线性变换对角线问题开题报告
线性变换对角化问题浅析
线性变换对角化问题浅析
王玉梅
【期刊名称】《科技信息（学术版）》
【年(卷),期】2011(000)013
【摘要】对于线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的联系,通过对易理解的矩阵的对角化问题来研究相对复杂线性变换的对角化问题,然后通过研究特征值与特征向量的性质,再研究对角化的必要条件与充分条件,从而更轻松的理解并掌握线性变换的对角化问题。
【总页数】2页(P207-207,158)
【作者】王玉梅
【作者单位】菏泽学院数学系,山东菏泽274015
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.线性变换对角化问题浅析 [J], 王玉梅
2.线性变换可对角化的充要条件探讨 [J], 张新功;
3.线性变换可对角化条件的一个新证明 [J], 肖玉兰
4.矩阵向量空间上线性变换的对角化 [J], 汪一聪;汪立民
5.线性变换的对角化问题 [J], 刘超群
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线性变换可对角化的条件及对角化方法
邯郸学院本科毕业论文题目线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法学生苏成杰指导教师张素梅教授年级2006 级专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2010年5月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师张素梅老师的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．毕业论文作者（签名）：年月日摘要通过从特征值、特征向量、特征子空间、不变子空间、最小多项式、特征多项式以及线性变换矩阵本身的结构特点等七个不同的角度去分析线性变换可对角化的条件，总结出了七个充要条件和四个充分条件．第二部分给出了利用特征向量将线性变换对角化的一般方法并赋予了典型例题加以具体说明，同时又就以上某些条件的等价关系进行了说明．关键词线性变换对角化条件特征值特征向量Linear transformation’s “diagonalizable”conditions and“diagonalization” methods Su Chengjie Directed by Professor. ZhangSumeiAbstract According to the characteristic number, characteristic vector, subspace, invariant subspace, minimal polynomial, characteristic polynomial and the linear transformation matrix itself we get seven different sufficient conditions and four different necessary conditions. The second part of the text will show a common method to diagonalization the linear transformation with characteristic number and characteristic vector and also there will be an example to make it clear and then the construction of the above conditions are discussed on equivalence relation.Key words Linear transformation Diagonalization Condition Characteristic number Characteristic vector目录摘要 (Ⅰ)外文页 (Ⅱ)1 引言 (1)2 线性变换及其矩阵表示 (1)2．1 线性变换的定义 (1)2．2 线性变换矩阵的定义 (1)3 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (2)4 数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充分条件 (6)5 复数域P上的n维线性空间V上的线性变换σ可对角化的充要条件 (8)6 线性变换对角化方法介绍 (9)7 对各条件之间的联系进行分析和总结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法1 引言线性变换是线性空间中的重要研究内容之一，过去我们把对线性变换的研究转化为了对矩阵的研究，这样极大地丰富了线性变换的研究内容，线性变换的对角化问题就是其中一例．值得注意的是，并不是所有的线性变换都可以对角化，因此对线性变换可对角化的条件的研究是十分有价值的．本文从不同的角度分析了线性变换可对角化的条件并给出了相应的结论．2 线性变换及其矩阵表示2.1 线性变换的定义 定义2.1296]1[ 设V 是数域P 上的线性空间，若存在V 上的一个变换σ满足条件（1）)()()(βαβασσσ+=+ V ∈∀βα, （2）αασσk k =)( V P k ∈∀∈∀α, 则称σ为V 的一个线性变换．2.2 线性变换矩阵的定义 定义2.2324]1[ 设n εεε,,,21Λ是数域P 上的n 维线性空间V 上的一组基，σ是V 中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n nn n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛσσσ 用矩阵来表示就是A εεεεεεεεε),,,(),,,(),,,(212121n n n ΛΛΛ==σσσσ其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a aa a aa a a ΛM M M ΛΛ212222111211A ， 则称A 为线性变换σ在基n ε,,ε,εΛ21下的矩阵．3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题3.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 中存在由σ的特征向量组成的一组基．证明 必要性 设线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下具有对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n λλλO21A 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n λλλσOΛΛ212121),,,(),,,(εεεεεε 这就是说n i i i i ,,2,1,Λ==εελσ．因此n εεε,,,21Λ就是σ的n 个线性无关的特征向量．充分性 如果V 中存在由σ的特征向量组成的一组基，显然在这组基下σ的矩阵是对角矩阵，即线性变换σ可以对角化．命题 3.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和.引理3.2.1260]2[ 如果ξ是数域P 上的线性空间V 上的线性变换σ的一个特征向量，则ξ生成的子空间)(ξL 是σ的一维不变子空间．引理3.2.2 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换，如果W 是σ的一维不变子空间，则W 中任何一个非零向量都是σ的特征向量．证明 设W 是σ的一维不变子空间，任取)(0αα≠∈W ，则α是W 的一组基．因为W 是σ的一维不变子空间所以W ∈ασ，从而αα0k =σ对某个P k ∈0成立，这表明α是σ的特征向量．下面证明命题3.2必要性 设σ可对角化，由命题3.1可知V 中存在由σ的特征向量组成的一组基n ααα,,,21Λ，因此)()()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=Λ．根据引理3.2.1有),,2,1)((n i L i Λ=α是σ的一维不变子空间．由此得线性空间V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间的直和．充分性 设V 可以分解成σ的n 个一维不变子空间n W W W ,,,21Λ的直和n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21在),,2,1(n i W i Λ=中取一组基i ε,据引理3.2.2得i ε是σ的特征向量．由于和n W W W ⊕⊕⊕Λ21是直和，所以n εεε,,,21Λ是n W W W V ⊕⊕⊕=Λ21的一组基，即线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量组成的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．命题3.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ的所有特征子空间的维数之和等于n ．引理3.3.1251]2[ n 维线性空间V 上的线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的特征向量是线性无关的；线性变换σ的属于不同特征值m λλλ,,,21Λ的线性无关的特征向量组合在一起仍然线性无关．下面证明命题3.3必要性 设线性变换σ的所有不同特征值分别是m λλλ,,,21Λ，),,2,1(m i V i Λ=λ是属于特征值),,2,1(m i i Λ=λ的特征子空间，因为线性变换σ可对角化，由命题3.1知σ有n 个线性无关的特征向量，从而有m V V V V λλλ⊕⊕⊕=Λ21．所以)dim ()dim ()dim ()dim ()dim (2121m m V V V V V V V λλλλλλ+++=⊕⊕⊕=ΛΛ．其中)dim(V 表示线性空间V 的维数，下同．从上面的等式可以看出，线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ． 充分性 设线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于线性空间V 的维数n ，即∑===mi n V V i1)dim()dim(λ在m V V V λλλ,,,21Λ中各取一组基，把它们合起来供共有n 个向量．据引理3.3.1它们仍然线性无关，从而它们构成线性空间V 的一组基．换句话说，线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1知线性变换σ可以对角化．命题3.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是线性变换σ在某一组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积．引理3.4.1 设A 是一个准对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A 并设1A 的最小多项式为1g （x ）,2A 的最小多项式为2g (x )，那么A 的最小多项式为1g （x ）和2g (x )的最小公倍式)](),([21x g x g ．证明 记)](),([)(21x g x g x g =，首先0A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(21g g g 因此g(x )能被A 的最小多项式整除，其次，如果0A =)(h ,那么0A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(21h h h 所以0A 0A ==)(,)(21h h ，因而)(|)(),(|)(21x h x g x h x g ．并由此得)(|)(x h x g ．这样就证明了g(x )是A 的最小多项式．引理3.4.286]3[ 设n 维线性空间V 上的线性变换σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式为)(x g ，它可以分解成一次因式的乘积s r s r r x x x x x x x g )()()()(2121---=Λ则V 可以分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，其中},)(|{V x V i ri i ∈=-=ξ0ξE A ξ，s i ,,2,1Λ=．下证命题3.4根据引理3.4.1，条件的必要性是显然的，现在证明充分性．根据矩阵和线性变换之间的对应关系，定义任意线性变换σ的最小多项式为其对应矩阵A 的最小多项式．设线性变换σ的最小多项式为)(x g ，由)(x g 是数域P 上互素的一次因式的乘积，我们有∏=-=li i a x x g 1)()(由引理3.4.2可得l V V V V ⊕⊕⊕=Λ21其中},)(|{V a V i i ∈=-=ξ0ξE A ξ，这里E 表示单位矩阵．因此把l V V V ,,,21Λ各自的基合起来就是线性空间V 的基，而每个基向量都属于某个),,2,1(n i V i Λ=，因而是线性变换σ的特征向量．换句话说就是线性空间V 中存在由线性变换σ的特征向量构成的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．命题3.5 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对于线性变换σ的每个特征值λ都有等式：k r n =--)(A E λ（其中k 是λ的重数，A 表示线性变换σ在某一组基下的矩阵，)(A E -λr 表示矩阵A E -λ的秩，下同）．证明 必要性 设λ是线性变换σ的任一特征值，且其重数为k ,由于σ可以对角化，所以属于特征值λ的线性无关的特征向量有k 个，从而齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ．由参考文献［1］第142页定理8可知齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为)(A E --λr n所以有k r n =--)(A E λ．充分性 由于对线性变换σ的每个特征根λ有k r n =--)(A E λ (k 是λ的重数)，所以齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系中含向量的个数为k ，即属于k 重特征值λ的线性无关的特征向量的个数为k ，从而线性变换σ共有n 个线性无关的特征向量，由命题3.1可知线性变换σ可以对角化．由上面的证明过程可知，条件：对于线性变换σ的每个特征值λ都有k r n =--)(A E λ(k 是λ的重数)也可改为线性变换σ的每个特征值λ的重数等于齐次线性方程组0X A E =-)(λ的基础解系所含向量的个数．或改为如果令r λλλ,,,21Λ是σ的所有不同特征值，则有n r n r i i =--∑=)]([1A E λ．或改为线性变换σ的每个特征值λ的特征子空间的维数等于λ的重数．4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件命题4.1 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ有n 个不同的特征值．证明 由于属于不同特征值的特征向量是线性无关的，且线性变换σ有n 个不同的特征值，所以线性变换σ有n 个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可知线性变换σ可对角化．命题4.2 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 的特征多项式在数域P 内有n 个单根．证明 由于矩阵A 的特征多项式||)(A E -=λλf在数域P 上有n 个单根，从而线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1得线性变换σ可对角化．命题4.3 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是σ在某组基下的矩阵A 为幂等矩阵)(2A A =．引理4.3.1130]3[ 幂等矩阵的特征根只能是0或1．下面证明命题4.3设线性变换σ在某组基下矩阵A 为幂等矩阵，且r r =)(A ,由引理4.3.1知线性变换σ的特征值是0或1，所以矩阵A 相似于对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00110O OA 由于相似矩阵具有相同的秩，所以 )()(0A A r r =)()(0A E A E -=-r r又n r r =+-)()(00A A E ，所以rn r n r r -=-=+-)()()(A E A A E ． 于是齐次线性方程组0X A E =-)(的基础解系所含向量的个数为n )(A E --r =r r n n =--)(．又因为r r =)(A ，故齐次线性方程组0AX X A E =-=-)0(的基础解系所含向量的个数为r n r n -=-)(A ．于是线性变换σ共有n r n r =-+)(个线性无关的特征向量，它们构成V 的一组基，由命题3.1可得线性变换σ可对角化．另外，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵A 满足E A =2或)(2P k k ∈=A A ，由以上的证明过程可知线性变σ同样可以对角化．命题4.4 数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充分条件是线性变换σ在某组基下矩阵A 为下三角矩阵，且),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠（其中ii a 为主对角线上元素）．证明 因为A 是一个下三角矩阵，所以A 的特征多项式为|λA E -|=∏=-n i ii a1(λ），又由于),,2,1,,(n j i j i a a jj ii Λ=≠≠，从而A 的特征多项式有n 个不同的根),,2,1(n i a ii Λ=，即线性变换σ有n 个不同的特征值，由命题4.1可得线性变换σ可对角化．5 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件命题5.1 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式无重根．证明 由命题3.4可知σ可对角化的等价条件是σ在某组基下的矩阵A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积，而当P 是复数域时这个条件就等价于A 的最小多项式无重根，从而命题成立．另外不难证明如果A 的特征多项式无重根，则线性变换σ可对角化．命题5.2 复数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换σ可对角化的充要条件是对σ的每个特征值i λ均有m i r r i i ,,2,1,)()(2Λ=-=-A E A E λλ．证明 必要性 因线性变换σ可对角化，故A 的最小多项式)(λf 无重根，即A 的任一特征根i λ只能是)(λf 的单根．于是)(λf 与(i λλ-2)的最大公因式是i λλ-，由最大公因式的性质知，有多项式][)(),(λλλP v u ∈使 EA E A A A A i i ii v f u v f u λλλλλλλλλ-=-+-=-+22))(()()())(()()(．因 0A =)(f ,故 E A E A A i i v λλ-=-2))((．所以r (E A i λ-)≤2)(E A i r λ-但2)(E A i r λ-≤)(E A i r λ-,故有)(E A i r λ-=m i r i ,,2,1,)(2Λ=-E A λ．充分性 由命题5.1知，只需证明A 的最小多项式无重根，用反证法．假设线性变换σ的某个特征根i λ是最小多项式)(λf 的重根，可设)()()(2λλλλg f i -=，因多项式)()(λλλg i -的次数低于)(λf 的次数，故0A E A ≠-)()(g i λ，但0A A E A ==-)()()(2f g i λ所以)(A g 中必存在非零的列向量0X 使0X E A 0X E A =-≠-020)()(i i λλ．这就是说，齐次线性方程组0X E A =-)(i λ与0X E A =-2)(i λ有不同解，故2)()(E A E A i i r r λλ-≠-．这与2)()(E A E A i i r r λλ-=-矛盾．故)(λf 无重根，从而线性变换σ可对角化．6 线性变换对角化方法介绍命题6.162]4[ 设数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ有m 个不同的特征值，它们分别为)(,,,21n m m ≤λλλΛ，且其对应有n 个线性无关的特征向量为n ααα,,,21Λ，A 为线性变换σ的矩阵．如果令),,,(21n αααP Λ=则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n λλλO 211AP P ． 上述命题就是将一个线性变换的矩阵变成一个其主对角线上全为其特征值的对角矩阵的具体方法．例298]6[ 数域P 上的n 维线性空间V 中的线性变换σ在某组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A试将其对角化．解 矩阵A 的特征多项式)6()2(533242111||)(2--=-----=-=λλλλλλλA E f 令 0)6()2()(2=--=λλλf得6,2321===λλλ．所以线性变换σ的特征值为6,2321===λλλ．当2=λ时，由,)2(0X A E =-求得属于特征值2=λ的线性无关的特征向量为T T )1,0,1(,)0,1,1(21=-=αα．当6=λ时，由,)6(0X A E =-求得属于特征值6=λ的线性无关的特征向量为T )3,2,1(3-=α．再令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==310201111),,(321αααP可求得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4141414143432121211P 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6221AP P ．至此已将线性变换对角化，其对角化的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6220A ．从上面的解题过程可以看出，线性变换对角化的过程实际上就是求解特征值与特征向量的过程．换句话说就是求得一组基，使线性变换在这组基下的矩阵为对角矩阵．显然这组基中的每一个向量都是线性变换的特征向量，而对角矩阵主对角线上元素都是其对应特征值．从而不难理解线性变换的矩阵对角化后并没有改变线性变换本身，它只是在另一组基下的矩阵．7 对各条件之间的联系进行分析和总结通过对以上各种条件进行分析和总结可以看出，线性变换可对角化的条件虽然有很多，但从本质上说它们其实是一致的．例如，线性变换σ可对角化的充要条件“σ有n 个线性无关的特征向量”与“线性空间V 上的线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”其实就是同一问题的不同表述：有“线性变换σ有n 个线性无关的特征向量”就必然有“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”．反过来，如果“线性变换σ的所有特征子空间的维数之和等于n ”则必有“σ有n 个线性无关的特征向量”．所以，抓住问题的本质有助于真正理解和掌握线性变换可对角化的条件及对角化方法．参考文献：[1] 王萼芳 ，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2001[3] 钱芳华. 高等代数方法选讲[M].桂林：广西师范大学出版社，1991[4] 程云鹏 .矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社，2001[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005[6] 唐忠明.高等代数[M].南京:南京大学出版社，2000[7] Y.Q.Guo,K.P.Shum and G.T.Xu.Linear Algebra[M].Beijing:Science Press ，2008致谢在此篇毕业论文划上句号之际，我郑重地向我的指导教师张素梅老师表示我最诚挚的感谢！衷心地感谢她的关心、指导和教诲．在张老师的精心引导下，几经修改和完善我终于完成了毕业论文，从她身上我获得了太多的文化和知识，更汲取了诸多纯朴而伟大的高尚品德．我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在张老师的全面、具体指导下进行的．老师渊博的学识、民主而严谨的作风，使我受益匪浅．张老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助．。
矩阵对角化研究开题报告
矩阵对角化研究开题报告一、选题背景及意义对于一个给定的矩阵，我们可以通过对其进行对角化来得到其特征值和特征向量。
矩阵对角化是线性代数中的重要内容之一，在现代数学及其应用领域中具有广泛的应用。
例如，对角化矩阵在矩阵的指数函数、线性常微分方程组的求解以及优化问题等方面都有着重要的应用。
因此，对角化的研究不仅对于解决数学问题具有必要性，而且也对于实际问题的解决有着重要的意义。
本研究旨在探讨矩阵对角化的一些基本概念和方法，深入研究矩阵对角化的性质，并且应用到一些实际问题的解决中。
二、研究内容和方法1.线性代数基础理论线性代数是研究向量空间及其线性变换的一门基础科学。
本项目将首先复习线性代数的一些基本概念和相关理论，例如行列式、矩阵求逆、特征值与特征向量等内容，并分析这些基本概念与矩阵对角化之间的联系。
2.矩阵对角化的方法对于某个给定的矩阵，我们需要找出它所包含的特征值和对应的特征向量，从而实现矩阵对角化。
本项目将介绍求解矩阵特征值和其所对应的特征向量的方法。
其中，我们会重点讨论幂法、反幂法、QR分解以及雅可比方法等求解特征值和特征向量的常用算法，并在 MATLAB 软件环境下进行数值模拟。
3.矩阵对角化的性质和应用对于对角化后得到的矩阵，我们将会分析它的性质，并探讨矩阵对角化在解决实际问题中的应用。
例如，对角化矩阵在矩阵的指数函数、线性常微分方程组的求解以及优化问题等方面都有着重要的应用。
三、预期目标和成果通过本项目的研究，我们将达到以下目标：1.理解矩阵对角化的基本概念和相关理论。
2.掌握求解矩阵特征值和特征向量的方法，能够利用MATLAB 软件进行数值模拟。
3.深入研究矩阵对角化的性质，探讨其在实际问题中的应用。
4.完成研究报告并撰写相关论文。
5.具备一定的科研能力和团队协作能力。
四、研究计划和进度安排本项目的研究时间为一个学期，具体计划如下：第一周：确定研究课题，分析研究内容和目标，撰写开题报告。
关于线性变换的可对角化问题—数学本科毕业论文设计
本科毕业论文（设计）题目：关于线性变换的可对角化问题学生：学号: 学院：专业: 入学时间：年月日指导教师：职称: 完成日期：年月日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：年月日关于线性变换的可对角化问题摘要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems.Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices目录1 引言........................................................ . (1)2 可对角化的概念 (1)3 判定方法 (1)4 两个矩阵同时合同对角化 (4)5 几类特别的可对角化矩阵 (6)6 应用........................................................ . (6)6.1 矩阵相似的判断 (6)6.2 方阵高次幂 (7)6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵 (7)6.4 求特征值 (8)6.5 经典例题 (8)7 小结........................................................ .. (9)参考文献........................................................ ..101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义[8] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 为δ在某一组基下的矩阵且A 与矩阵B 相似，其中矩阵B 是对角形矩阵，则称A 可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B 叫做A 的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理1[8] 设n 维线性空间内有一个线性变换，且A 为它在某一组基下的矩阵，要是A 为对角形矩阵，那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000300031A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，由于1A 为对角形矩阵，可知δ可对角化.3.2 定理2[1] 设δ是n 维线性空间内的一个线性变换，且δ有n 个线性无关的特征向量，则δ可对角化.证明 “必要性” 假设δ可对角化，令=),,,(21n αααδ ),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21. 即i i i αλαδ=)( ，n i ,2,1=；特征值为n λλλ 21,，则 n ααα,,,21 是δ的特征向量,由已学知识可知n ααα,,,21 是不相关的.“充分性” 设有n 个不相关的向量n ααα,,,21 ，并且它们都是δ的特征向量，设i i i αλαδ=)( ，其中n i ,2,1=； 将n ααα,,,21 作为线性空间中的一组基，则满足：)(,),(),((21n αδαδαδ )),,,(2211n n αλαλαλ ==),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21.即δ在基n ααα,,,21 下的矩阵为对角形矩阵，从而δ可对角化.例2[2] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是δ在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理2判断δ是否可对角化.解 由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλA E ，A 的特征值为：4,2321-===λλλ.对于221==λλ，由()02=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101. 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：2112ααε+-=, 312ααε+=.对于43-=λ，由()04=-X A E 知基础解系是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-13231.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：32133231αααε+-=. 由以上可知δ包含三个特征向量1ε，2ε，3ε，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换，若在数域P 中δ的特征多项式包含n 个互不相等的根，那么δ可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换δ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3102A 是它在基21,αα下的矩阵，试利用推论1判断δ是否可对角化.解 由3102---=-λλλA E )3)(2(--=λλ知A 的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3 推论2[5] 设n 维线性空间V 内有一个线性变换δ，其中δ的特征值是n λλλ ,,21，并且它们是不相同的.用iir i i ααα,,,21 来表示i λ对应的i r 个特征向量，;,,2,1k i =那么：[]1 n r r r i =+++ 21，则δ可对角化.[]2 n r r r i <+++ 21，则δ不可对角化.例4 已知 ,4001300132⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000301033A ，试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算02=-A E λ和03=-A E λ知32,A A 的特征值是相同的，它们全部为31=λ（二重），42=λ.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系是：()T 1013，，=ε；故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化.3.4 定理3[7] 在数域P 上，设k λλλλ，，，， 3,21是矩阵A 的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----E A E A E A E A k λλλλ ，那么A 可以对角化.例5 设有一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理3判断δ能否可对角化. 解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，故4-2与是矩阵A 的所有不同特征值.又()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-00000000036322212736324212142E A E A . 通过定理3知A 可以对角化.3.5 定理4[9] A 是复数域上的矩阵，当矩阵A 的最小多项式没有重根时，则A 可以对角化.例6 设一个线性变换δ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理4判断δ是否可对角化.解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ，则A 的最小多项式有以下两种可能：()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-E A E A 推出A 的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A 可对角化.4[10] 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义[10] 设矩阵A ，B n n R ⨯∈，若存在可逆矩阵P ，使AP P T 和BP P T 同时为对角形矩阵，则A 、B 可同时合同对角化.4.2[10] 同时合同对角化的计算方法下面是以A 为n 阶实对阵正定矩阵，B 为n 阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出A 的n 个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n 阶正交阵1P ，那么()n T diagAP P λλλ，，， 2111=，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d ia g P P λλλ111211，，， ， 则P 是可逆的，同时满足AP P T E =；（3）解出BP P T ，再求出它的n 个特征值i μ和它的n 个特征向量i η；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q ，则()()n T T diag Q BP P Q μμμ，，， 21=； （5）记PQ T =，则()n T T diag BT T E AT T μμμ，，，， 21==.例7设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011010200021012B A ，，求可逆矩阵T 将A 、B 可同时合同对角化.解 计算0=-A E λ可知321321===λλλ，，为A 的特征值.对于11=λ，由()01=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T0111，，-=ξ； 对于22=λ，由()02=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 1002，，=ξ；对于33=λ，由()03=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 0113，，=ξ.将其单位化得()TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,2110002121321，，，，，，，，ααα.则正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01021021210211P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32111AP P T . 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02106102161021312111P P ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210321010321021AP P T . 其特征方程为()031131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-μμμμBP P E T . 它们的特征值为31131321==-=μμμ，，.由()01=-X BP P E T μ知()T23011-=，，η是1μ的一个特征向量； 由()02=-X BP P E T μ知()T0102，，=η是2μ的一个特征向量；由()03=-X BP P E T μ知()T23013+=，，η是3μ的一个特征向量； 将其单位化，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-=322322032223010322103221Q ； 于是有：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31131Q BP P Q TT .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--==021032613032613326103261PQ T ，则T 可逆，且()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-====31131BT T E EQ Q Q AP P Q AT T T T T T T ，， 故T 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4] 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.2[4] 如果一个矩阵为对合矩阵()E A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4] 如果一个矩阵为周期矩阵)(E A m =，那么该矩阵可以对角化.命题 4.4[7] 如果一个矩阵为幂等矩阵()A A =2，那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7] 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题4.6[4] 如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠m A A ，，那么该矩阵不可以对角化.解 通过计算01=-A E λ，02=-A E λ和03=-A E λ知321,,A A A 的特征值相同，它们全部为31=λ（二重），42=λ；其中1A 已经是对角形矩阵，所以只需判断2A ，3A 是否可对角化.首先讨论2A ，对于31=λ（二重），由()032=-X A E 知它的基础解系是：()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A 不可对角化，则1A 与2A 不相似.最后讨论3A ，对于31=λ（二重），由()033=-X A E 知它的基础解系是：()()T T 01000121，，和，，==εε . 对于42=λ，由()043=-X A E 知它的基础解系为：()T 1013，，=ε,故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A 可对角化, 则1A 与3A 相似.参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京，2003：299．[2] 邱森．高等代数．武汉：武汉大学出版社，2008：216-219．[3] 张禾端，郝炳新．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2000．[4] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[J]．北京：科学出版社，2008：204．[5] 唐忠明，戴桂生．高等代数[M]．南京：南京大学出版社，2000：146-147．[6] 张正成．可对角化矩阵的应用[J]．科技资讯，2007．252（2）：252-253．[7] 冯莉．矩阵对角化的若干方法[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2011，27（9）：9-11．[8] 徐新萍．有关对角化问题综述[J]．江苏教育学院学报（自然科学），2010，26（6）：44-46．[9] 李至琳．关于矩阵可对角化的问题[J]．黔东南民族师专学报，1998，16（5）：1-3．[10] 周立仁．矩阵同时对角化的条件[J]．理工学院学报，2007，20（1）：8-10．内部资料仅供参考。
矩阵对角化开题报告
五、课题研究的方法、步骤和内容
课题研究的方法：
观察法，经验总结法，比较研究法，文献资料法
课题研究的步骤：
一，在本科教材《高等代数》有关矩阵对角化内容的学习中，加深对矩阵对角化的理解和认识。
二，搜集有关矩阵对角化理论的资料，深入对矩阵对角化的研究。
学院学位分委员会主任签字：
年 月 日
作为一种基本工具，有关对角矩阵的信息大多以公理的形式出现，这也是近代数学公理化的标志之一。但是，对于矩阵可对角的条件，以及矩阵对角化方法的研究还是吸引了国内外一部分学者的目光。矩阵可对角化的条件所创新的方面:
归纳总结概括，矩阵对角化在矩阵计算，利用特征值求行列式，解微分方程方程，向量空间，线性变换，计算n阶行列式，求实递推式的通项等等方面的应用，尤其是在列斯里群体模型中的应用。
4，矩阵对角化在向量空间的应用
5，矩阵对角化在线性变换的应用
6，计算n阶行列式
7，利用矩阵对角化求实递推式的通项
8，矩阵对角化在列斯里群体模型的应用
六、预期成果形式描述
一篇在已有的矩阵对角化理论基础之上的，对其在学科方方面面与涉及其他领域的应用的文章。
七、指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
八、学院学位分委员会意见
山东师范大学
本科毕业论文（设计）开题报告
论文题目：矩阵可对角化的条件及应用
学院名称：数学科学学院
专 业：信息与计算科学
学生姓名：马玉霞
学 号：200900820134
指导教师：周兆杰
2013年1月11日
一、选题的性质应用理论研究
二、选题的目的和意义
浅谈线性变换的对角化问题
目录摘要 (1)Abstract (2)引言 (3)1 线性变换 (4)1.1 线性变换的定义 (4)1.1.1 线性变换的概念 (4)1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 (4)1.2 矩阵的相似对角化问题 (5)1.2.1 相似对角化问题 (5)1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 (5)2 线性变换的对角化 (7)2.1 线性变换的对角化 (7)2.1.1 线性对角化的提出 (7)2.1.2 线性对角化的定义 (7)2.2 线性变换的特征值与特征向量 (7)2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 (7)2.2.2 线性变换的特征多项式 (7)2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 (8)2.3.1 特征值与特征向量的联系 (8)2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 (9)2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 (9)2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 (10)3 线性对角化问题的相关题目 (14)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。
本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。
关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
对角算子的不变子空间和循环向量的开题报告
对角算子的不变子空间和循环向量的开题报告
本文将讨论对角算子的不变子空间和循环向量的概念，并研究它们
在量子计算和量子算法中的应用。
对角算子是一个常用的线性变换，它在量子计算中扮演着重要角色。
一个对角算子是指一个只有对角线上存在非零元素，其余元素均为零的
矩阵。
对角算子在量子计算中的作用是对每个基态赋予一个特定的相位。
在量子算法中，对角算子被广泛用于量子傅里叶变换和量子相位估计等
算法中。
不变子空间是指在进行线性变换后保持不变的向量空间。
对于一个
对角算子，其不变子空间是由所有非零元素所处的基态组成的向量空间。
不变子空间在量子计算中的应用非常广泛，在量子算法的设计中扮演着
重要角色。
例如，量子搜索算法Grover算法中的量子平行性就涉及到不
变子空间的概念。
循环向量是指在进行线性变换后，向量按照一定顺序被映射到另一
个向量的向量。
对于一个对角算子，循环向量是指在同一个基态上按照
一定相位偏移量进行循环的一组向量。
循环向量在量子计算中也有广泛
的应用，例如量子相位估计算法中使用的循环向量就是相应的基态的集合。
综上所述，对角算子的不变子空间和循环向量是量子计算中重要的
概念，它们在量子算法的设计和优化中扮演着重要角色，同时也有着广
泛的应用。
我们将进一步深入研究它们的数学性质和量子计算中的应用，以期达到更好的算法设计和优化。
开题报告-线性变换的几何意义研究.doc
一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义矩阵是数学中的一个重要的基本概念，英国数学家凯莱首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，1855年，他发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论。
1858年，艾米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯讨论了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念。
矩阵经过两个多世纪的发展，矩阵及其理论已广泛的应用到现在科技的各个领域。
线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科。
线性空间到自身的映射称为空间上的变换，如果此变换保线性运算称为线性变换。
线性变换可以通过儿何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换理论化，几何的直观有助于对数学理论、相关内容的理解。
本课题通过研究线性变换所表示的几何形象，探讨具体的线性变换如正交投影变换、反射变换等以及对应矩阵的几何现象，探讨与线性变换相关的如特征值、特征向量等等内容的几何意义。
二、本课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题基本内容：本课题介绍有关于线性变换的基本概念、基本定理；研究具体的线性变换如投影变换、反射变换、切变变换及其性质；说明线性变换的特征值、特征向量, 线性变换的可对角化等几何意义。
主要问题：线性变换的概念介绍及各种变换的性质和几何意义的研究。
难点问题：各种线性变换的有关的概念的图形表示，线性变换可对角化矩阵的几何意义及其求解过程的研究。
三、研究步骤、方法及措施：1、根据任务书的要求查阅参考书及参考文献，完成开题报告；2、深入阅读相关文献,理解线性变换的基本概念、基本定理；3、理解具体的线性变换如投影变换、反射变换及线性变换的特征值、特征向量等几何意义;4、明确毕业论文所写内容及论文书写格式，撰写论文初稿;5、在指导教师指导下修改论文；6、完成论文答辩.工作进度:序号设计（论文）各阶段名称日期1落实任务（课题名称，指定参考书，参考文献等）1-・2周2毕业实习，撰写毕业实习报告和开题报告3--5 周3提交毕业实习报告和开题报告，查阅资料，学习指定的参考书，进行毕业设计6—9周4撰写毕业论文初稿，交指导老师批阅，进行中期答辩10-11 周5毕业论文初稿指导（思路，格式，解决的方法等）12-14周6提交外文翻译资料，毕业论文定稿，打印，上交15周7准备答辩演示的PPT,进行论文答辩16周五、主要参考文献：[1]史荣昌，魏丰著，矩阵分析（第3版）[M].北京：北京理工大学出版社，2010.[2]纪永强.平面上线性变换的特征向量的几何意义[J].湖州师范学院学报，2013, 35: 1-6.[3]杜美华，孙建英.正交变换的几何意义及其应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2014, 30（3）:36-39.[4]纪永强.三维向量空间中线性变换的特征向量的儿何意义[J].湖州师范学院学报, 2014, 36（10）: 1-7.[5]李尚志.线性代数[M].合肥：高等教育出版社,2006.[6]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何[J].北京：高等教育出版社,2005[7]王玉梅.线性变换可对角化问题浅析[J].科技信息，2013, 13:207-208.[8]闫福旭.线性变换下的变换矩阵及应用[J].青海大学学报,2012, 5(30):69-73[9]张新功.线性变换可对角化的充要条件探讨[J].数学通报,2016,1(4):7-9.六、指导教师审核意见:指导教师签字：年—月—日七、专业系(教研室)评议意见：系(教研室)主任签字：年—月—B八、学院领导审核意见：1.通过；2.完善后通过；3.未通过学院领导签字：年—月—日。
论矩阵的对角化问题论文开题报告
[4]张禾瑞．高等代数．北京：高等教育出版社，
[5]吉林大学数学系．数学分析(中册)．
[6]郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化．河南机电高等专科学校学报．
[7]金佑来．矩阵对角化的一个新方法．合肥学院学报．
[8]周立仁．矩阵同时对角化的条件讨论．湖南理工学院学报．
二，几种常用矩阵对角化的讨论
三，可对角化矩阵的应用
重点：几种常见矩阵对角化的讨论
难点：可对角化矩阵的应用
预期目标：通过对易理解的矩阵的对角化问题的具体分析以及相对复杂先行变换的对角化问题的探讨，使我们更轻松的理解并掌握线性变化的对角化问题
三、拟采用的研究方法、步骤
研究方法：文献参考法，研究法，计算法，定性分析法
[9]岳嵘．利用矩阵对角化求数列通项．高等数学研究．
[10]杨胜良．三对角行列式与Chebyshev多项式．大学数学．．
六、指导教师意见
签字：
年
月
日
八、分管院长意见及签字
（办公室盖章）
年
月
日
研究步骤：第一步从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件
第二步几种常用矩阵对角化的讨论
第三步可对角化矩阵的应用
四、研究的总体安排与进度
五、参考文献（不少于10篇）
[1]李世余．代数学的发展和展望．广西大学学报．
[2]北京大学数学系与代数教研室前代数小组编．王萼芳,石生明修订．高等代数（第三版）．北京:高等教育出版社,
数学与统计学院
院
数学与应用数学
专业
学生姓名
XXXX
学号
XXXXX
一、选题的背景、研究现状与意义
线性变换对角线问题开题报告
论文题目
浅谈线性变换的对角化问题
作者姓名
学号
年级
所属学院
专业
班级
指导教师姓名
职称
预计字数
6000
题目性质
应用研究
日期
选题的原由：
1）说明本选题的论、实际意义
本课题主要是通过对容易理解和掌握的矩阵对角化问题的具体分析和比较复杂的线性变换的对角化问题的一些探讨，使得我们能正确运用线性变换的对角化解决相关问题。线性变换的对角化问题在高等代数和解析几何中扮演者举足轻重的角色，在很多领域都有重要的地位和作用。
2009.9.
[8] 王来生.《线性代数学习指导》，中国农业大学出版社，2005.10.
[9] 卢刚.面向21世纪课程教材《线性代数（第三版）》，高等教育出版社，2009.3.
指导教师意见：
签名：
年月日
完成期限和采取的主要措施：
2013年6月——2013年8月：查阅并收集与线性变换的对角化问题的文献和资料；
2013年8月——2013年9月： 通过收集的资料，确定论文题目，并勾勒出大体框架，完成开题报告和任务书；
2013年9月——2013年11月：完成初稿；
2013年11月——2014年1月：对论文进行完善并总结；
2014年1月——2014年3月： 形成最终论文，归纳总结研究成果，整理答辩材料，申请答辩。
主要参考文献及资料名称：
[1] 北京大学几何代数研究代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.
[2] 徐仲，陆全. 高等代数研究教案[M].西安：西北工业大学出版社，2006.
[3] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，1996.
线性变换的对角化
线性变换的对角化
于是，σ可对角化时，σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示的 主对角线上的元素δ1,δ2,…,δn，即为σ的全部特征值，αi为σ 属于特征值δi的特征向量.也就是说，V存在一个由σ的特征 向量组成的基.
反之，如果V存在一个由σ的特征向量组成的基，那么σ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵，从而σ是可对角化的.
谢谢聆听
线性变换的对角化
【例6-15】
设V是数域F上的一个3维线性空间，α1,α2,α3是V的一 组基，σ是V上一个线性变换，满足
判断σ是否为可对角化的；如果是可对角化的，求 相应的基及在此基下的矩阵表示.
线性变换的对角化
解σ在基α1,α2,α3的矩阵表示为 方阵A的特征多项式为 因此，σ的特征值为λ1=－1（二重），λ2=3.
线性变换的对角化
定理6-19
设λ1,λ2,…,λs是线性变换σ的s个互不相同的特征 值，βi1,βi2,…,βiri是σ属于特征值λi的线性无关的特征 向量，i=1,2,…,s.那么向量组 β11,β12,…,β1r1;β21,β22,…,β2r2;…;βs1,βs2,…,βsrs 是线性无关的. 事实上，上面的结论与矩阵中的结论对应，就是在给 定的一组基下，n维线性空间上的线性变换和n阶方阵 之间一一对应的体现.
定义6-6′设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上 的一个线性变换.如果σ在V的某组基下的矩阵表示为一 个对角矩阵，则称σ是可对角化的.
线性变换的对角化
设线性变换σ是可对角化的，由定义6-6′，存在 V的一组基α1,α2,…,αn，使得σ在这组基下的矩阵表 示为
线性变换的对角化
根据矩阵表示的定义，得到
于是，对应于矩阵可对角化的定理，有下面的定理.
线性变换对角化问题浅析
【 ｙｗｏｄ ］ ａｏａｉ ｔ ｎｏ ｎ ａ ａ ｓ ｒ ａｉｎ Ｓｍ ｌ ｉ ａｒ ｉｇｎｌ ａｉ ；Ｅｇｎａｕｓａｄｅ ｅｖｃｏ Ｋｅ ｒｓＤｉ ｎｌ ａｉ ｆｉｅｒ ｒ ｆ ｍ ｔ ；ｉｉ ｒｙｍ ｔｘｄａｏａｉ ｔ ｎ ｉ ｖｌｅ ｎ ｉ ｎ ｅｔ ｇ ห้องสมุดไป่ตู้ ｏ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ａｔ ｉ ｚ ｏ ｅ ｇ ｓ ｒ
Ｄｉ ｇ ｎａ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｎ ａｒ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｏ ｌｚ ｔｏ ｆＬｉ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ Ｗ ＡＮＧ — ｅ Ｙｕ ｍ ｉ
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｈｅ ｅＵｎ ｖ ｒｉ ， ｚ ｈ ｎ ｏ ｇ ２ ４ １ ， ｈ ｎ ） ｏ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ， ｚ ｉｅ ｓｔ Ｈｅ ｅＳ ａ ｄ ｎ ， ７ Ｏ ５ Ｃ ｉａ ｃ ｙ
Ｐ ， … （ ≤５≤ｌ ｉ １ ， ） ｎＰ １ ， ， …ｔ ＝ ２
线 性 变 换 的 对 角 化 问 题 及 方 阵 的相 似 对 角 化 问 题 是 高 等 代 数 课 程 线 性 变 换 一 章 的 重点 。大 多 数 高 等代 数 及 线 性 代 数 教 材 ， 以线 性 都 变 换 对 角 化 为 主 线 ， 杂 着 涉 及 了 矩 阵 相 似 对 角 化 的 问 题 ， 就 使 得 夹 这 我 们 可 能 对 矩 阵相 似 对 角 化 知识 掌握 得 很 不 系 统 、 整 。 虽 然 在 解 决 完
相 对 于 线 性 变换 对 角 化 理 论 ， 得较 具 体 ， 好 理 解 。 掌 握 了 前 者 ， 显 较 对 以有 掌 握 后 者 有极 大 的促 进 作 用 ， 得掌 握 后 者 成 为 较 容 易 的事 。 使
浅谈线性变换的对角化问题及应用
浅谈线性变换的对角化问题及应用作者：邓亮章来源：《昆明民族干部学院学报》2016年第08期【摘要】本文主要研究的是线性变换的对角化问题及其应用，首先通过对线性变换的对角化进行概况分析，其次运用矩阵对角化的知识体系以及其与线性变换对角化两者之间的关系，来探讨线性变换的对角化问题及其具体应用。
【关健词】线性变换；对角化；矩阵；应用在现在的高校数学代数课程中，线性变换对角化与矩阵对角化都是高等代数课程中的重要内容，而线性变换的对角化与矩阵对角化之间又存在着某种联系，学生通过学习矩阵对角化的知识体系可以更全面的掌握线性变换的对角化问题，因此本文主要是通过矩阵对角化问题来探讨线性变换的对角化问题及其应用。
一、线性变换的对角化概况线性变换的对角化是现代高等代数课程中线性变换的一章重要内容，许多高等代数课程中以及关于线性代数的教材中，都是将线性变换对角化作为其教学主线，同时其中还夹带着一些关于矩阵对角化的问题，这样一来使得学生在学习关于矩阵对角化问题时得不到全面有效的知识体系，虽然对于线性变换对角化问题与矩阵对角化问题学生可以统一兼之，但这两者互相交织起来就会变得混淆不清，容易使学生晕头转向，增加了学习的难度，同时矩阵对角化在平时的应用范围比较广泛，其理论体系相对于线性变换对角化的理论体系来说，要更容易理解得多，相应的一旦掌握了矩阵对角化方法，对于学习线性变换的对角化有非常大的帮助作用，学习起来也会事半功倍。
二、线性变换的对角化问题如上文所述，线性变换的对角化与矩阵对角化之间存在联系，率先掌握矩阵对角化问题，在理解学习线性变换对角化问题时可以起事半功倍的效果，因此研究线性变换的对角化问题就先要对矩阵对角化问题进行相应的分析。
1.矩阵对角化的定义在数学领域中，矩阵是一个依据长方形排列而成的复数或实数的集合体，它起源于方程组中系数与常数所构成的方阵，而对角化的矩阵则是线性代数与矩阵论中的一个重要的矩阵类别，假设一个方块矩阵A比较相似于对角矩阵，那也就是说，当有一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵时，这个方块矩阵A就是可以对角化的，同样的以V代表有限维度的向量空间，则线性映射T：V到V之间也是可以对角化的，如果向量空间V存在一个基，则线性映射T就可以表示为对角矩阵，因此可以对角化的矩阵与线性映射在线性代数中具有非常重要的价值，主要是因为可以对角化的矩阵处理起来相对要容易一些，在其特征值与特征向量都是已知的情况下，通过对对角元素的提升就可将同样的幂提升到矩阵所需要的高度。
【论文】矩阵对角化方法及相关应用开题报告
【关键字】论文
毕业论文开题报告
数理系数学与应用数学专业 2012 级 1 班
课题名称：矩阵对角化方法及相关应用
毕业论文起止时间：
年月日～月日(共周)
学生姓名：丁潞泷学号：
指导教师：黄斌
报告日期： 2012年6月25日
说明：
1.本报告必须由承担毕业论文课题任务的学生在接到“毕业论文任务书”、正式开始做毕业论文的第2
周或第3周末之前独立撰写完成，并交指导教师审阅。
2.每个毕业论文课题撰写本报告一份，作为指导教师、教研室主任审查学生能否承担该毕业论文课题任
务的依据，并接受学校的抽查。
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矩阵对角化研究[开题报告]
![矩阵对角化研究[开题报告]](https://img.taocdn.com/s3/m/ceab5d24caaedd3383c4d371.png)
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵对角化研究一、选题的背景、意义（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形：=≡≡古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个词是1850年由西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人）提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表，与我国“方程”一词的意思是一致.（二）意义矩阵的可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和CS 分解的基础，而两个矩阵的同时可对角化又是矩阵束分解(广义特征值分解，广义分解等)的基础.我们讨论和运用的矩阵对角化多为一个矩阵的对角化：如文献[1]及一般的《高等代数》.矩阵可对角化问题与特征值也密切相关，在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用，在高等代数和线性代数中占有重要地位.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文先简单的介绍了对角矩阵，所谓的对角矩阵是指对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如：()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M O M L 特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E .若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵矩阵可对角化的几个定理及引理定理1[2] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； 定理2[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为n ； 定理3[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的初等因子是一次的； 定理4[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式()A m λ无重根 引理1[4] 可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积；引理2[5] 对称矩阵一定可对角化；引理3[6] 设,A B 都是n 阶矩阵，则()()()AB A B n ≥+-秩秩秩定理5[6] 设A 是实数域F 上的—个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为12,,,k r r r L ，那么(1) 可对角化的充要条件是秩()1,2,,i j i j E A r j k λ=⎛⎫-== ⎪⎝⎭∏L (2) 当(1)式成立时．()i i j E A λ≠-∏的列空问就是A 的属于特征根i λ的特征子空间.推论1：设A 为实数域上F 的n 阶矩阵，A 的特征根全为F 内．且12,λλ是A 的全部不同的特征根，其维数分别为12,r r ，若秩12()E A r λ-=，秩21()E A r λ-=.，则A 可以对角化．且1E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ的极大线性无关的特征向量组，2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.定理6 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.作多项式()()()()12k g λλλλλλλ=---L ,!则A 上可以对角化的充要条件是()()10ki i g A A I λ==-=∏定理9[7] 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.如果()()()120k A I A I A I λλλ---=L ,- 则A 属于i λ的特征子空间i V λ就是()1ki j j i A I λ=≠-∏的列向量空间i W . 定理3 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，如果对每个()1,2,,i i k =L 都有(),i i i i W W V W λλ=的意义同定理那么()10kj j A I λ=-=∏.通过以上简单介绍的矩阵对角化几个定理，来更全面、系统的研究矩阵的对角化问题，从而比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新.三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标就矩阵A 的对角化问题我们可通过正交矩阵P 实现。
线性变换对角化问题浅析
也即 Ti 是（λI-A）X=0 非零解，从而 λI-A =0；λi 是关于 λ 的 n 多
次项式 λI-A 在 F 上的根。
1.2 矩阵的特征值、特征向量[2]
定义 2 设 A1 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换， 如果对
于数域 P 中的一数 λ0 ，存在一个非零向量 ξ，使得
A1 ξ＝λ0 ξ
作 者 简 介 ： 王 晓 艳 （1979.11— ）， 女 ， 西 安 体 育 学 院 学 校 体 育 学 教 研 室 ,讲 师 ， 研究方向为体育人文社会学。
1 矩阵的相似对角化问题
1.1 相似对角化问题[1]
n×n
n×n
定义 1 给定 A∈F ，如存在可逆矩阵 T∈F ，使 T-1AT 为对角
阵，就称 A 可 相似对角化，否则就称 A 不可相似对角化。
析：设这样的 T 存在，使 T-1AT=D=diag(λ1 ,λ2 ,…,λn ),
则有 AT=TD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 T 的列向量为 T1 ，T2 …，Tn （线性无关），
λn
n1
00
0
n n
n
n
则
A(T1
，T2
… ，Tn
对角化问题的研究
对角化问题的研究一、引言有关的，而且同一个线性变换在不同的基下的矩阵是不同的，但是他们之间相似。
这些矩阵有简单，有复杂的。
所以我们可以想到用简单的矩阵去解决复杂矩阵的问题。
而对角矩阵是相对比较简单的矩阵。
二、正文I 、线性变换对角化1、定义：设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
定理1： 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
推论1：如果在n 维线性空间V 中，线性变换A 的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即A 有n 个不同的特征值，那么A 在某组基下的矩阵是对角形。
推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换A 的特征多项式没有重根，那么A 在某组基下的矩阵是对角形。
如果一个线性变换没有n 个不同的特征值该如何？如果λ 1 ，···，λk 是线性变换A 的不同的特征值，而1i α,···，i ir α是属于特征值i λ的线性无关的特征向量，i =1，···，k,那么向量组11α，···，11r α，···，1k α，···，k kr α也是线性无关。
⇒如果这些线性无关的特征向量的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵。
A 可对角化−−−→←−−−定义A 在某一组基下是对角矩阵。
⇑A 有n 个不同特征值⇐ A 有n 个线性无关特征向量。
⇓重根0λ的重根数: ⇐ 每个特征值的重数等于属于k=n-(0λE-A) 它的线性无关的特征向量个数。
II.方阵的对角化线性变换A 可对角化⇔矩阵A 可对角化⇔A 相似于某个对角矩阵。
证明：矩阵A 可对角化⇒A 在一组基1α，···，n α下的矩阵A 可对角化。
浅谈线性变换的对角化问题
添加标题
线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换T，存在一个矩阵A，使得T(x)=Ax，其中x为输入向量
添加标题
线性变换的运算性质：对于任意两个线性变换T1和T2，有T1T2=T2T1，即两个线性变换的乘积 是可交换的
矩阵表示
线性变换与矩阵 线性变换的矩阵表示 矩阵的运算与线性变换 矩阵表示的意义与作用
应一个特征值。
对角化方法与技巧： 通过对角化方法， 可以将线性变换表 示为对角矩阵的形 式，从而简化计算 和问题解决。
特征向量与基向量之间的关系
特征向量与基向量的定义
对角化方法与技巧
添加标题
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特征向量与基向量的关系
添加标题
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特征值与特征向量的性质
对角化过程中的计算技巧
特征多项式求解 技巧
添加标 题
特征多项式：线性 变换的特征多项式 是关于特征值的方 程，它描述了特征 值与线性变换之间
的关系。
添加标 题
添加标 题
添加标 题
特征值：特征值是 线性变换的特征多 项式的根，它描述 了线性变换对向量
空间的影响。
特征多项式与特征 值的关系：特征多 项式和特征值之间 存在一一对应关系， 即每个特征值对应 一个特征多项式， 每个特征多项式对
特征值和特征向 量的计算方法
对角化矩阵的构 造技巧
计算过程中需要 注意的问题
对角化在实际问题 中的应用
在线性方程组求解中的应用
对角化在解线性方程组中的应用
对角化在解线性方程组中的局限性
添加标题
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对角化在解线性方程组中的优势
添加标题
添加标题
对角化在解线性方程组中的具体实 现方法
在矩阵分解中的应用
浅谈线性变换的对角化问题
对角化方法的误差分析
数值稳定性：对 角化方法在计算 过程中可能会受 到数值不稳定性 的影响，导致误 差的积累和扩大。
特征值选取：选 取的特征值可能 不准确，影响对 角化方法的精度 和可靠性。
近似方法：在实 际应用中，常常 采用近似方法进 行对角化，这也 会引入误差。
病态问题：对于 一些病态问题， 对角化方法可能 无法得到准确的 结果，因为这些 问题的解是不稳 定的。
对角化方法的优化策略
选取合适的基向量
考虑矩阵的特殊性质
使用数值稳定的方法
结合其他数学工具进行优 化
感谢您的观看
汇报人：
应用：在解决线性方程组、矩阵相似性判断等领域有广泛应用
特征多项式的方法
定义：特征多项式是线性变换在某组基下的矩阵的特征多项式。
计算方法：通过求解特征多项式的根，可以得到线性变换的特征值和对应的特征向量。
对角化条件：如果特征多项式的根都是互异的，则线性变换可以对角化。
对角化过程：将线性变换在某组基下的矩阵表示为对角矩阵，需要找到一组基使得线性变换 在该组基下的矩阵是对角矩阵。
信号去噪：利用 线性变换对角化 增强有用信号， 抑制噪声干扰
信号检测：通过 线性变换对角化 提高信号的检测 精度和可靠性
05 线性变换对角化的方法
相似对角化的方法
定义：将一个 线性变换通过 相似变换化为 对角矩阵的过
程
条件：矩阵的 特征值必须互 异，且每个特 征值对应的特 征向量必须线
性无关
步骤：求矩阵 的特征值和特 征向量，构造 相似变换矩阵， 通过相似变换 化为对角矩阵
线性变换的对角化问 题
,a click to unlimited possibilities
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在国内，关于线性变换的对角化问题，是高等代数课程中线性变换这一章节的重点。大多数高等代数及线性代数教材，都以线性变换对角化为主线，矩阵的相似对角化理论相对于线性变换对角化理论，显得更具体，更容易理解。近年来，由于计算机的快速发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，这就使得研究线性变换的对角化问题意义非凡。
[4] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，2002.
[5] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京：高等教育出版社，2002.
[6] 安希忠，陈超英,魏福义等.国家教育部04-6-7项目成果《线性代数》，北京中国农业出
版社，2000.12.
[7] 李仁所,张洪谦.农林院校大学数学系列教材《大学数学——线性代数》，高等教育出版社，
主要内容：
（1）线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系。
（2）研究特征值与特征向量的性质,再研究对角化的必要条件与充分条件。
（3）线性变换的对角化问题的应用。
研究方法：
1、明确题目，对知识点梳理总结。
2、在网上收集相关资料，阅读大量的书籍，提取自己所需的核心内容，对其进行系统的整理归纳。
3、论文撰写中讲究语言的精准，格式的规范，科学的排版。
2014年1月——2014年3月： 形成最终论文，归纳总结研究成果，整理答辩材料，申请答辩。
主要参考文献及资料名称：
[1] 北京大学几何代数研究代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.
[2] 徐仲，陆全. 高等代数研究教案[M].西安：西北工业大学出版社，2006.
[3] 丘维声，高等代数：上、下册[M].北京：高等教育出版社，1996.
完成期限和采取的主要措施：
2013年6月——2013年8月：查阅并收集与线性变换的对角化问题的文献和资料；
2013年8月——2013年9月： 通过收集的资料，确定论文题目，并勾勒出大体框架，完成开题报告和任务书；
2013年9月——2013年11月：完成初稿；
2013年11月——2014年1月：对论文进行完善并总结；
xxxxx学院谈线性变换的对角化问题
作者姓名
学号
年级
所属学院
专业
班级
指导教师姓名
职称
预计字数
6000
题目性质
应用研究
日期
选题的原由：
1）说明本选题的理论、实际意义
本课题主要是通过对容易理解和掌握的矩阵对角化问题的具体分析和比较复杂的线性变换的对角化问题的一些探讨，使得我们能正确运用线性变换的对角化解决相关问题。线性变换的对角化问题在高等代数和解析几何中扮演者举足轻重的角色，在很多领域都有重要的地位和作用。
2009.9.
[8] 王来生.《线性代数学习指导》，中国农业大学出版社，2005.10.
[9] 卢刚.面向21世纪课程教材《线性代数（第三版）》，高等教育出版社，2009.3.
指导教师意见：
签名：
年月日