1−a 2n )1−a 2，S nSn+1=1−a 2n1−a 2n+2．当 0<a <1 时，lim n→∞S nS n+1=1；当 a >1 时，lim n→∞S nS n+1=limn→∞1−a 2n 1−a 2n+2=limn→∞1a 2n −11a 2n −a 2=1a 2．因此，lim S nSn+1={1,0<a <11a2,a >1．(3)设 Q n (a n ,0)，当 a =23时，问 △OP n Q n 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【解】 b n =(23)2n−1，S △=12⋅(2n −1)⋅(23)2n−1，设 c n =12⋅(2n −1)(23)2n−1，当 c n 最大时，则 {c n ⩾c n−1c n ⩾c n+1，解得 {n ⩽2.3n ⩾1.3，n ∈N ∗，∴ n =2 时，c n 取得最大值 49，因此 △OP n Q n的面积存在最大值为 49．37. 如图，已知 Rt △ABC 中，∠B =90∘，tanC =0.5，AB =1，在 △ABC 内有一系列正方形，求所有这些正方形面积之和．【解】 设正方形 BD 1C 1B 1 、 D 1D 2C 2B 2 、 … 的边长分别为 a 1,a 2,….， ∵AB =1，tanC =0.5，∴BC =2．由相似三角形的知识可得 a 12=1−a 11，∴a 1=23． 同理，可得 a 2=23a 1,…,a n =23a n−1.∴{a n } 是以 23为首项，以 23为公比的等比数列．设 {S n } 是第 n 个正方形的面积，则 S n 是以 49 为首项，49 为公比的等比数列．∴lim n→∞(S 1+S 2+⋯+S n )=limn→∞49[1−(49)n ]1−49=45lim n→∞[1−(49)n ]=45,即所有这些正方形面积之和为 45．38. 已知数列 {anλn −(3λ)n} 是等差数列，公差为 2，a 1=11，a n+1=λa n +b n ． (1)用 λ 表示 b n ；【解】 因为数列 {a nλn −(3λ)n} 是公差为 2 的等差数列，所以 a n+1λn+1−3n+1λn+1=a n λn −3nλn+2, 去分母，得a n+1=λ⋅a n +3n+1+2λn+1−λ⋅3n ,由 a n+1−λa n =b n ，得b n =2λn+1+3n (3−λ).(2)若limn→∞b n+1b n=4，且λ⩾3，求λ的值；【解】lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λn+2+3n+1(3−λ)2λn+1+3n(3−λ).当λ=3时，lim n→∞b n+1n=λ=3这与已知矛盾，所以λ≠3，当λ>3时，lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λ+(3−λ)(3λ)n+12+3−λλ(3λ)n=λ=4,综上，λ=4．(3)在（2）的条件下，求数列{a n}的前n项和．【解】当λ=4，由已知，得a n 4n −3n4n=11−34+2(n−1)=2n,解得a n=2n⋅4n+3n.令A n=2×4+4×42+6×43+⋯+2n×4n,则4A n=2×42+4×43+6×44+⋯+2n×4n+1,两式相减，得−3A n=2×4+2×42+2×43+⋯+2×4n−2n⋅4n+1=8(1−4n)1−4−2n⋅4n+1=(2−6n)⋅4n+1−83,从而A n=(6n−2)⋅4n+1+89.而B n=3+32+33+⋯+3n=3n+12−32,因此，数列{a n}的前n项和S n=A n+B n=89+6n−29×4n+1+3n+12−32=−1118+3n+12+6n−29×4n+1.39. 讨论函数 f (x )={x,x >2,−(x −2)2,x <2 在 x =2 处的左极限、右极限以及在 x =2 处的极限．【解】 函数 f (x ) 的图象如图所示：当 x →2− 时，函数无限接近于 0, 即 lim x→2−f (x )=0. 当 x →2+时，函数无限接近于 2, 即 lim x→2+f (x )=2. 综上，可知 lim x→2−f (x )≠lim x→2+f (x )．∴ 函数 f (x ) 在 x =2 处极限不存在．40. 已知 a >0，数列 {a n } 满足 a 1=a ，a n+1=a +1a n，n =1,2,⋯．(1)已知数列 {a n } 极限存在且大于零，求 A =lim n→∞a n （将 A 用 a 表示）；【解】 由 lim n→∞a n 存在，且 A =lim n→∞a n (A >0), 对 a n+1=a +1a n两边取极限得A =a +1A,解得A =a ±√a 2+42,又 A >0，所以A =a +√a 2+4.(2)设 b n =a n −A ，n =1,2,⋯，证明：b n+1=−bn A (b n +A)；【解】 由 a n =b n +A ，a n+1=a +1a n，得b n+1+A =a +1n , 所以b n+1=a −A +1b n +A =−1A +1b n +A=−b nA (b n +A ).即 b n+1=−b nA(b n +A)对 n =1,2,⋯ 都成立．(3)若 ∣b n ∣⩽12n对 n =1,2,⋯ 都成立，求 a 的取值范围．【解】 令 ∣b 1∣⩽12，根据（1）（2）得∣∣∣a −12(a +√a 2+4)∣∣∣⩽12, 解得a ⩾32.现证明当 a ⩾32 时，∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立． （i ）当 n =1 时结论成立（已验证）．（ii ）假设当 n =k (k ⩾1) 时结论成立，即 ∣b k ∣⩽12k , 那么∣b k+1∣=∣b k ∣∣A (b k +A )∣⩽1A ∣b k +A ∣×12k ,则只须证明1A ∣b k +A ∣⩽12,即证 A ∣b k +A ∣⩾2 对 a ⩾32成立．由于A =a +√a 2+42=2√a 2+4−a,而当 a ⩾32 时，√a 2+4−a ⩽1,所以A ⩾2,从而∣b k +A ∣⩾A−∣b k ∣⩾2−12k⩾1, 即A ∣b k +A ∣⩾2. 故当 a ⩾32 时，∣b k+1∣⩽12×12k =12k+1, 即 n =k +1 时结论成立．根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立．故 ∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立的 a 的取值范围为 [32,+∞).课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数，如 0.1=19，0.13=1399，0.015=5333，⋯，请你归纳出0.017= （表示成最简分数 mn，且 n ，m ∈N ∗）．2. 计算： lim n→∞n+203n+13= ．3. 已知 limx→2x 2+cx+2x−2=a ，则 c = ，a = ．4. 已知函数 f(x)={1−√1−xx (x <0)a +x 2(x ⩾0) 是连续函数，则实数 a 的值是 ．5. 计算：lim n→∞n (n 2+1)6n 3+1= ．6. 若 lim x→1f (x−1)x−1=1，则 lim x→1f (2−2x )x−1= ．7. lim x→−2x 2+3x+2x+2= ．8. limx→1x √x−xx−1= ．9. 计算： limn→∞3n+1−2n3n +2n−1= ．10. 若 (1+2x )7 展开式的第三项为 168 ，则 lim n→∞(1x +1x 2+⋯+1x n )= ．11. 已知函数 f (x )={2x+1,x >0,x +a,x ⩽0是连续函数，则实数 a 的值是 ．12. 等差数列 {a n } 的前 3 项的和为 21，前 6 项的和为 24，则其首项为 ，若数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ，则 limn→∞S nn 2= ．13. 已知 f (x ) 在定义域 R 上可导，导函数为 fʹ(x )，若 f (x 0)=m ，fʹ(x 0)=n ，则limℎ→0sin [f (x 0+ℎ)]−sin [f (x 0−ℎ)]ℎ= ．（用 m ，n 表示）．14. 已知定义在正实数集上的连续函数 f (x )={11−x +2x 2−1,0<x <1x +a,x ⩾1，则实数 a 的值为 ． 15. limx→2x 3−2x 2x−2= ．16. lim x→1x 2+x−2x 2+4x−5= ．17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) ．18. lim x→−2(44−x −12+x )= ．19. 等比数列 {b n }:1,2,4,⋯，其前 n 项和为 S n ,n =1,2,3,⋯，则 lim n→∞b nS n= ．20. 计算 limn→∞3n−24n+3= ．21. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =(n 2+n )⋅3n ． (1)求 limn→∞a n S n；(2)证明：a 11+a22+⋯+ann >3n．22. 函数 f (x ) 定义在 [0,1] 上，满足 f (x )=2f (x 2) 且 f (1)=1，在每个区间 (12i ,12i−1](i =1,2,⋯) 上，y =f (x ) 的图象都是平行于 x 轴的直线的一部分．(1)求 f (0) 及 f (12),f (14) 的值，并归纳出 f (12i )(i =1,2,⋯) 的表达式；(2)设直线 x =12i ,x =12i−1,x 轴及 y =f (x ) 的图象围成的矩形的面积为 a i (i =1,2,⋯)，求 a 1，a 2 及 lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n ) 的值． 23. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {a n } 满足下列条件： a 1=a,a n =f (a n−1)(n =2,3,4,⋯),a 2≠a 1， f (a n )−f (a n−1)=k (a n −a n−1)(n =2,3,4,⋯), 其中 a 为常数，k 为非零常数．(1)令 b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，证明数列 {b n } 是等比数列； (2)求数列 {a n } 的通项公式； (3)当 ∣k ∣<1 时，求 lim n→∞a n24. 已知 u n =a n +a n−1b +a n−2b 2+⋯+ab n−1+b n (n ∈N ∗,a >0,b >0)． (1)当 a =b 时，求数列 {u n } 的前 n 项和 S n ； (2)求 lim n→∞u nu n−1．小测验姓名 成绩1. 若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．2. limx→−1x 2+3x+2x 2−1的值等于 ．3. 设等差数列 {a n } 的公差 d 是 2 ，前 n 项的和为 S n ，则 lim n→∞a n2−n 2S n= ．4. limx→2x−2x 2−x−2的值等于 ．5. 极限 limx→0(x+1)10−(x+1)6x= ．6. 各项均为正数的等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 q <1，则limn→∞a n+1S n= ，若 q >1，则 limn→∞a n+1S n= ．7. 设常数 a >0，(ax −1x )5展开式中 x 3 的系数为 −581，则 a = ，lim n→∞(a +a 2+⋯+a n )= ．8. 设 a n 是 (1+x )n (n =2,3,4,⋯) 展开式中 x 2 的系数，则 lim n→∞(1a 2+1a 3+1a 4+⋯+1a n)= ．9. lim x→1(xx−1+x−3x 2−1)= ．10. 设函数f (x )={√1+x−1x ,x ≠0,a,x =0在 x =0 处连续，则实数 a 的值为 ． 11. 若 lim x→−1x 2+3x+m x+1=n ，则 m = ，n = ． 12. limn→∞3n +(−2)n3n+1+(−2)n+1= ．13. 等比数列 1，12，14，18，⋯ 所有项的和为 ． 14. 若 lim n→∞(4+4a+⋯+4a n−11−a)=9，则实数 a = ．15. 已知函数 f (x )={x 3−1x−1,x ≠1a,x =1，若 f (x ) 在 R 上连续，则 a = ．此时 lim n→∞(an−1n+2a3n )= ．16. 已知点 O (0,0)，Q 0(0,1) 和点 R 0(3,1)，记 Q 0R 0 的中点为 P 1，取 Q 0P 1 和 P 1R 0 中的一条，记其端点为 Q 1，R 1，使之满足 (∣OQ 1∣−2)(∣OR 1∣−2)<0，记 Q 1R 1 的中点为 P 2，取 Q 1P 2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足(∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0．依次下去，得到P1，P2，⋯，P n，⋯，则limn→∞∣Q0P n∣=．17. 在二项式(1+x)n(n>1,n∈N)的展开式中，含x2项的系数记为a n，则limn→∞(1a2+1a3+⋯+1a n)的值为．18. 若(1+5x)n的展开式中各项系数的和是a n，(7x2+5)n的二项式系数和为b n，则lim n→∞a n−2b n3a n+4b n=．19. 已知数列{a n}的前n项和S n=−n2+kn(k∈R,n∈N∗)，则limn→∞na nS n=．20. 已知点A(0,2n ),B(0,−2n),C(4+2n,0)，其中n为正整数．设S n表示△ABC外接圆的面积，则limn→∞S n=．。
基础知识一、按 叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...
解法3：设递推式an＝3an－1＋2， 可以化为：an＋1－t＝3(an－t)． 即an＋1＝3an－2t. ∴2 ＝－ 2t ， ∴ t ＝－ 1 ，于是得 an ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3(an ＋ 1) ，
(这是手段之二)
数列 {an ＋ 1} 是公比为 3 的等比数列，其首项为 a1 ＋ 1 ＝2，∴an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
(3)对于递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)．
对于递推式an＋1＝pan＋qn，可两边除以qn＋1，得
＝ 再解． (4) 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”， 先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学 引辅助数列{bn}，bn＝ ，得bn＋1
归纳法证明．
[解析] (1)由已知得an＋1－an＝
(3)这个数列的第________项最小；
(4)这个数列前________项的和最小． 答案：－18 11 2或3 6或7
3．已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15，写出数列{an}的 一个通项公式an＝________. 答案：2n－1 4．数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则
总结评述： 解这类题需要我们从多角度思考，全方
位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作 为基本数列或特殊数列，方可迅速获解．
【例2】
(1)已知{an}中，a1＝
，an＋1＝
，求an.
(2)数列{an}中，a1＝1，对于n＞1(n∈N*)有an＝3an－1＋
2，求an. (3)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝ 求an.
令 “ n” ＝ 1,2 ， „ ， (n － 1) ，代入后 (n － 1) 个等式累加，
等比数列的前n项和公式和与函数的关系
等比数列的前n项和公式和与函数的关系一、等比数列的前$n$项和公式和与函数的关系1.等比序列的第一个$n$项和公式若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$s_n=\begin{cases}na_1,\quad\quad\quad\quad\quad\q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。
\end{cases}$注：（1）当$Q≠ 1$，如果$a已知1$，$q$，$n$，那么使用$s_n=\frac{a_1（1-q^n）}{1-q}$更方便；如果$a已知1$，$q$，$a_N$，则使用$s_N=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$更方便。
（2）等比数列前$n$项和公式可看作函数关系$s_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不为0的常数，且$q$不为1，$n∈\mathbf{n}^*$），它是关于$n$的指数类型的函数。
（3）按相等比例排列的第一个$n$项目的总和公式可分为两种情况：$q=1$和$q≠ 1 $. 因此，当用公式求和时，如果$q$的共同比率不确定，则应对共同比率进行分类和讨论。
2、等比数列的前$n$项和公式与函数的关系（1）当公共比率为$Q时≠ $, 第一个n元项目和相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的第一个n元项目和s元可以被变形为s元的第一个n元项目和s元的第一个n元项目和s元的第一个n元和s元的第一个n元和s和s元的第一个n元和s元s元s元s.n和s的相等比率序列的两个n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n.n.n.n.n\}$\uN$是关于$n$的指数函数。
数列与函数的关系
数列与函数的关系作者：王学云来源：《少年科普报（科教论坛）》2020年第11期中图分类号：G4; 文献标识码：A; 文章编号：（2020）-061数列是一种特殊的函数，本质上是一种离散函数。
数列相关的函数是一次、二次和指数函数。
连续函数又是数列的普遍化。
数列和函数既有联系又有区别。
各种各样的数列在实际生活中实用性特别好，比如说在社会中人口的增长与衰减、生物的细胞分裂、汽车的销售量与经济周期年份等等都要用到。
取整函数是离散函数通往连续函数的桥梁。
而回归分析又是离散数据通往连续函数的桥梁。
离散数据既能变为连续函数，连续函数又能通过取整函数化为离散数据。
这就是数学的神奇之处，又是数学好玩的地方，这种逆推的游戏使数学既能各自发展，又能左右逢源，合理圆润进取。
函数思想是中学数学中的重要思想，而数列本身就是特殊的函数，故许多数列问题均可以从函数的角度去分析，去思考。
从近几高年的新课改地区的高考题中，如2016年全国2卷17题17.等差數列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6.（Ⅰ）求{an}的通项公式;（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.我们可以看出，新课标下对于数列的考察不再侧重于数列变数变形的技巧，而在于应用，用函数的思想去解决学数列中的问题就是其一。
在上述17题中就运用了分段函数的思想，有点高数中取整函数的意思。
y=[x]取整函数又叫高斯函数，高斯函数就像一座桥梁，它在数列与函数加起了一座桥梁。
和给定实数x，我们可以对它进行一种特殊的运算-取整运算，即取出不超过x的最大整数部分，通常记为[x]，[x]满足下面三个条件：（1）[x]是整数，（2）[x]<x （3）x<[x]+1，这就是说，整数[x]是不超过x，而由（3）可知，大于[x]的整数[x]+1，[x]+2，……都大于x，即[x]是不超过x的最大整数。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列其实是一种特殊的函数，所以，在定义上，数列的极限和函数的极限极为相似，因而他们具有相类似的性质。
要想完美解答两者所涉及的问题，必须深刻理解两者的定义，不妨对比一下二者的定义，列举一下两者的性质以及两者的判别法则~这有助于加深记忆~ 数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
1、例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
2、数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
函数的极限可以是自变量从左右趋向于某一值时的函数值极限，或者自变量趋向于无穷时的极限。
但数列的极限不同。
可以将数列看做特殊的函数，定义域为全体正整数集合（N+），是一个在零到正无穷上不连续的函数，设数列的项为an=f(n)，因此，可以将数列的极限看做当自变量趋向于正无穷时的函数的极限，数列的极限也可以用函数的极限来运算得到。
lim n→∞an=lim n→∞f(n)
所以，用来计算函数极限的方法也可以用来计算数列的极限，如洛必达法则，等价无穷小的替换，间接计算等等。
a n=f(a n-1)形式计算方法：
设数列的极限为A .则lim n
→∞a n=A，此时A=f(A),带入计算求得极限。
数列极限的性质：1.若数列{an}的极限值存在，则极限值唯一
2.改变数列有限项，不改变数列的收敛与极限值
数列极限的本质：设数列的极限为a，当n>N时an∈（a-ε，a+ε），即|an-a|<ε.。
如何运用函数思想解答等差数列问题
函数与数列之间关系紧密.数列可以看成是定义在正整数集或者是和其对应的子集上的函数.由于自变量为正整数，所以函数的图象不是连续的，是由一些孤立的点构成的.因此，我们在解答等差数列问题时，可以将等差数列看作一种特殊的函数，灵活运用函数思想来辅助解题，借助函数的概念、图象、性质来分析问题，从而提升解题的效率.例1.已知等差数列的前n 项公式和S n ，若S 5=60,S 20=840,求S 30.解：由于等差数列的前n 项公式和S n 是关于n 的二次函数，所以可设S n =pn 2+qn ,则S 5=25p +5q =60，S 20=202p +20q =840，解得p =2,q =2所以S n =2n 2+2n ，将n =30代入上式可得S 30=1860解答本题若采用常规方法，需根据等差数列的前n 项公式，设S n =na 1+n (n -1)2d ，将已知条件代入进行计算，计算量会非常大.将等差数列的前n 项和与二次函数联系起来，设S n =pn 2+qn ，运用函数思想来解题，则便于计算.例2.已知数列a n 的各项都是正数，且a 0=1,a n +1=12a n(4-a n),n ∈N.证明:a n <a n +1<2，n ∈N.解：设a n =x ,则f (x )=12x (4-x )，将其变形可得f (x )=-12(x -2)2+2，又因为-12(x -2)2≤0，所以f (x )=-12(x -2)2+2<2成立，即a n +1<2.又f (x )-x =-12x 2+2x -x =-12x (x -2)>0，所以f (x )>x ，即a n +1>a n .综上可得a n <a n +1<2成立.根据数列与函数的关系，可将a n +1=12a n (4-a n )看作关于a n 的二次函数.通过配方，将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质确定函数的最值，进而证明a n <a n +1<2成立.例3.在等差数列{}a n 中，a 1>0,S 4=S 9，问当n 取何值时，S n 有最大值.解：设等差数列的前n 项和S n =na 1+n (n -1)2d ，根据S 4=S 9可得S 4=4a 1+6d =S 9=9a 1+36d ，解得a 1=-6d ，则S n =d 2n 2-132nd =d2（n -132d ）2+1694，由a 1>0得d <0,所以抛物线的开口向下且点(n ,S n )在抛物线上，又因为n 为正整数，所以当n =b -2a =132时，S n 取最大值，但n 为正整数，所以n 取6和7时，S n 有最大值.如果采用常规方法解答本题，直接用等差数列前n 项和公式求解的话，必须先根据已知等式条件求出a 1与d 的关系，然后由S k >S k +1,S k >S k -1且k 为正整数求出满足条件的n 的值.这里，我们将等差数列前n 项和与函数关联起来，构造出函数模型，利用二次函数的对称性和单调性求得最值以及n 的取值.例4.已知数列{}a n 满足a 1=3,a n =2a n -1-4,n ≥2.求该数列的通项公式.解：令f (x )=2x -4，由x =3x -4可得f (x )的不动点是x =2.所以a n -2=3a n -1-4-2=3(a n -1-2),n ≥2，可得{}a n 是首项为3、公比为3的等比数列，探索与研究51则a n -2=(a 1-2)3n -1=3n -1，可得数列的通项公式为a n =3n -1+2.我们将该数列看作函数，结合已知的递推式求出函数f (x )的不动点，由此构造出新的等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式.在解题时，灵活运用函数思想，借助函数的性质来解题，能将数列问题化繁为简，大大提升解题的效率.例5.已知递增数列{}a n ，对任意正整数n ，都有a n =n 2+bn >0恒成立，求b .解法一：由{}a n 是递增数列可知a n +1-a n >0对于一切n ∈Ν∗恒成立，即2n +1+b >0恒成立，所以b >-(2n +1)对于一切n ∈Ν∗恒成立，可设f ()n =-(2n +1)，则f ()n 是单调递减函数，有最大值为f ()1=-3，所以b 的取值范围是b >-3.解法二：可将a n =n 2+bn 看作是二次函数f ()x =x 2+bx ，则其定义域为{}xx ≥1,x ∈Ν∗，由{}a n 是递增数列可知f ()x 是递增函数，递增区间为[1,+∞)，且抛物线的对称轴为x =-b 2，因为函数f ()x 的图象是由一些孤立的点构成的，所以函数的对称轴x =-b2在x =1.5左侧，即-b2<1.5，解得b >-3.例6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3，a n +1=2a n +2n +1-1(n ∈N *)．（1）求实数λ使{}a n +λ2n为等差数列，并由此求出a n 与S n ；（2）求n 的所有取值，使S na n∈N *，说明你的理由．解：（1）a n =n ·2n +1，S n =T n +n =(n -1)·2n +1+2+n .（2）S n a n =(n -1)⋅2n +1+n +2n ⋅2n +1=2+n -2n+1n ⋅2n +1，结合y =2x及y =12x 的图象可知2n >n 2恒成立，∴2n +1>n ，即n -2n +1<0，∵n ·2n +1>0，∴S na n<2.当n =1时，S n a n =S 1a 1=1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S na n<2，∴当n ≥2时，S na n∉N *.综上可得n =1.解答本题主要运用了指数函数y =2x及一次函数y =12x 图象和性质，将的表达式进行放缩，从而求得n 的可能取值.此题是恒成立问题.由于b 是未知的，并且仅仅根据已知条件无法得到问题的答案，因此考虑运用函数思想，将数列恒成立问题转化为函数最值问题来求解.解法一是通过构造一次函数，利用一次函数的单调性求得函数的最值，进而求得b 的取值范围；解法二是构造二次函数，根据二次函数的单调性和对称性使问题获解.一般地，对于较为复杂的等差数列问题，我们可以根据数列与函数的关系，构造出函数模型，将S n 看作关于n 的二次函数S n =d 2n 2+æèöøa 1-d2n ，那么点(n ,S n )是抛物线y =d 2x 2+æèöøa 1-d 2x 上的离散的点，这样便可运用函数思想来解题.利用待定系数法可求出函数的解析式，即数列的和的表达式；根据二次函数的对称性以及对称轴，便可简便地求出S n 取最大值时n 的取值；根据二次函数的性质建立使不等式恒成立的关系式；等等.根据数列与函数之间的关系对数列问题进行转化，能有效地拓宽解题的思路，提升解题的效率.（作者单位：云南省会泽一中文渊中学）探索与研究52。
取整函数与数列的变化规律分析
取整函数与数列的变化规律分析在数学领域中，取整函数是一种常见的数学函数，用于将实数映射为最接近且小于或等于该实数的整数。
它一般表示为符号“[x]”，其中x 是待取整的实数。
在本文中，我们将分析取整函数与数列的变化规律，并探讨它们之间的关系。
一、取整函数取整函数，也被称为向下取整函数或地板函数，它的定义如下：对于任意实数x，取整函数[ ]将x映射为最大的整数n，使得n ≤ x。
例如，[3.6] = 3，[-2.3] = -3。
取整函数的主要特点是将实数映射为整数，且保持不等式关系。
即对于任意实数a和b，如果a ≤ b，则[ a ] ≤ [ b ]。
取整函数在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在计算机科学中，取整函数常用于对浮点数进行取整运算，以满足特定需求。
在统计学中，取整函数可用于对实验数据进行近似处理，以简化计算。
二、数列的变化规律数列是按照一定规则排列的一系列数字的集合。
在数列中，每个数字被称为数列的项，而产生数列的方法被称为数列的变化规律。
数列的变化规律可以是以等差或等比的方式变化，也可以是按照其他规则进行变化。
数列的变化规律有时可以通过观察前几项来确定，并使用数学方法进行验证和推导。
在分析数列的变化规律时，我们可以借助取整函数来观察数列中的整数项。
通过分析数列中的整数项的特点，我们可以推测数列的变化规律。
三、取整函数与数列的关系在某些数列中，取整函数与数列的项之间存在着一定的关系。
这种关系可以帮助我们进一步理解数列的变化规律。
例如，考虑以下数列：2.1, 3.2, 4.5, 6.8, 9.1, ...我们可以观察到该数列中的每个数都经过了取整函数的处理。
具体而言，[2.1] = 2，[3.2] = 3，[4.5] = 4，[6.8] = 6，[9.1] = 9，...通过分析这些取整后的整数项，我们可以发现数列的变化规律是每一项都是前一项加1。
即2, 3, 4, 6, 9, ...这个例子说明了取整函数与数列之间的关系。
等比数列和函数的关系
等比数列和函数的关系
等比数列可以定义为一组数据正比于它们的索引值的数组。
这类数列的特殊性决定了其在数学领域的许多应用。
其中一“光”是函数的线性调和数列。
更为重要的是它们在微积分中被广泛使用，甚至可以作为科学计算的基础。
等比数列可以形式化为一个简单的等比数列函数，而函数则是根据一定的规则指定输入值某一确定的输出值的关系。
它有助于描述某一特定函数，而函数也有助于了解等比数列的规律性。
例如，等比数列a_n=a_0·2^n（其中a_0为基准值，n为索引值）可以表示为一个比较直观的函数y=a_0·2^(x-1)，这里x代表索引值，y 代表一个数值。
因此，每次得到有索引值的增加而导致值的变化量大于一定倍数，其函数是指数函数。
同样，等比数列b_n=b_0·5^n也可以提供函数表示，即
y=b_0·5^(x-1)，它具有相同的递增特性，但比较倍数则由于基准值的不同而有所不同。
等比数列所描述的数组，以及它们的函数表达形式，都体现了所述等比数列公式化中的关系，并为理解数学特定的特性提供了更多的见解。
例如，函数表可以迅速捕捉到等比数列增长情况下某一特定值的变化。
此外，它们还可以帮助我们估算某一序列值的计算速度等。
综上所述，等比数列与函数之间具有极为紧密的联系，等比数列可以通过函数形式表示法，并且函数可以反映等比数列的行为特点。
因此，有必要深入了解和掌握这种特定关系，以便它在科学计算中的有效运用。
【知识点解析】知识梳理——等比数列与指数型函数的关系
等比数列与指数型函数的关系1．等比数列的图象等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以整理为a n ＝1a q ·q n ，当q ≠1，且a 1≠0时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝1a q ·q x 是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝1a q·q x 的图象上一些孤立的点． 例如，以1为首项，2为公比的等比数列的通项公式为a n ＝1·2n －1＝2n －1，还可以写成a n ＝12·2n ．由此可见，表示这个等比数列的各点都在函数y ＝12·2x 的图象上，如图－1所示．图－1发散探讨如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝aq n （类似指数型函数），其中a ，q 都是不为0的常数，那么这个数列是等比数列吗？这个数列是等比数列，证明如下：取数列{a n }中的任意相邻两项a n 与a n ＋1，作商得11n n n n a aq q a aq++＝＝，由于a ，q 都是不为0的常数，所以数列{a n }是等比数列，其公比为q ，首项为aq ．从而，我们得到等比数列的第三种判定方法——通项公式法．运用此方法时注意a ，q 都是不为0的常数．2．等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则（1）当101>⎧⎨>⎩，a q 或1001a q <⎧⎨<<⎩，时，等比数列{a n }为递增数列； （2）当1001a q >⎧⎨<<⎩，或101a q <⎧⎨>⎩，时，等比数列{a n }为递减数列； （3）当q ＝1时，等比数列{a n }为常数列（这个常数列中各项均不等于0）；（4）当q ＜0时，等比数列{a n }为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号）．显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多．。
一次函数与数列的关联
一次函数与数列的关联一次函数（也称为线性函数）是高中数学中的重要概念，它是一种形式简单的函数，可以用来描述数值之间的线性关系。
与一次函数关联密切的是数列，数列是按照一定规律排列的一组数。
本文将探讨一次函数与数列之间的关联，介绍数列的常见形式以及如何从一次函数中得出数列的规律。
一、数列的基本概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列的每个数称为该数列的项，数列的位置表示项的编号，通常用字母n表示。
例如，数列1，3，5，7，9可以表示为1，a1，a2，a3，a4，其中ai表示第i个项。
数列有多种形式，其中最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定，常用的表示方式是an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
例如，1，4，7，10，13就是一个以1为首项，公差为3的等差数列。
等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定，常用的表示方式是an=a1・r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比。
例如，1，2，4，8，16就是一个以1为首项，公比为2的等比数列。
二、一次函数的基本概念一次函数是指函数的最高次项为一次（线性）的函数，通常表示为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点。
一次函数可以与数列建立起关联，这种关联的规律是：数列的前n项可以用一次函数来表示。
具体而言，假设数列的第一个项为a1，公差或公比为d（对于等差数列）或r（对于等比数列），则数列的第n个项an可以用一次函数的形式表示为an=an-1+d（等差数列）或an=an-1・r（等比数列）。
举例来说，考虑等差数列1，4，7，10，13。
首项为1，公差为3。
我们可以通过一次函数y=3x-2来表示数列中的项与位置之间的关系。
当x取值分别为1，2，3，4时，y的值分别为1，4，7，10，恰好对应了数列中的项。
同样地，对于等比数列1，2，4，8，16，可以使用一次函数y=2^(x-1)来表示。
数列与函数的关系
a p3 : 数列 n 是递增数列；p4 : 数列 n
an 3nd是递增数列；
D. p1, p4
A. p1, p2
B. p3 , p4
C. p2 , p3
{an } 是公比为 q 例3.设 （ ）
A.充分且不必要条件 C.充分必要条件
的等比数列，则 " q 1"
"{an }" 是
n是正整数， Sn 是数列 an 的前n项和，求S n 的最小值。
解：（ 1）已知函数f(x)=ab x (a, b为常数）的图像经过点P, Q则有
5 x 1 x f ( x) 4 (也可以写成 4 2 等不同的形式。 ) 32
4n 2 an log 2 f n log 2 32 因为a n 1 a n 2 n 1 5 2n 5 2 ; 所以a n 是首项为 3，公差为2的等差数列 n(3 2n 5) n 2 4n (n 2) 2 4 2 当n 2时，取最小值 4 所以Sn
知识点三：数列的单调性与最值 解析2：函数y=f(x)为增函数，则其对应的数列为增函数， 函数y=f(x)为减函数，则其对应的数列为减函数 但是，数列 a f (n) 为递增数列其对应的函数不一定是增函数
n
知识点四：等差数列与等比数列的单调性 一、等差数列的单调性 1、等差数列的的通项公式可以变形为an =dn+ a1 - d , 故 当d 0时可看成是关于的一次函数，d 0时数列为递增数列 d 0时数列为递减数列 n(n 1) d 2 d 2、等差数列的前n项和公式为S n = na1 d n (a1 )n 2 2 2 可看出是关于n的不含常数项的二次函数
数列与函数
. .
s7 = −62 +13.6×7 = 59.2
n
6
7
n = 6.8
例2、 等差数列 {an }中， a1 > 0, s3 、 问前多少项和最大? 问前多少项和最大
sn
= s11
解法1 解法1： 利用
解法2 解法2： s11 − s3
n(n −1) sn = na1 + d 2
=0
3
7
11
n
a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 0
4(a7 + a8 ) = 0
(a7 + a8 ) = 0
a7 > 0, a8 < 0
项和最大. 前7项和最大 项和最大
引申： 已知等差数列 {an} 中， a1 < 0 ， s2 = s9 ，
n 等于
sn
时，sn 取得最
值
2
5.5
9
n
★
是递增数列， 例2、已知 n}是递增数列，an = n − λn ，求实 、已知{a 是递增数列
★
设 n为 大 ,则 a 最 项
an ≥ an−1
an ≥ an+1
10 n 10 n−1 (n +1 )( ) ≥ n( ) 11 11
10 n 10 n+1 (n +1 )( ) ≥ (n + 2)( ) 11 11
解 : 9 ≤ n ≤10,∴a9 = a10为 大 得 最
思考题 2、 、 已知函数 反函数。 反函数。
例1．若数列的前 n 项和 Sn = −n2 +11n 求数列 ． 的最大值， 的前 n 项和 sn 的最大值，并求此时 n 的值 。 sn . . . . . . . . . . .
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例2.已知函数f (x) （ 1）求证：a n 1；
x 1 ，设a n f (n)(n N * )， x
（2） {a n }是递增数列还是递减数列？为什么？
分析：数列的增减性 递增数列 —— a n ＜a n + 1
递减数列 —— a n ＞a n + 1
常数列 : a n = a n + 1 摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
22 19 16 13 10 7 4 1 o －2
● ● ● ● ● ● ●
1 ●
2
3
4
5
6
7
8
9
n
a1 q
2、关于等比数列{an}
通项公式an=a1qn-1,可以写成an= 当q>0且q≠1时，y=
q a1 的图象是函数y= q · qx(x R)的图象上的一群孤立点。
Байду номын сангаас
R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an=
数列与函数的关系问题
简述：数列可以看作是一个定义域为N*（正整数集）或它的有限子集{1，
2，3，…，k}的函数（“离散型”函数），当自变量由小到大的顺序依 次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an 与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列的 离散的点。 数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数 列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，解决数列中的某些问题。 事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固 有特征。作为特殊的函数，数列是函数概念的继续和延伸。另外，数列 与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问 题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架 起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地学好数列 问题。因此，学完《数列》后，一方面要用函数的观点加深了解数列， 拓展我们的知识,提升我们的能力；另一方面也为今后学习高等数学中有
a1 a1 x(x∈R)是指数函数，而y=· qx(x∈ q q a1 q
a1 · qn(n∈N*)。 q
· qn(n∈N*)
很明显，若>0,当q>1时， {an}数列递增；当0<q<1时， {an}数列递减。
二.把握数列的函数特性 辨析函数与数列联系与区别
通过上述几例的分析与说明，我们发现，利用函数的概念、图象、 性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系， 通过数列与函数知识的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入 到数列中，渗透了函数思想；从而有效地分解数列问题。同时也使我们 的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解 法，课后去发现、探究。
数列的通项并不能用我们熟悉的函数把它们联系起来，这时可 以通过研究数列的单调性帮助我们求得数列的最值。一般地，函数单调 性的判断过程为：在给定区间D内任取x1<x2，比较f(x1)与f(x2)的大小。 而数列，由于其自变量取值范围的特殊性，在判断其是否具有单调性时， 只需观察前后项之间的关系，即比较和或者f(n)与f(n+1)的大小。下面
一、以函数观点为切入点 深刻认识数列问题
1、关于等差数列{an} （1）通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它是n的 一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在 直线上。当d>0时， {an}数列递增；当d<0时， {an}数列递减； an 当d=0时，{a }为常数数列。 n
7
2 3 例3：求数列 a n 2n 9n 中的数值最大的项 .
解:
an 2( n 又2
9 2 105 ) , 4 8
9 3, n N * 4 n 2时a n 取最大值13.
数列-2n 2 9n 3中数值最大的项为a 2 13.