线性目标函数最值

。
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线性规划
练习1: 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
2x+y=0 y
解第第线 一 二性 步 步xy规 ： ：划 在 在yx问 平 可题面行1的直域一角内般坐找步标到2x+骤系最y=：中优-3作解O 出所可 对C行 应(12,域 的122)； 点x+y；=3 第的三 最步 大y： 值解 或方 最1程小的值最。优解A(，-1,从-1而) 求出目标函数B(2,-1)
回顾二元一次不等式表示平面区域
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
探索结论
P108
作业
A6
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
x-4y+3=0
B
O1
x=1
A
x
5
3x+5y-25=0
问题1：x 有无最大（小）值？
问题2：y 有无最大（小）值？
问题3：2x+y 有无最大（小）值？
二.提出问题
把上面两个问题综合起来:
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3x 5 y 25
式x点+y组-1成>的0的平解面为区域坐。标不的点的 O 1
x
集 合等{式( xa，x+yb)y|+xc+<0y表- 1示>的0 } 是 x+y-1<0
什么是图另形一?侧的平面区域。
x+y-1=0
探索结论
练习1：画出下列不等式所表示的平面区域： 3x－4y－12>0
y
o
x 4
-3
二元一次不等式表示平面区域
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足
的二元一次不等式组叫做x,y的
；
z=2x+y 叫做
；
y
3
x+y=1
x-y=0
满足
的解(x,y)都叫做可行解；
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x
使z=2x+y取得最大值的可行解
且最大值为
；
使z=2x+y取得最小值的可行解
，
y=-1
(-1,-1) ，
(2,-1)
2x+y=0
且最小值为
；
这两个可行解都叫做问题的
A B
直线L越往右平移,t 随之增大.
O1
x 以经过点A(5,2)的
5
3x+5y-25=0
直线所对应的t值
x=1
最大;经过点B(1,1)
的直线所对应的t
值最小. 2x y 0 Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3
线性规划
目标函数
问题： （线性目标函数）
x
答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.
当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.
探索结论
小
结
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
Y 1
• 求z=2x+y的最大值与最小值。
思考
• 1 x，y满足什么 条件？
• 2 式子z=2x+y中 z的几何意义是什 么？
• 3 当l0在何处时
z有最大值和最小 值？
复习回顾 1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
线性约 束条件
最优解
3xx45yy235 x 1
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
求z的最大值与最小值。
线性规
可行域
划问题
所有的 可行解
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3
2x+y=12
可行域 ：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(1,1)
(5,2)
{ 练习
x-y≥0
1.已知二元一次不等式组 x+y-1≤0
y≥-1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
x 1
时,z的最大值和最小值.
y
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1 所 表 示 的 区 域.
2.作直线l0 : 2x y 0
x-4y+3=0 3.作一组与直线l0平行的 直线l : 2x y t, t R
二元一次不等式表示的平面区 域
在平面直角坐标系中，以二
y
元一次方结程论x：+二y-元1=一0次的不解为坐
标的等点式的ax集+合by{+(xc>，0y在)|平x+面y-1=0} 1 是经直过角点坐(标0，系1中)和表示(1直，线0)的一
x+y-1>0
条直ax线+lb，y+那c=么0以某二一元侧一所次有不等
线性规划
练习1 解下列线性规划问题：
求z=3x+y的最大值，使式中 x、y满足下列条件：
8y
(0,6)
2x 3y 24
xy

y 6

7
x 0
O
y 0
C(3,6)
x-y=7 y=6
2x+3y=24
3x+y=29
B(9,2)
A(7,0) 12 x
3x+y=0
答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.
（4）答：作出答案。
变式训练
设z=2x-y+2,求满足 x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
时,z的最大值和最小值.
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
简单的线性规划
• “简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础 上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对 数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具， 来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定 条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源， 取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、 方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决 科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实 际问题.
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包
括边界
y
6
2x+y-6=0
O3
x
例2：根据所给图形，把图中的平面区域 用不等式表示出来y：
(1)
1
1 O
x
y (2)
2
O
3
x
2
4
简单线性规划
• 设x，y满足以下条件
•
5x+6y 30 y 3x
•
简单的线性规划
中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分， 但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也 渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决 实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法.通 过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解 决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应 用数学的意识和解决实际问题的能力。
Y
结论 : 形如2x y t(t 0) 的直线与2x y 0平行.
o
x
2.作出下列不等式组的所表示的平面区域
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
y
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)