(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题
王文彬
（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要
概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极
点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律
1. 从几何角度看极点与极线
定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .
由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,
B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .
定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线
在 P 点处的切线；
（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则
点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；
（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q
的轨迹 .
自然也会成为高考
只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为
①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线
的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .
推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭
2 1 1
点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .
可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQ
PA PB .
特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2
证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）
的调
即可得 PR RQ RQ RQ
2
OR 2 OP
PR ，即点
P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线
OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OP
P 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出
P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条
P
图2
AB ，或称点 R
图 3
对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .
证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时
P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B
为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .
定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线
的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.
2. 从代数角度看极点与极线
定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)
E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .
x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0
x
替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得
22
到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .
特别地：
22
(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；
a
b a b x 2 y 2 x x y y
(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .
x 2 y 2
(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab
22 线是双曲线
x 2 y 2
1，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 ab
y 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线
2
3. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题
2 x
【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，
y 1 0，y 2 0 ．
(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；
3
(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．
分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，
2
y 1 的左右顶点为 A,B ，
5
P
A
O K
B
N
又点 T 对应的极线方程为 95
1，即
my
x 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .
2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a
2 2
y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuu
uuu uuur uu AP QB AQ PB
，证明点 Q 总在某定直线
上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y2
1. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即
4 1 ，化简得 2x y 0上.
x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2
，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x
12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为
12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得
2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6t
x 2
5t 4t 2 ，消去 t 得 2x 2
4 4t
x 2
5t 2 4t 2
x
3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)
2
(y 1)2
5 3
1( x,y 不同时为 0) ，故点 Q
10 和 15 ，且长轴平行于 2
【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切
线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FB
x 轴的椭圆， 但需去掉坐标原
点 F y B
P 图8
(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .
分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x
2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 1
1) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程
为 y kx f( ) 的表达式，
AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点
于 P(x 0,
点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为
F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心
G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP
2(1 k 2) 4(1 k 2
) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2
x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3
y 1(4x 2
3 x 2). x 2
kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)
k 2 k 4 ， APB
k 2
k
2 2
3
k 2 k 2
2 3
，消去 k 即得
22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FA
uu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FP
uuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 1
4 uuur 2 FP (x 12
) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即
同理
1
参考文献
1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.9
2】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB
所以有
uuur
uuur
FP FB
uu uuur
FP FB
x1x2
uuur 4
FP
PFA PFB.。