高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳

§1.2．常用逻辑用语

一、知识导学

1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.

2．命题：能够判断真假的陈述句．

3．简单命题：不含逻辑联结词的命题

4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p

5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若

p 则q ；逆否命题：若q 则p.

6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p 则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q”为假，

即“若p 则q”为真 .

8．充分条件与必要条件 ：

①p

q ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件； ②p q ：p 是q 的充要条件 . 9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.

10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.

二、疑难知识导析

1．基本题型及其方法

（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；

（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；

（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别

是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.

（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；

方法：利用定义

（5）证明p 的充要条件是q ；

方法：分别证明充分性和必要性

（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 关键词 是 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 任意 存在 否定 不是 不都是（全是） ≤（≥） 一个也没有 至少有两个 存在 任意

2．全称命题与特称命题的关系：

全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.

三、经典例题导讲

题与逆否命题.

错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.

逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.

错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.

正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.

错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.

错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.

正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.

否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.

原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.

[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么

A ．甲是乙的充分但不必要条件

B ．甲是乙的必要但不充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲是乙的既不充分也不必要条件

错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|

2．全称命题与特称命题的关系：

全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.

三、经典例题导讲

题与逆否命题.

错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.

逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.

错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.

正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.

错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.

错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.

正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.

否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.

原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.

[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么

A ．甲是乙的充分但不必要条件

B ．甲是乙的必要但不充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲是乙的既不充分也不必要条件

错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|

故本题应选C.

错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；

（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.

正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-h

b h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<-