中考查漏补缺----最短路线问题

中考查漏补缺----最短路线问题

【例题解析】

例1. 如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C ’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？

思路分析：解这类题的思路是“空间图形平面化”，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“两点之间线段最短”进行计算。

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC ’（在面ADD ’A ’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA ’B ’B 与BB ’C ’C 相连，连接AC ’，使E 点在AC ’上。（如图2）

)(4128

10

'

)('2

2

2

2

cm CC BC AB AC =+=++=

。

所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412。

例2. 如图，在平面直角坐标系xO y 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6，0)，B (6，0)， C (0，34)，延长AC 到点D ，使CD ＝2

1AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于

点E ．

（1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

思路分析：第(1)问，利用相似三角形的知识即可解决；第(2)问

1

1

A

B

y

x

O C

E

D

是平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将它的周长和面积平分的问题，所以连结点B 、M 即可；第(3)问， 首先是利用路程、时间与速度的关系将P 点转化为相同的速度，然后根据“化折为直：的思路，利用“点到直线的距离，垂线段最短”转化为求线段和最短问题。 解：(1)∵A (－6，0)，C (0，43)，∴OA ＝6，OC ＝43．

设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ． 又AC

CD 21=

，2

1=

=

=

∴

CA

CD CO

CM OA

MD ．

∴CM ＝23，MD ＝3．

同理可得EM ＝3．∴OM ＝63． ∴D 点的坐标为(3，63)．

(2)由(1)可得点M 的坐标为(0，63)． 由DE ∥AB ，EM ＝MD ，

可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线． ∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．

∴ED 与CF 互相垂直平分．

∴CD ＝DF ＝FE ＝EC ．

∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．作直线BM ． 设BM 与CD 、EF 分别交于点S 、点T ．可证△FTM ≌△CSM ． ∴FT ＝CS ．

∵FE ＝CD ，∴TE ＝SD ．

∵EC ＝DF ，∴TE ＋EC ＋CS ＋ST ＝SD ＋DF ＋FT ＋TS ． ∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形． 由点B (6，0)，点M (0，63)在直线y ＝kx ＋b 上， 可得直线BM 的解析式为y ＝－3x ＋63．

(3)确定G 点位置的方法：过A 点作AH ⊥BM 于点H ，则AH 与y 轴的交点为所求的G 点．

由OB ＝6，OM ＝63，可得∠OBM ＝60°．∴∠BAH ＝30°． 在Rt △OAG 中，OG ＝AO ·tan ∠BAH ＝23．

∴G 点的坐标为(0，23)．(或G 点的位置为线段OC 的中点) 例3.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上． (1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；

4 x

2

2

A

8 -2 O

-2 -4 y 6 B C D -4

4

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

思路分析：本题的思路是“化折为直”，(1) 是直接利用“两点之间线段最短”，而(2)则是

先平移后再利用“两点之间线段最短”解决问题。

解： (1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12

a =．

将点B (2，n )的坐标代入2

12y x

=

，求得点B 的坐标为(2，2)，

则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． 直线AP 的解析式是5

433

y x =-+

．

令y =0，得45

x =

．即所求点Q 的坐标是(

45

，0)．

(2)① 解法1：CQ =︱-2-45

︱=

145

，

故将抛物线2

12y x

=

向左平移

145

个单位时，A ′C +CB ′最短，

此时抛物线的函数解析式为2

114()

2

5y x =+

．

解法2：设将抛物线2

12y x

=

向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐

标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)． 直线A ′′B ′的解析式为554333

y x m =

+

-

． 要使A ′C +CB ′最短，点C 应在

直线A ′′B ′上，将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145

m =．

故将抛物线2

12y x

=

向左平移

145

个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的

函数解析式为2

114()

2

5y x =

+

．

② 左右平移抛物线2

12y x

=

，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的

周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．

第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为

(1) 4 x

2 2

A

8 -2 O -2 -4 y 6 B

C

D -4

4

Q P (2)① 4 x

2 2 A ′

8 -2 O -2 -4 y 6

B ′ C

D -4 4 A ′′

(第24题(2)②)

4 x

2 2 A ′

8

-2 O -2

-4 y

6

B ′ C

D -4

4 A ′′

B ′′