概率论与数理统计152 乘法公式

二、乘法公式
设P( A) 0 , 则有 P(AB) P(A)P(B A). 设P(B) 0 , 则有 P(AB) P(B)P(A | B).
以上两个式子都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况. 推广 三个事件的乘法公式
P( ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
计算3事件 同时发生的 概率
P( AB) 0
(AB A)
P( A) 0
二、乘法公式
设P( A) 0 , 则有 P(AB) P(A)P(B A). 设P(B) 0 , 则有 P(AB) P(B)P(A | B).
推广 n个事件的乘法公式 链式法则 一般, n 2 , 设A1, A2 ,, An为n个事件 ,
§1.5.2 条件概率
一、回顾条件概率公式 二、乘法公式
一、 回顾条件概率公式 设A, B是两个事件 , 且P( A) 0 , 则
P(B A) P( AB)
P( A)
P(AB) P(A)P(B A). 当P(B) 0 , P(A B) P( AB)
P(B) P(AB) P(B)P(A | B).
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 A1 ) P( An1 A1 A2 An2 )
计算多个事 件同时发生 的概率
P( An A1A2 An1). 其中 P( A1A2 An1) 0.
例1 m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按 不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取 到二等品的概率。
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进a个与所抽出 的球具有相同颜色的球.取球四次
用乘法公式容易求出
r个红球, t个白球
P( A1A2 A3 A4 )
P( A1) P( A2 A1 ) P( A3 A1A2 ) P( A4 A1A2 A3 )
r ra t ta . r t r t a r t 2a r t 3a
543
前两个人没有摸到 票时，第三个人摸 到票的概率为1/3
依次类推, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
波里亚罐子模型
r个红球, t个白球
例3 一个罐子中包含r个红球和t个白球. 随机 地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加 进 a个与所抽出的球具有相同颜色的球. 连续取球 四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率.
解法1：设Ai={第i次取到一等品}
则
P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 )
n n1 m m1
解法2：设A={两次都取到一等品}
Байду номын сангаас
n (n 1) P( A) m (m 1)
例2 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
当 a > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进a个与所抽出 的球具有相同颜色的球.取球四次
r个红球, t个白球
解 以Ai (i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球,
则A3, A4分别表示第三,四次取到白球 .
于是 A1A2 A3 A4表示事件“连续取四个球，第一、第 二个是红球，第三、四个是白球. ” 求P(A1A2 A3 A4 ).
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
“大家不必争先恐后， 一个一个按次序来， 谁抽到‘入场券’的 机会都一样大.”
“先抽的人当然 要比后抽的人
抽到的机会大. ”
入场 券
解：Ai={第i个人抽到入场券}
则 Ai ={第i个人未抽到入场券}, i＝1,…,5.
P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
第一个人没有摸到票时，第 二个人摸到票的概率为1/4
P(
A2
)
P(
A1 A2
)
P(
A1 )P(
A2
|
A1 )
4 5
1 4
=1/5
P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
4 3 1 =1/5