第4讲 单电子原子体系的薛定谔方程及解

原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（1）R方程的解
部分波函数的解
1 ∂ 2 ∂R 8π 2 m 1 r + 2 ( E − V ) R = l (l + 1) 2 R r 2 ∂r ∂r h r
Z Z Rn ,l (r ) = R1,0 (r ) = 2 exp(− r ) a0 a0
1 2
2 π nx ϕn ( x ) = sin a a
n2h2 E= 8ma 2
n = 1, 2,3, L n, 大于0的正整数
在x = 0及x = a的边界处，ϕ = 0
复
习
2，三维势箱中的粒子
0, 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c V = ∞, a ≤ x ≤ 0, b ≤ y ≤ 0, c ≤ z ≤ 0
原子核
质量中心
电子
mn
微观粒子运动
µ
me
（2）自身转动
（3）电子与原子核相对运动 （a）振动
（b）转动
me = 9.10938 ×10−31 kg m p = 1.67262 ×10−27 kg mn = 1.67439 × 10−27 kg
H：mn = 1836.1me
核不动，电子绕核运动
波恩—奥本海默（Born-Oppeneimer）近似
波尔半径
根据波尔原子模型，电子稳定地绕核运动，其圆周运动的向心力和电子与核 间的库仑引力大小数值相等，
即
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2
电子在稳定轨道上运动的能量E等于电子运动的动能和静电吸引的势能之和
mv 2 e2 e2 E= − =− 2 4πε 0 r 8πε 0 r
根据能量量子化条件，电子轨道运动角动量为
&& shrodinger方程
d2 d2 d2 − 2 2 + 2 + 2 ϕ ( x , y , z ) = Eϕ ( x , y , z ) 8π m dx dy dz h2
π ny y π nx x πn z 8 ϕ ( x, y, z ) = sin • sin • sin z c abc a b
原子论从此诞生
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（四）汤姆森的原子模型
1897年 汤姆森发现了电子
1903年，提出原子“浸入”模型
认为
原子是由均匀分布的正电球体及沉浸 在其中的电子组成
Jeseph John Thomson （J.J.汤姆森） 汤姆森） 汤姆森 ）（英国人 （1856－1940）（英国人） － ）（英国人）
=52.9pm=0.53A
令：a0 = 0.53A
o
称为波尔半径
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二、单电子原子的量子力学处理
（一）单电子原子 H——氢原子
电子
核
单电子原子模型
He + ——类氢原子 Li 2+ ——类氢原子
（二）电子的运动
（ ）电子与原子核为一整体运动 1
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卢瑟福的原子模型
原子核 电子
太阳系模型
卢瑟福原子核模型
1899年
原子模型——行星绕太阳模型
每个原子就像一个太阳系，原子内部一定有一个极小的坚硬的核，此核集中了原子的 绝大部分质量，核中带有若干单位的个正电荷，核外有若干单位个电子绕核旋 转，所以一般情况下，原子显电中性。
2
薛定谔方程
∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ 8π 2 µ Ze 2 1 ∂ 2 ∂ϕ 1 1 + 2 E + ϕ = 0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ h 4πε 0 r
说明：（1）∇ 2－电子；（2）µ－核与电子的折合质量
（3）ϕ x, y, z )－原子；（4）E原子 （
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h2 Ze 2 2 − 2 ∇ − ϕ ( x, y, z ) = Eϕ ( x, y, z ) 4πε 0 r 8π µ
3 2
1 Z Z Z Rn ,l (r ) = R2,0 (r ) = (2 − r ) exp(− r) a0 2a0 2 2 a0
3 2
能量
me 4 Z 2 Z2 En = − 2 2 × 2 = −13.6 2 (eV ) 8ε 0 h n n
n = 1, 2,3,..., 主量子数
2 2 2 2
cos θ =
z
(x
2
+ y2 + z
1 2 2
)
(r,θ ,φ )
极坐标 球坐标
y tan φ = x
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（四）原子运动的薛定谔方程
ˆ H ϕ ( x, y, z ) = Eϕ ( x, y, z )
ˆ ˆ ˆ ˆ H = Tn + Te + Ve
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（2）Θ(θ )方程的解
1 d dΘ m2 − sin θ + 2 Θ = l (l + 1)Θ sin θ dθ dθ sin θ
Θl , m(θ ) = CPl (cos θ )
m
(2l + 1)(l − m ! 2 C= 2(l + m !
原子结构和性质
微观粒子运动的量子力学处理 原子的量子力学处理
复
习
微观粒子的平动
1，一维势箱中的粒子
0, V = ∞, 0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
d 2ϕ − 2 = Eϕ 2 8π m dx h2 d 2ϕ 8π 2 mE + ϕ =0 2 2 dx h
&& shrodinger方程
分离
（1） ∂ 2Φ = −m 2Φ ∂φ 2 Φ方程 R方程 Θ方程
1 ∂ 2 ∂R 8π 2 m 1 （2） 2 r + 2 ( E − V ) R = l (l + 1) 2 R r ∂r ∂r h r 1 d dΘ m2 （3） − sin θ + 2 Θ = l (l + 1)Θ dθ sin θ sin θ dθ
M = mvr = nh 2π
（6.626 ×10−34 J • s) 2 (8.854 ×10−12 J −1 • C 2 • m −1 ) r= 3.314(9.110 ∗10−31 kg)(1.602 ×10-19C ) 2
o
电子绕核运动的半径 n 2 h 2ε 0 当n = 1时 r= 2 π me
1
归一化常数
l (1 − cos 2 θ ) 2 d cos 2 θ − 1) Pl (cos θ ) = ( 2l l ! d cos θ l + m m
m
l+ m
l = 0,1, 2,3,..., (n − 1), 角动量子数，角量子数 m = 0, ±1, ±2, ±3,..., ±l
电子名称
物质由五种最基本元素构成
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
金、木、水、火、土
（二）“四元素”学说
亚里士多德（古希腊：公Βιβλιοθήκη Baidu前384年—公元前322年）
物质由四种最基本元素构成
土、水、气、火
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（三）道尔顿(Dalton )的原子论
ˆ Tn－原子核运动动能算符 ≈ 0
ˆ Te－电子运动动能算符
ˆ Te =h2 8π 2 µ ∇2
ˆ V (r )－势能算符
Ze 2 ˆ V (r ) = − 4πε 0 r
h2 Ze 2 − 2 ∇2 − ϕ ( x, y, z ) = Eϕ ( x, y, z ) 4πε 0 r 8π µ
2 2 h 2 n x n y n z2 E= ( 2 + 2 + 2) 8m a b c
1 2
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
一、人类对物质构成认识历史
（一）“五行”学说
西周（公元前1046年—公元前771年）
中 文
日 文
日曜日 月曜日 火曜日 水曜日 木曜日 金曜日 土曜日
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（三）电子位置的描述
r e
z
rsinθ
θ
O
x
r
• P(x,y,z)z = r cosθ
y
x = r sin θ cos φ
µ
φ
电子运动图示
电子位置
y = r sin θ sin φ
直角坐标
直角坐标与极坐标变换
( x, y , z )
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r =x +y +z
（2）频率规则 当电子由一个定态跃迁到另一个定态时，就会吸收或发射频率为v = ∆E h的光子， 这∆E = hv称为两个定态之间的能量差。
H.D.玻尔 玻尔(N.H.D.Bohr) 玻尔 1885~1962, 丹麦人
1922年获诺贝尔物理学奖
对原子、分子、谱学理论贡献巨大
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
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（2）波函数ϕ(x, y, z ) ϕ (r , θ , φ ) →
ϕ (r ,θ , φ ) = R(r )Θ(θ )Φ (φ )
薛定谔方程（µ m）：
变量分离
1 ∂ 2Φ sin 2 θ ∂ 2 ∂R sin θ d d Θ 8π 2 m 2 2 =− r − sin θ − 2 r sin θ ( E − V ) 2 Φ ∂φ R ∂r ∂r Θ dθ dθ h
l = 0,1, 2,3, 4..., (n − 1)
s p
1908年，获诺贝尔化学奖
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（六）波尔原子模型
1913年，波尔模型
（1）定态规则 原子有一系列定态，每一个定态有一相应的能 量E，电子在这些定态的能级上绕核作圆周运 动，既不放出能量也不吸收能量，即电子作圆 周运动的角动量M必须等于h 2π的整数倍，此 为量子化条件 nh M= n =1,2,3,... 2π
1803年10月 日，道尔顿报告了他的化学原子论。 21
1808年，道尔顿出版了《化学哲学的新体系》
认为
构成物质的最小颗粒
原子
（ ）原子在化学变化中保持其本性不变 1
（2）同位素原子其性质和重量相同
道尔顿 (1766-1844) 英国物理学家、 英国物理学家、化学家
（ ）化合物的质量为所有元素原子质量的总和 3
卢瑟福, 卢瑟福 英国物理学家 （1）大部分射线可以穿透薄的金属薄，如入无人之境 (Ernest Rutherford, 1871—1937)
α粒子的散射实验发现
结论
原子间的排列并不紧密
（2）少量粒子在穿过金属薄时，方向发生了改变，个别粒子被弹回来 结论
原子里面一定有带正电的坚硬的核，粒子打正了， 原子里面一定有带正电的坚硬的核，粒子打正了，就 被弹回来，打偏了就改变方向，没有打着，就穿过去 被弹回来，打偏了就改变方向，没有打着，
求解
复杂而艰辛过程
两个要点
（）直角坐标(x, y, z ) 极坐标(r , θ , φ ) 1 →
x = r sin θ cos φ；y = r sin θ sin φ；z = r cos θ r 2 = x2 + y2 + z 2
Laplace算符∇ 2
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∇ = 2 + 2 + 2 →∇ = 2 r + sin θ + ∂x ∂y ∂z r ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
电子发现的意义
证明原子并非不可 分割的基本粒子
汤姆森原子模型
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（五）卢瑟福(Rutherfored )的原子模型
1899年
卢瑟福在用强磁场作用于镭发出的射线 发现射线可以分成三个组成部分 （1）偏转幅度小、带正电的射线，称为α射线 （2）偏转幅度大、带负电的射线，称为β射线 （3）不偏转的射线，称为γ 射线