众数与中位数
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[评价]大家分析的都不错，尤其是学生 3 和 4 的 分析很有见解。用〝大多数人的工资〞以及用〝中等水平的工 资〞来反映比较合理。这就是今天我们要学习的内容——中位 数、众数〔展出课题〕
3．理性概括，纳入系统 [出示目标]〔前文有，略〕〔通过网络广播向学 生展示〕 [出示学习思考问题] 〔1〕用自己的语言阐述中位数、众数的概念； 以下〔1〕-〔4〕的问题请学生将内容【答案】 填写在课件主页的 Word 表格中。 [问]定义中位数时，为什么要补充中间两个数的
角度万里长城分析，制定科学决策，在用数学中学会创新。以 上三个题目，循序渐进，强化学生对知识的理解，促进知识的 迁移、深化、巩固、完善知识结构。鼓励学生用数学的眼光分 析实际问题，增强用数学的意识，在问题解决的过程中学会创 新。
主要让学生总结本节课两个概念的发现过程，运 用概念分析问题的过程。唯有反思，才能控制思维的操作过程。
现，有利于建立新的认知结构。 学生可以通过 BBS 或论坛发表自己的见解，及时
在一起交流。 学生之间各自发表自己的见解，相互评价，相互
完善，相互学习在自主探索中发现概念的形成过程，在合作学 习中提高学生的整体认识水平。同时教师作为主导作用参与到 论坛中去，以让学生形成比较全面的、正确的认知结构。
向学生展示学习目标是为了避免信息技术的形式 使教学目标淡化，造成学习目标不明确。
学生 10：例如一组数 1、1、2、2 平均数是 1.5，中位数是 1.5，但众数却是 1 和 2。
学生 11：平均数、中位数、众数可能为同一个数。 例如；1、1、1、1 四个数。
认真审题，弄清题目的要求。 通过计算说明： 学生 12：中位数、众数、平均数都是 23.5 学生 13：我认为众数有实际意义，它能说明尺码 是 23.5 的鞋好卖。 学生大胆想象，将自己的想法发表在 BBS 上。 学生 16：平均数都一样，都是 135。优秀率乙班 要比甲班好一些。甲班第 28 个人的成绩是 149，乙班第 28 个人 的成绩是 151，它后面的数都超过 150，所以乙班优秀的人数要
众数与中位数
教学内容和地位： 众数、中位数是描述一组数据的集中趋势的两个统计特征量，
是帮助学生学会用数据说话的基本概念。本节课的教学内容和 现实生活密切相关，是培养学生应用数学意识和创新能力的最 好素材。
教学重点和难点： 本节课的重点是众数和中位数两概念的形成过程及两概念的 运用。本节课的难点是对统计数据从多角度进行全面地分析。 因为利用数据进行分析，对刚刚接触统计的学生来说，他们原 有的认知结构中缺乏这方面的知识经验，所以，我们可以借助 生活中的事例，利用丰富多彩的多媒体辅助，帮助学生突破这 一知识难点。 教学目标分析： 认知目标： (1)使学生认知众数、中位数的意义; (2)会求一组数据的众数、中位数。 能力目标： (1)让学生接触并解决一些社会生活中的问题，为学生创新学 数学、用数学的情境，培养学生的数学应用意识和创新意识。 (2)在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力; (3)在问题分析的过程中，培养学生的团结协作精神。
并在 BBS 上公布。 ②甲、乙两个班进行电脑汉字录入速度比赛，参
赛学生每分钟录入电脑中的字数统计后得下表： 思考：比较两个班级的学生的平均成绩，优秀率
〔每分钟录入汉字数≥150〕的高低。 班级 参加人数 中位数 平均数 甲 55 149 135 乙 55 151 135
③某工厂为了改变管理状况，准备采用每天任务 定额，超产的有奖措施，以提高工作效率。下面是该厂 15 个工 人一天内生产零件的个数： 6、7、7、8、8、8、8、9、10、10、13、14、16、16、17，如 果你是管理者，每天每人标准生产多少件为最好？
学生 3:我认为用领的工资反映比较合理，220 元 比亲戚的工资低，但比工人的工资高，处于中等水平。
学生 4:我认为小张是当工人的，应该用工人的工 资反映比较合理。
学习学习目标，认识本节课的学习任务。 根据学习目标，带着问题，自学课本。 学生 5：在一组数据中出现次数最多的数是众数。 将一组数据按大小顺序排列，把处在中间的一个数〔或两个数 的平均数〕叫这组数据的中位数。 学生 6：因为数据个数可能是偶数 根据问题，根据学习内容在 BBS 或论坛上发表自 己的看法与想法。
较合适？
2．合作讨论，探索新知 [问]为什么？请你说一说你的理由？ 教师通过网络观察部分典型问题，进行个别点评。
[评价]分析正确，有理有据，那么你以为应该根 据什么反映工资比较合理呢？
教师选择比较有典型意义的讨论重点实验广播， 让全班同学对其进行评价。使学生认识到平均数已不能反映这 样一组数据的特征。
〔2〕课后大家到市场或单位对一些产品的有关 数据进行统计，然后利用我们所的知识进行分析，能不能制定 一个合理的决策。
边听教师讲解，边看引导画面。 听讲，思考问题。此问题激起学生认知的矛盾， 学生非常兴奋，思非常活跃。 将自己的见解发表在 BBS 上。
算一算；议一议。 学生 1：平均工资是 300 元，老板没有欺骗小张；
通过网络监察选择平均数的学生的【答案】[问] 如果你是工人，你愿意吗？
通过网络监察选择众数的学生的【答案】[问]如 果你是老板，你愿意吗？
[总结]用数据说话时，要结合具体的实际问题进 行全面的分析，制定科学的决策。
5．归纳小结，反思提高 [结]请大家回忆一下本节课我们学到了什么？ [结]刚才两位同学小结比较全面。其实我们通过 本节课的学习，发现我们生活在一个神奇的数学世界中，你假 设用心地以数学的眼光观察它，生活中到处都充满了数学的原 理，我们不但要学好数学，还要学会如何应用数学。 [作业] 〔1〕如果你去找工作，你会怎样了解工资报酬？
设计两个开放性的总理，可以强化教学内容，也 表达了对学生未来生存能力和研究性学习能力的培养。
问题〔1〕在同一个问题中分别求平均数、中位 数和众数，这是为了比较三个量在描述一组数据集中趋势时的 不同角度，从而有助于了解三个概念之间的联系与区别。
问题〔2〕带有很强的生活色彩，表达了众数在 日常生活中的指导意义。
问题〔3〕培养学生的迁移能力。 由中位数估计〝中间〞位置，对培养学生的逆向
思维有一定的作用。 此题是一个开放性问题，要求学生会用数据从多
学生 2：不对，因为 300 元不能客观地反映工人 的平均收入；
学生 2：因为老板每月 2200 元，而剩下的 22 人 的工资之和也只有 4700 元，这样放在一起计算不公平，它把所 有工人的平均工资都提高了。
学生 2:去掉老板和学徒的工资，求剩下的 21 个 人的平均工资——219 元比较合适。
学生 6：因为在这一组中 80 出现了 7 次，次数最 多，所以众数是 80
学生 7：将这一组数据按从小到大的顺序排列， 排在中间的两个数都是 15，所以中位数是 15。
学生 8：众数是一组数据中出现次数最多的，强 调的〝出现次数〞，中位数是一组数据中间的一个数。〔按大小 顺序排列〕
学生 9：平均数的中位数都是唯一的，众数不一 定。
教学过程： 教学内容及教师活动 学生活动 设计意图
1．创设情境，提出问题： [引入]首先我们一起看生活中的一个故事。〔多 媒体网络课件通过网络广播演示〕 [内容]王老板有一个工厂，管理人员有王老板、 6 个亲戚；工作人员有 5 个领工、10 个工人和 1 名徒。现在需 要增加一名新的工人。小张应征而来，与王老板交谈。王老板 说：〝我们这里的工资很高，平均每月 300 元。〞小张工作一 个月后，找王老板说：〝你骗了我，每一个工人的工资都不超 过 200 元，平均工资怎么可能超过 300 元呢？〞王老板说： 〝平均工资是 300 元，不信你可以看工资表。〞
学会如何求一组数据的中位数与众数。 学生 22：还学习了中位数、众数在日常生活中的
应用，要注意结合实际的问题选择合适的统计量进行评价一个 问题。
准备材料，回家调查研究问题。将自己选择的作 业完成后发送到 guzqh@126 中。
新课伊始，通过创设情境，可以为学生提供一个 活生生的生活情境，提供一个真实的问题。激起学生认知的矛 盾。因为疑问是建构教学的起点，它可以提示学生认知上的矛 盾，可以对学生的心理智力产生刺激，问题是知识递进的需要， 也是学生在先前的探索活动中产生的疑点。在问题的情培中发
人员 老板 亲戚 领工 工人 学徒 合计 工资 2200 25 220 200
100 人数 1 6 5 10 1 23 合计 2200 1500 1100 2019 100 6900 〔多媒体展示问题〕请大家根据表中的数据讨论：
张？ 均工资？
〔1〕王老板说每月工资是 300 元是否欺骗了小 〔2〕平均工资 300 元能否客观地反映工人的平 〔3〕假设不能，你认为应该用什么工资反映比
码源自文库销售量如下表：〔单位：双〕 尺寸
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 量 1 2 5 11 7 3 1 (1)计算 30 双女鞋尺寸的平均数、中位数和众数。
〔2〕从实际出发，请回答〔1〕中三种统计特征 量对指导生产有否实际意义？
〔3〕试举例说明众数在日常生活生产中的应用。
教师进行有针对性点评，肯定好的想法与设想。
比甲班多。 分组讨论，积极思考，将自己的见解发表在 BBS
上。 学生 17：用平均数，平均数是 10.5，这样工厂
每天可以生产更多的产品。 学生 18：不愿意，因为这个数全厂只有 5 个人可
以完成任务。 学生 19：用众数 8。 学生 20：不愿意，因为这样会降低本厂的效益。 学生 21：用中位数 9 比较合适。 学生 21：本节课我们学习了中位数、众数的概念，
情感目标： (1)通过多媒体网络课件，提供适当的问题情境，激发学生的 学习热情，培养学生学习数学的兴趣; (2)在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意 识与能力。 教学辅助：网络教室、多媒体辅助网络教学课件、BBS 电子 公告栏、学习资源库 教法与学法： 根据本节课的教学内容，主要采用了讨论发现法。即课堂上， 教师(或学生)提出适当的问题，通过学生与学生(或教师)之间 相互交流，相互学习，相互讨论，在问题解决的过程中发现概 念的产生过程，表达〝数学教学是数学思维活动的过程的教学〞 。在教学活动中，通过学生的自主学习来表达他们的主体地位， 而教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来表达自己 的主导作用。另外，在学生合作学习的同时，始终坚持对学生 进行〝学疑结合〞、〝学思结合〞、〝学用结合〞的学法指导， 这对学生的主体意识的培养和创新能力的培养都有积极的意义。
平均数。 [练习]〔通过网络广播向学生展示〕 ①在一次数学考试中，20 名学生的成绩如下： 70 80 100 60 70 90 50 80 80 70 70 90 80 90
80 70 90 60 80 求这次考试的众数。 ②10 名工人某天生产同一种零件的个数： 15 17 14 10 15 19 17 16 14 12 求这一天 10 名
工人生产零件的中位数。 〔2〕指出两个概念的联系和区别； 〔3〕在一组数据中，平均数、中位数、众数都
是唯一的吗？ [问]你能举出实例吗？ 从 BBS 上找出优秀的例子进行点评。 〔4〕在同一组数据中，平均数、中位数、众数
可不可能都是同一个数？试举例说明。 教师对平均数、中位数、众数的联系和区别进行
总结。〔发布在公告栏上〕 4．指导应用，鼓励创新 讨论如下几道题。〔从资源库中抽取〕 ①某工厂生产销售一批女鞋 30 双，其中各种尺
通过自学的形式，学生自己对两个概念进行归纳 整理，通过比较概念之间的区别和联系，提示实质，形成新的 认知结构。并且学生之间在讨论中相互补充，使学生的知识和 能力得到不断的完善和提高，同时也培养了团结协作精神。
表达了网络信息的工具性，提高学生学习的积极 性、主动性和创造性，有利于学生自主的去构建知识网络。
3．理性概括，纳入系统 [出示目标]〔前文有，略〕〔通过网络广播向学 生展示〕 [出示学习思考问题] 〔1〕用自己的语言阐述中位数、众数的概念； 以下〔1〕-〔4〕的问题请学生将内容【答案】 填写在课件主页的 Word 表格中。 [问]定义中位数时，为什么要补充中间两个数的
角度万里长城分析，制定科学决策，在用数学中学会创新。以 上三个题目，循序渐进，强化学生对知识的理解，促进知识的 迁移、深化、巩固、完善知识结构。鼓励学生用数学的眼光分 析实际问题，增强用数学的意识，在问题解决的过程中学会创 新。
主要让学生总结本节课两个概念的发现过程，运 用概念分析问题的过程。唯有反思，才能控制思维的操作过程。
现，有利于建立新的认知结构。 学生可以通过 BBS 或论坛发表自己的见解，及时
在一起交流。 学生之间各自发表自己的见解，相互评价，相互
完善，相互学习在自主探索中发现概念的形成过程，在合作学 习中提高学生的整体认识水平。同时教师作为主导作用参与到 论坛中去，以让学生形成比较全面的、正确的认知结构。
向学生展示学习目标是为了避免信息技术的形式 使教学目标淡化，造成学习目标不明确。
学生 10：例如一组数 1、1、2、2 平均数是 1.5，中位数是 1.5，但众数却是 1 和 2。
学生 11：平均数、中位数、众数可能为同一个数。 例如；1、1、1、1 四个数。
认真审题，弄清题目的要求。 通过计算说明： 学生 12：中位数、众数、平均数都是 23.5 学生 13：我认为众数有实际意义，它能说明尺码 是 23.5 的鞋好卖。 学生大胆想象，将自己的想法发表在 BBS 上。 学生 16：平均数都一样，都是 135。优秀率乙班 要比甲班好一些。甲班第 28 个人的成绩是 149，乙班第 28 个人 的成绩是 151，它后面的数都超过 150，所以乙班优秀的人数要
众数与中位数
教学内容和地位： 众数、中位数是描述一组数据的集中趋势的两个统计特征量，
是帮助学生学会用数据说话的基本概念。本节课的教学内容和 现实生活密切相关，是培养学生应用数学意识和创新能力的最 好素材。
教学重点和难点： 本节课的重点是众数和中位数两概念的形成过程及两概念的 运用。本节课的难点是对统计数据从多角度进行全面地分析。 因为利用数据进行分析，对刚刚接触统计的学生来说，他们原 有的认知结构中缺乏这方面的知识经验，所以，我们可以借助 生活中的事例，利用丰富多彩的多媒体辅助，帮助学生突破这 一知识难点。 教学目标分析： 认知目标： (1)使学生认知众数、中位数的意义; (2)会求一组数据的众数、中位数。 能力目标： (1)让学生接触并解决一些社会生活中的问题，为学生创新学 数学、用数学的情境，培养学生的数学应用意识和创新意识。 (2)在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力; (3)在问题分析的过程中，培养学生的团结协作精神。
并在 BBS 上公布。 ②甲、乙两个班进行电脑汉字录入速度比赛，参
赛学生每分钟录入电脑中的字数统计后得下表： 思考：比较两个班级的学生的平均成绩，优秀率
〔每分钟录入汉字数≥150〕的高低。 班级 参加人数 中位数 平均数 甲 55 149 135 乙 55 151 135
③某工厂为了改变管理状况，准备采用每天任务 定额，超产的有奖措施，以提高工作效率。下面是该厂 15 个工 人一天内生产零件的个数： 6、7、7、8、8、8、8、9、10、10、13、14、16、16、17，如 果你是管理者，每天每人标准生产多少件为最好？
学生 3:我认为用领的工资反映比较合理，220 元 比亲戚的工资低，但比工人的工资高，处于中等水平。
学生 4:我认为小张是当工人的，应该用工人的工 资反映比较合理。
学习学习目标，认识本节课的学习任务。 根据学习目标，带着问题，自学课本。 学生 5：在一组数据中出现次数最多的数是众数。 将一组数据按大小顺序排列，把处在中间的一个数〔或两个数 的平均数〕叫这组数据的中位数。 学生 6：因为数据个数可能是偶数 根据问题，根据学习内容在 BBS 或论坛上发表自 己的看法与想法。
较合适？
2．合作讨论，探索新知 [问]为什么？请你说一说你的理由？ 教师通过网络观察部分典型问题，进行个别点评。
[评价]分析正确，有理有据，那么你以为应该根 据什么反映工资比较合理呢？
教师选择比较有典型意义的讨论重点实验广播， 让全班同学对其进行评价。使学生认识到平均数已不能反映这 样一组数据的特征。
〔2〕课后大家到市场或单位对一些产品的有关 数据进行统计，然后利用我们所的知识进行分析，能不能制定 一个合理的决策。
边听教师讲解，边看引导画面。 听讲，思考问题。此问题激起学生认知的矛盾， 学生非常兴奋，思非常活跃。 将自己的见解发表在 BBS 上。
算一算；议一议。 学生 1：平均工资是 300 元，老板没有欺骗小张；
通过网络监察选择平均数的学生的【答案】[问] 如果你是工人，你愿意吗？
通过网络监察选择众数的学生的【答案】[问]如 果你是老板，你愿意吗？
[总结]用数据说话时，要结合具体的实际问题进 行全面的分析，制定科学的决策。
5．归纳小结，反思提高 [结]请大家回忆一下本节课我们学到了什么？ [结]刚才两位同学小结比较全面。其实我们通过 本节课的学习，发现我们生活在一个神奇的数学世界中，你假 设用心地以数学的眼光观察它，生活中到处都充满了数学的原 理，我们不但要学好数学，还要学会如何应用数学。 [作业] 〔1〕如果你去找工作，你会怎样了解工资报酬？
设计两个开放性的总理，可以强化教学内容，也 表达了对学生未来生存能力和研究性学习能力的培养。
问题〔1〕在同一个问题中分别求平均数、中位 数和众数，这是为了比较三个量在描述一组数据集中趋势时的 不同角度，从而有助于了解三个概念之间的联系与区别。
问题〔2〕带有很强的生活色彩，表达了众数在 日常生活中的指导意义。
问题〔3〕培养学生的迁移能力。 由中位数估计〝中间〞位置，对培养学生的逆向
思维有一定的作用。 此题是一个开放性问题，要求学生会用数据从多
学生 2：不对，因为 300 元不能客观地反映工人 的平均收入；
学生 2：因为老板每月 2200 元，而剩下的 22 人 的工资之和也只有 4700 元，这样放在一起计算不公平，它把所 有工人的平均工资都提高了。
学生 2:去掉老板和学徒的工资，求剩下的 21 个 人的平均工资——219 元比较合适。
学生 6：因为在这一组中 80 出现了 7 次，次数最 多，所以众数是 80
学生 7：将这一组数据按从小到大的顺序排列， 排在中间的两个数都是 15，所以中位数是 15。
学生 8：众数是一组数据中出现次数最多的，强 调的〝出现次数〞，中位数是一组数据中间的一个数。〔按大小 顺序排列〕
学生 9：平均数的中位数都是唯一的，众数不一 定。
教学过程： 教学内容及教师活动 学生活动 设计意图
1．创设情境，提出问题： [引入]首先我们一起看生活中的一个故事。〔多 媒体网络课件通过网络广播演示〕 [内容]王老板有一个工厂，管理人员有王老板、 6 个亲戚；工作人员有 5 个领工、10 个工人和 1 名徒。现在需 要增加一名新的工人。小张应征而来，与王老板交谈。王老板 说：〝我们这里的工资很高，平均每月 300 元。〞小张工作一 个月后，找王老板说：〝你骗了我，每一个工人的工资都不超 过 200 元，平均工资怎么可能超过 300 元呢？〞王老板说： 〝平均工资是 300 元，不信你可以看工资表。〞
学会如何求一组数据的中位数与众数。 学生 22：还学习了中位数、众数在日常生活中的
应用，要注意结合实际的问题选择合适的统计量进行评价一个 问题。
准备材料，回家调查研究问题。将自己选择的作 业完成后发送到 guzqh@126 中。
新课伊始，通过创设情境，可以为学生提供一个 活生生的生活情境，提供一个真实的问题。激起学生认知的矛 盾。因为疑问是建构教学的起点，它可以提示学生认知上的矛 盾，可以对学生的心理智力产生刺激，问题是知识递进的需要， 也是学生在先前的探索活动中产生的疑点。在问题的情培中发
人员 老板 亲戚 领工 工人 学徒 合计 工资 2200 25 220 200
100 人数 1 6 5 10 1 23 合计 2200 1500 1100 2019 100 6900 〔多媒体展示问题〕请大家根据表中的数据讨论：
张？ 均工资？
〔1〕王老板说每月工资是 300 元是否欺骗了小 〔2〕平均工资 300 元能否客观地反映工人的平 〔3〕假设不能，你认为应该用什么工资反映比
码源自文库销售量如下表：〔单位：双〕 尺寸
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 量 1 2 5 11 7 3 1 (1)计算 30 双女鞋尺寸的平均数、中位数和众数。
〔2〕从实际出发，请回答〔1〕中三种统计特征 量对指导生产有否实际意义？
〔3〕试举例说明众数在日常生活生产中的应用。
教师进行有针对性点评，肯定好的想法与设想。
比甲班多。 分组讨论，积极思考，将自己的见解发表在 BBS
上。 学生 17：用平均数，平均数是 10.5，这样工厂
每天可以生产更多的产品。 学生 18：不愿意，因为这个数全厂只有 5 个人可
以完成任务。 学生 19：用众数 8。 学生 20：不愿意，因为这样会降低本厂的效益。 学生 21：用中位数 9 比较合适。 学生 21：本节课我们学习了中位数、众数的概念，
情感目标： (1)通过多媒体网络课件，提供适当的问题情境，激发学生的 学习热情，培养学生学习数学的兴趣; (2)在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意 识与能力。 教学辅助：网络教室、多媒体辅助网络教学课件、BBS 电子 公告栏、学习资源库 教法与学法： 根据本节课的教学内容，主要采用了讨论发现法。即课堂上， 教师(或学生)提出适当的问题，通过学生与学生(或教师)之间 相互交流，相互学习，相互讨论，在问题解决的过程中发现概 念的产生过程，表达〝数学教学是数学思维活动的过程的教学〞 。在教学活动中，通过学生的自主学习来表达他们的主体地位， 而教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来表达自己 的主导作用。另外，在学生合作学习的同时，始终坚持对学生 进行〝学疑结合〞、〝学思结合〞、〝学用结合〞的学法指导， 这对学生的主体意识的培养和创新能力的培养都有积极的意义。
平均数。 [练习]〔通过网络广播向学生展示〕 ①在一次数学考试中，20 名学生的成绩如下： 70 80 100 60 70 90 50 80 80 70 70 90 80 90
80 70 90 60 80 求这次考试的众数。 ②10 名工人某天生产同一种零件的个数： 15 17 14 10 15 19 17 16 14 12 求这一天 10 名
工人生产零件的中位数。 〔2〕指出两个概念的联系和区别； 〔3〕在一组数据中，平均数、中位数、众数都
是唯一的吗？ [问]你能举出实例吗？ 从 BBS 上找出优秀的例子进行点评。 〔4〕在同一组数据中，平均数、中位数、众数
可不可能都是同一个数？试举例说明。 教师对平均数、中位数、众数的联系和区别进行
总结。〔发布在公告栏上〕 4．指导应用，鼓励创新 讨论如下几道题。〔从资源库中抽取〕 ①某工厂生产销售一批女鞋 30 双，其中各种尺
通过自学的形式，学生自己对两个概念进行归纳 整理，通过比较概念之间的区别和联系，提示实质，形成新的 认知结构。并且学生之间在讨论中相互补充，使学生的知识和 能力得到不断的完善和提高，同时也培养了团结协作精神。
表达了网络信息的工具性，提高学生学习的积极 性、主动性和创造性，有利于学生自主的去构建知识网络。