《大学物理》第四章 相对论基础

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讨论
Ek
mc2
m0c2
m0c
2
1 1 v2
c2
1
1
v2 c2
1
2
1
1 2
v2 c2
3 8
v4 c4
Ek
1 2
m0v2
3 8
m
0
v4 c4
c2
v c 时
Ek
1 2
m0v2
得到牛顿力学的动能公式。
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2. 质量与总能量
相对论动能： Ek mc2 m0c2 E E0
y y
z z
z z
t
讨论
t
vx c2
1
v
2
c
t
t
vx c2
1
v
2
c
1. 空间坐标与时间坐标相互关联。
2. 要求 v<c， 指出了极限速度——真空中的光速c。
3. v<<c时，即 v/c0 时，变为伽利略变换。
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例4-1 甲乙两人所乘飞行器沿Ox轴做相对运动。甲测
得两个事件的时空坐标为x1=6104 m ，t1=110-4 s ； x2=12104 m， t2=210-4 s，如果乙相对甲运动速度
相对论总能量： （质能关系）
E
Ek
m 0c 2
m c2
相对论静能： E 0 m 0c 2
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例4-3 计算核聚变中释放出的能量：
质子 + 中子 氘核
氘核质量： m D 3 .3 4 3 6 5 1 0 27 k g 质子质量： m p 1.67265 10 27 kg 中子质量： m n 1 .6 7 4 9 6 1 0 27 k g
1. 相对性原理（relativity principle）： 一切物理规律在任何惯性系中形式相同。
2. 光速不变原理（principle of constancy of light velocity）： 在所有惯性系中， 真空中的光速相 同为c，与光源和观测者的运动无关。
π0介子，衰变实验
超新星遗迹观察实验
经历的时间间隔 t ，在另一个坐标系中时间间隔并
不相等。---时间膨胀
（3）在某一坐标系中，同时测量一物体两端的坐标，
测得长度为x，在另一个坐标系中测量所得的长度
并不相等。---长度缩短
x x vt 1 v 2 c
t
t
vx c2
1
v
2
c
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四、相对性与绝对性
相对性：在相对论时空中， 运动的描述、时空的量度都是相 对的。
代入动能式： Fdx dEk v2dm mvdv
d E k v 2d m c 2 1 v 2 c 2 d m
v 2dm c2dm v 2dm c2dm
当 v 0时 ， m m0 ， Ek 0
Ek 0
dEk
m c2dm
m0
c2 m m0
相对论动能： E k m c 2 m 0c 2
解：结合成1个氘核：
m m p m n m D 3 .9 6 1 0 30 k g
ΔE Δmc2 3.96 1030 (3108 )2
3.564 1013 (J) 2 .2 3（ M e V ）
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结合成1 mol氘核： 2 g氘核（1 mol）： 6.0221023个氘核
间隔，称为固有时（proper time）， 常用 0 表示。
而在K´系测量, 该过程开始于 t1´, 终止于 t2´
由洛伦兹变换： t1
t1
vx c2
1 v c2
t2
t2
vx c2
1 v c2
所经历的时间间隔为
t t2 t1
t 1 (v / c)2
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运动时：
0 1 2
0
在K´系的观测者看来，运动的钟变慢了，称为 动钟变慢，又称时间延缓或时间膨胀。
v<<c 时，m m 0 与牛顿力学一致
4. 宏观物体，v 一般不太大，质量变化也很小，
如：火箭 v =11 km/s时，m= 1.000 000 000 9m0 5.对微观粒子，由加速器加速后，
v c, m 103~4 m0.
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m m0 1 v2 c2
6. 对光子，v c ，
其静质量为 m0 0 ,
惯性系[K] : P(x, y, z; t)惯性系[K´]: P(x´, y´, z´; t´)
正变换
x x vt
1
v
2
c
y y
z z
[K ] [K ]
t
t
vx c2
1
v
2
c
（设t = t´时，O与O´重合）
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正变换
逆变换
x x vt
1
v
2
c
x x vt
1
v
2
c
y y
在K系同时异地发生的两事件，在K´系中并不同时。 在K´系同时异地发生的两事件，在K系中也不同时。
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二、时间延缓（time dilation）
假定一物理过程在K系中一固定地点x 处发生, K
系中测量该过程开始于t1，终止于t2，经历的时间间
隔：
t t2 t1 0
是与事件发生的地点相对静止的参考系中测得的时间
1
v c2
ux
0.9c （ 0.9c） 1.80c 1 0.9 0.9 1.81
0.994c
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Homework Page 134 4-5 4-8（108）
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§4-4 狭义相对论动力学基础 一、相对论力学的基本方程
动量的定义： p mv
质量、动量、 牛顿运动定律、 动能、总能量
x1 x2
K´系测量棒的长度： 同时记录棒的两端坐标 x1´，
x2´ 。 则棒长为
l x2 x1
由洛伦兹变换：
x1
x1 vt
1 v / c2
x2
x2 vt
1 v c2
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x2 x1
x2 x1
1 v / c2
即 l l
1 2
l l 1 2 长度收缩公式
长度测量与被测物体相对于观察者的运动有关， 物体在运动方向长度缩短了， 而在垂直于运动方向 上，长度不会收缩。
t2 t1
t2 t1
v c2
x2 x1
1 （v）2 c
c
1104
2 c2
6 104
0
1 （v）2
c
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（2）由洛伦兹变换
x x vt 1 ( v )2 c
可知乙所测得的两个事件的空间间隔为
x2
x1
x2
x1
1(
vt2
v )2
t1
5.20 104
m
c
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u'
x x vt
F ma 特殊的光子
经典力学中m被认为是常量，与参考系无关
F 持续作用
v 持续增加
但 v 的上限是 c 要求 m 随速率增大而增大
m m(v) 理论和实验证实： m(v)
m0
1
v2 c2
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相对论性质量： m
m0
1 v2 c2
1. 质速关系反映了物质与运动的不可分割性。 2. 由于空间的各向同性，m(v)与速度方向无关！ 3. v=0 时， m=m0 为物体的静止质量
说明
• 动钟变慢是相对论的时空效应，与钟的具体结构 和其他外界因素无关。
•现代物理实验为相对论的时间延缓提供了有力的证 据。
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实验事实 宇宙射线中的高能 子 (v =0.998c) 8 km高空产生。
实验室测出静止子的寿命约为 0 =2.2×10-6 s， l0< v0= 660 m
如果考虑时间膨胀效应，高速飞行子在地球惯性 系中的寿命将增大为
绝对性：事件的因果关系有 绝对意义。
tB tA
tB tA
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§4-2 相对论速度变换
速度的定义：
ux
dx , dt
uy
dy dt
,
uz
dz dt
u x
dx , dt
u y
dy dt
,
u
z
dz dt
由洛伦兹变换：
x x vt
t
t
vx c2
1
v
2
1 v 2
c
c
ux
dx dt
dx vdt
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设两事件同时发生在K系中的不同地点
x1和x2 , P1 (x1,, t) P2 (x2 , t)。 y
根据洛伦兹变换，在K´系，
y v
两事件发生的时间分别为
t1
t
v x1 c2
1 v c2
t2
t
v x2 c2
1 v c2
O
O
t2
t1
v c2
( x1
x2
)
1 v c2
0
x x
Fdx dEk
Fdx dp dx vdp dt
vd(mv ) v 2dm mvdv
m
m0 1 v2 c2
dm
c2
m0vdv 1 v2 c2
32
c2
1
v2 c2
dm
m0vdv m vd v 1 v2 c2
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c 2 1
v2 c2
dm
m0vdv m vd v
1 v2 c2
第四章 相对论基础
§4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 §4-2 相对论速度变换
§4-3 狭义相对论的时空观
§4-4 狭义相对论动力学基础
*§4-5 广义相对论简介
π0介子0.999 75c，衰变实验
x x vt x x vt
u u v u u v
t t
t t
伽利略变换
§4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 一、狭义相对论基本原理
说明
• 在宏观领域，长度缩短可以忽略！ 如：第二宇宙速度 v =11.2103 m/s ， v/c 10-4
• 测量效应与视觉效应不同。
• 长度收缩与动钟延缓效应是相关的、一致的。
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（1）在某一坐标系中同时异地发生的两事件，在另一 个坐标系中并不同时。---同时的相对性 （2）在某一坐标系中，在固定点x发生的物理过程，
释放能量： Δ E 2 .1 4 6 1 011 J
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三、动量与能量的关系
E mc2 m0c2 , 1 v2 c2
p mv
m0
v
1 v2 c2
E c
2
p2
m02c 2 1 v2 c2
p2
m02c 2 1 v2 c2
m02v 2 1 v2 c2
v
x x vt
1 v 2 c
u u v
t
t
vx c2
t t
1 v 2 c
伽利略变换
洛伦兹变换
x x vt
u u v t t
x x vt
1
v
2
c
t
t
c2
1
v
2
c
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§4-3 狭义相对论的时空观 狭义相对论利用洛伦兹变换对旧的绝对时空观进
行了根本性的变革， 认为时间、 空间都与物质的运 动有关，它们具有相对的意义——时空的相对性。 一、 “同时”的相对性（relativity of simultaneity）
τ τ0 / 1 (v / c)2 3.48 105 s 衰变前走过的距离： l = v =1.04×104 m > 8000 m.
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三、长度收缩（length contraction）
一根棒相对K系静止， K系中测得其长度为
l x2 x1
称为固有长度(proper length)。
为 v c ，问：（1）乙所测得的两个事件的时间间隔
是多少2？（2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？
x1 x2
x x vt 1 v 2 c
t
t
vx c2
1 v 2
c
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解：（1）设乙对甲的运动速度为v ，由洛伦兹变换
t
t
v c
x
2
1 （v）2
c
可知乙所测得的这两个事件的时间间隔为
和-0.9c的速度沿相反的方向飞行。求飞船A相对于
飞船B的速度有多大。
y
解：设K´ 系被固定在飞
y
ux
ux v
1
v c2
ux
船B上，地面为系K ，K´
对K以v=-0.9c的速度运动。
x
飞船A 相对于K系的速度
为 u x =0.9c 。
x
飞船A对K´系的速度，亦即相对于飞船B的速度：
u x
ux v
m
光子的动质量？
显然，相对论的动量为
p mv
m0
v
1 v2 c2
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相对论力学基本方程：
F
dp
d(mv )
d
(
m0v
)
dt dt
F
m
dv
v
dm
dt
1
v2 c2
与牛顿力学方程形式不同。
dt dt
当 v c时 ，v c 0，m m 0
F
m
dv dt
v
dm dt
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说明 • 光速不变与伽利略变换相矛盾，与实验结果 相符，指出了伽利略变换的局限性，必须用新 的变换来代替——洛伦兹变换。 • 狭义相对性原理是伽利略相对性原理的推广。 • 两个基本假设最终否定了牛顿的绝对时空观， 而必须代之以新的时空观——相对时空观。
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二、洛伦兹变换（Lorentz transformation）
dt
v c2
dx
ux
1
v c2
v ux
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ux
ux
1
v c2
v ux
ux
ux
1
v c2
v ux
• v<<c，即 v/c0 时，上式变为伽利略速度变换式。
• 令 ux= c , 可得 ux = c , 反之,令ux = c , 可也得 ux= c .
符合光速不变原理。
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例4-2 在地面上测到有两个飞船A、B分别以 +0.9c
F
m0
dv dt
牛顿力学方程
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二、质量与能量的关系
1. 质量与动能
Ek
1 2
mv2
1 2
m0
v2
1 v2 c2
？
相对论动能： E k m c 2 m 0c 2
d A F d x d p d x m dv d x mvdv
dt
dt
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设质点在变力作用下，由静止开始沿x轴做一维 运动，由动能定理：