2第二讲(轴向拉压应力和变形)解析
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材料力学教案 上一讲我们学到：
轴向拉压应力和变形
（1）材料力学研究对象、解决问题、研究 内容、基本假设。 （2）内力的概念及计算方法。
（3）轴力的概念（拉正压负）、计算方法 （截面法）、表示方法（轴力图）。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
第二讲
一、轴向拉压应力 二、轴向拉压变形
三峡大学 工程力学系
不是！
杆件的变形太大，也不行---刚度问题
轴向拉压下，杆件变形特征我们已经初步 接触到了。下面将进一步学习变形特征和 如何量化这种特征。
三峡大学 工程力学系
轴向拉压变形的提出
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压变形-纵向变形
轴向拉压时，杆件纵向会伸长或缩短：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量），伸长为正 纵向线应变 l（反映变形程度） ，与Δl 同号
0
s2
FN 2 A2
60103 4
(20103)2
191MPa
s3
FN3 A3
50103 4 (35103 )2
52MPa
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压斜截面上应力的计算
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变 形相同。
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
注意：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
（1）必须明确截面及点的位置；
（2）是矢量，1)正应力： 拉为正， 2) 切应力：顺时针为正；
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)，1MPa=106Pa
（4）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成， 即为该截面上的内力。
三峡大学 工程力学系
应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压横截面上应力的计算
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s 0 cos
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
三峡大学 工程力学系
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
例2 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1 f 30
2 f 20
60kN
40kN
3 f 35
30kN
50kN
1
2
3
FN1 0 FN2 60kN FN3 50kN
FN图
kN
60 50
+ 20
s1
FN1 A1
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
t
p
s in
s0
2
sin 2
正应力和切应力的正负规定：
s () t ()
s () t ()
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
杆件被拉断是不是只跟它截面受力有关呢？
不是！
杆件的粗细：粗杆比细杆不容易拉断 杆件的材料：细线比钢丝更容易拉断
相同受力下，杆件的粗细反映了杆件截面 平均受力情况，粗杆比细杆分担的小。为
了刻画这种区别，引入应力的概念。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
应力的概念
轴向拉压应力和变形
l
三峡大学 工程力学系
轴向拉压纵向变形
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
纵向变形定量刻画-胡克定律
轴向拉压应力和变形
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN 。
A
三峡大学 工程力学系
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压应力小结
1. 找到了一种度量杆件截面受力平均效果的物理量-应力。 2. 轴向拉压横截面上正应力计算。 3. 轴向拉压斜截面上正应力和切应力计算。
三峡大学 工程力学系
轴向拉压应力小结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
杆件是不是只要不断就能正常工作呢？
应力：受力杆件某截面上一点处的分布内力集度。
三峡大学 工程力学系
应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
法向分量 正应力s
总应力 p
切向分量
切应力t
三峡大学 工程力学系
某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度
某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
应力特征：
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
三峡大学 工程力学系
应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
dF dA
，其
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
为此： 1. 观察变形：等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉
(压)后的相对位移，两横向线仍为直线，仍相互平行，且 仍垂直于杆的轴线。
2.平截面假设：设想横向线为杆的横截面与杆的表面 的交线，原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉 (压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
FN
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等
时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力
FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴
力FN。
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压应力和变形
（1）材料力学研究对象、解决问题、研究 内容、基本假设。 （2）内力的概念及计算方法。
（3）轴力的概念（拉正压负）、计算方法 （截面法）、表示方法（轴力图）。
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材料力学教案
轴向拉压应力和变形
第二讲
一、轴向拉压应力 二、轴向拉压变形
三峡大学 工程力学系
不是！
杆件的变形太大，也不行---刚度问题
轴向拉压下，杆件变形特征我们已经初步 接触到了。下面将进一步学习变形特征和 如何量化这种特征。
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轴向拉压变形的提出
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压变形-纵向变形
轴向拉压时，杆件纵向会伸长或缩短：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量），伸长为正 纵向线应变 l（反映变形程度） ，与Δl 同号
0
s2
FN 2 A2
60103 4
(20103)2
191MPa
s3
FN3 A3
50103 4 (35103 )2
52MPa
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压斜截面上应力的计算
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变 形相同。
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
注意：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
（1）必须明确截面及点的位置；
（2）是矢量，1)正应力： 拉为正， 2) 切应力：顺时针为正；
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)，1MPa=106Pa
（4）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成， 即为该截面上的内力。
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应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压横截面上应力的计算
三峡大学 工程力学系
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s 0 cos
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
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应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
例2 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1 f 30
2 f 20
60kN
40kN
3 f 35
30kN
50kN
1
2
3
FN1 0 FN2 60kN FN3 50kN
FN图
kN
60 50
+ 20
s1
FN1 A1
应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
t
p
s in
s0
2
sin 2
正应力和切应力的正负规定：
s () t ()
s () t ()
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
杆件被拉断是不是只跟它截面受力有关呢？
不是！
杆件的粗细：粗杆比细杆不容易拉断 杆件的材料：细线比钢丝更容易拉断
相同受力下，杆件的粗细反映了杆件截面 平均受力情况，粗杆比细杆分担的小。为
了刻画这种区别，引入应力的概念。
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应力的概念
轴向拉压应力和变形
l
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轴向拉压纵向变形
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
纵向变形定量刻画-胡克定律
轴向拉压应力和变形
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN 。
A
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应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
轴向拉压应力小结
1. 找到了一种度量杆件截面受力平均效果的物理量-应力。 2. 轴向拉压横截面上正应力计算。 3. 轴向拉压斜截面上正应力和切应力计算。
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轴向拉压应力小结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
杆件是不是只要不断就能正常工作呢？
应力：受力杆件某截面上一点处的分布内力集度。
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应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
法向分量 正应力s
总应力 p
切向分量
切应力t
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某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度
某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力概念
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轴向拉压应力和变形
应力特征：
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
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应力概念
材料力学教案
轴向拉压应力和变形
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
dF dA
，其
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
为此： 1. 观察变形：等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉
(压)后的相对位移，两横向线仍为直线，仍相互平行，且 仍垂直于杆的轴线。
2.平截面假设：设想横向线为杆的横截面与杆的表面 的交线，原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉 (压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
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应力计算
材料力学教案
FN
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等
时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力
FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴
力FN。
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应力计算
材料力学教案
轴向拉压应力和变形