点到平面的距离的几种求法

点到平面的距离的几种求法

求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离

的几种基本方法.

例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AE、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.

一、直接通过该点求点到平面的距离

1 •直接作岀所求之距离，求其长.

解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作

BN丄BC，交GM于N，则有BN//CG，BN丄平面ABCD .作BPXEM，交EM于P，易证平面BPN丄平面EFG .作BQXPN，垂足为Q,则BQ丄平面EFG .于

是BQ是点B到平面EFG

r- 4BP2 BN2 =—

的距离•易知BN=2 / 3，BP=.l，PN= 二，由BQ・PN=PB・BN，

得BQ= ….

图1 图2

2 •不直接作岀所求之距离，间接求之.

（1）利用二面角的平面角.

课本P. 42第4题，P. 46第2题、第4题给岀了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M - CD - N的大小为a，A€M,

AB丄CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d, 则有d=asin a. ①

①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.

解法2.如图3,过B作BP丄EF，交FE的延长线于P,易知BP= 亞，这就是点B到二面角

C - EF-G的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH,易证ZGHC就是二面角C -EF - G的平

面角.T GC=2,A求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考

的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，

概括岀求点到平面的距离的几种基本方法.

例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.

一、直接通过该点求点到平面的距离

1 •直接作岀所求之距离，求其长.

解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作

BN丄BC，交GM于N,则有BN//CG,BN丄平面ABCD .作BP丄EM，交EM于P,易证平

是EQ 是点E 到平面EFG

PN

D

O

①中的 这就是点E 到二面角C

解法 角

AH GH

D F A

)利用二面角的平面角

图2

图1

面EPN 丄平面EFG .作EQ 丄PN ，垂足为Q,则EQ 丄平面EFG 易得平面EER 丄平面EFG,ER 为它们的交线，所以ZREB 就是EE 与平面EFG 所成的角

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a 也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB 的二面角的平面角 2 •不直接作岀所求之距离，间接求之

9 .②

9 •由

CH=3 a 上的射影B,连结OB 得 9 .

解法3.如图5,设M 为FE 与CB 的延长线的交点，作BR±GM，R 为垂足.又GMXEB

EF - G 的平面

2.如图 3,过B 作BP 丄EF ，交FE 的延长线于P,易知BP

GC=2， AC=4 课本P.42第4题，P.46第2题、第 另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系

OP 与a 所成的角为9 ,A 到平面a EF -G 的棱EF 的距离.连结AC 交EF 于H,连结GH,易证ZGHC 就是二面角C

(2)利用斜线和平面所成的角.

如图4, OP 为平面 a 的一条斜线，A€OP,OA

4题给岀了 二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到 ”.如图2，二面角M - CD -N 的大小为 a, AEM, AB

AB = a ，点A 到平面N 的距离AO

于是由①得所求之距离d = BP

-sinZGHC

则有d = asin a. ①

经过OP 与a 垂直的平面与a 相交，交线与OP 所成的锐角就是②中的

9，这里并不强求要作出点A 在

22

二 ，由BQ ・PN=PB ・BN

的距离•易知BN=2 /3,BP 得 BQ=

[J .

的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin

2 加

L ： = u •解略

△ MRB^^MCG ，可得BR= j ；，在Rt^REB 中，/E=90

所以sin 0 =BR / ER=

，于是由②得所求之距离d=

i. I

(3)利用三棱锥的体积公式.

解法4.如图6,设点B 到平面EFG 的距离为d,则三棱锥B - EFG 的体积V= ( 1 / 3 ) S AE F

G •d.另一方面又可

得这个三棱锥的体积V= ( 1 / 3 ) S AFEB •CG，可求得S △ FEB = ( 1 / 4 ) S ADAB =2,

2你

S AEFG = J - i ,所以有1 / 3 •二-1 ・d=1 / 3・2・2，得d= IJ .

二、不经过该点间接确定点到平面的距离

1•利用直线到平面的距离确定

解法5.如图7,易证BD//平面EFG ，所以BD 上任意一点到平面EFG 的距离就是点B 到平

面EFG 的距离.由对称思想可知，取BD 中点0,求点0到平面EFG 的距离较简单.AC 交EF 于H,

如图8,把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系

更加明朗.面GMT 是正四棱柱ABCD - A 1 B 1GD 1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB

1

于

N,TG 交DD 1于Q,作BP//MG ，交CG 于P,连结DP,则有平面GTM/平面PDB .它们之间 的距离就是所求之距离•于是可以

把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置，哪里方便就在哪里求.

这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN -PDB 的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求

之距离•据此可得解法6.

解法6.三棱柱GQN - PDB 的体积V=S

A PD

B d ，另一方面又有

V=S A CDB BN ，可求得BN=2

图5

BR =

_2_

-1 ,EB = 2,

2•利用平行平面间的距离确定