自动控制原理 4第四章根轨迹2

j1 n
0
(s pi )
i1
K*:0 ~ + K*:0 ~ –
与相角条件有关的需要修改规则：
规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有偶数个零极点 的线段是根轨迹。
jω
×
×
×σ
规则5：根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线
与实轴夹角
a
2k
nm
规则8：出射角和入射角
k 0,1,2,L
m
n
pk
m
n
G(s)H(s) (s zi ) (s pj ) 2k
i 1
j1
— 相角条件
实际上当：开环传函G(s)H(s)的分子分母均为首一时， 若特征方程为以下形式，则绘制零度根轨迹。
m
K * (s zj )
1– 1、
j1 n
0
(s pi )
i1
m
K * (s zj )
1+ 2、
一、性能定性分析：
1.闭环零极点分布与单位阶跃响应的定性分析
设闭环传递函数：
m
C(s)
R(s)
G(s) 1 G(s)H(s)
K
j1
n
s
s zj
si
i 1
A0
lim
S 0
S C(S )
Ak
lim
S Sk
S Sk
C(S )
Z
：闭环零点
i
Si：闭环极点两两互异，
R(s) 1 S
n
C (t ) A0 Ake skt k 1
j)
K v
k 0
K
2
(1) 180º根轨迹 (2) 0º根轨迹
① 实轴轨迹：[-∞, -1]
[-1, ∞]
② 出射角：90 [ 90] 180 90 [ 90] 0
180
0
③ 分离点： 1 1 1
d 1 j d i j d 1
整理得： d 2 2d 0
解根：
d1 2
n
…
j1
m
不变！
5 实轴上某段右侧零、极点个数之和为 偶 数，是根轨迹
6 根轨迹的分离点 不变！
7 与虚轴的交点
不变！
8 起始角与终止角 变了
例2 系统结构图如图，K*= 0→∞变化,试 分别绘制 0°、180°根轨迹。
解：G(s)
K (s 1) s2 2s 2
(s
K (s 1) 1 j)(s 1
i 1
j 1
jk
m
n
zk
i 1
j 1
ik
零度根轨迹与180o根轨迹绘制法则的比较
1 根轨迹的条数 就是特征根的个数
2 根轨迹对称于 实轴
不变！
3 根轨迹起始于 开环极点 ,终止于 开环零点
n
m
pi zj
4
∣n-m∣条渐近线对称于实轴,起点
渐近线方向:
a
2k
nm
变了
k
a i1
= 0,1,2,
例1 单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s) K *(Ts 1) ,
s(s 1)( s 2)
（1） T=0时，绘制K*从0~ ∞变化的根轨迹，（2）选定K*值，
绘制当T变化时的根轨迹。
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解:（1）当T=0时，常规根轨迹
K* G(s)
s(s 1)( s 2)
K K* 2 v1
① 实轴上：[-∞, -2], [-1, 0]
[解]打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：
num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列 den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列 rlocus(num,den);
执行之，可得到根轨迹。
4.4 用根轨迹分析系统的性能
应用根轨迹法，可以迅速确定出系统在某一可变参数值下的 闭环零、极点位置，得到相应的闭环传递函数。根据闭环零极点 分布，确定（估计）系统的性能。
4.3 广义根轨迹
前面讨论的是以系统的开环根轨迹增益 K 为参数的常规根 轨迹，实际上，也可以绘制除 K 以外的任何参变量的根轨
迹，正反馈根轨迹（即零度根轨迹）。
一、参数根轨迹： 除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
D(s) 1＋G( s )H ( s )＝1 K B( s )＝0 A( s )
d 1 j d 1 j Kd1
d 2
2
d2 0
d 1 j d 1 j
Kd2
d 1
d 0
2
本节小结
1 .参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
2. 零度根轨迹
— 注意与绘制180º根轨迹不同的3条法则
1
[例: ]系统的开环传递函数为： Matlab画出系统的根轨迹。
Gk
(s)
s(s
1)( s
2)，试利用
（2）当T≠ 0 时，参数根轨迹
D(s) s(s 1)( s 2) K *(Ts 1) 0
G*(s)
s3
K *Ts 3s2 2s
K*
G*(s)
s3
20Ts 3s2 2s
20
K * 20
G*(s)
20Ts
(s 3.84)[s (0.42 j2.24)]
虚轴交点：D(s) s3 3s2 (2 20T )s K * 0
结论：
n
C (t ) A0
Ak e sk t
k 1
（1）Sk都具有负实部（在S左半平面），系统稳定。
（2）Sk远离虚轴，esk t 衰减快，调整时间短。
② 渐近线： a 1
a 60, 180
③ 分离点： 1 1 1 0 d d 1 d 2
④ 虚轴交点：
解根： d1 0.423
K
* d
d
d
1
d
2
0.385
Re[D( j ) 3 2 K * 0
D(s) s3 3s2 2s K * 0
Im[D(
j )
3
2
0
2
K*
6
Re[D( j)] 3 2 20 0
Im[D(
j )]
3
(2
20T
)
0
2.582
T 0.233
K * 20 K* 6 K* 3
二、零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
m
G( s) H ( s)
K*(s (s p1 )(s
z1 ) (s zm ) p2 ) (s pn )
K * (s zi )
i 1 n
(s pj)
(s)
G(s)
j 1
1 G(s)H(s)
G(s)H(s) K *(s z1) (s zm ) 1 (s p1)(s p2 ) (s pn )
m
( s zi )
G( s )H( s ) K*
i 1 n
1
( s pj )
j1
— 模值条件
（1）闭环特征方程式不变，构造新的等效开环传函；
D(s) 1＋G( s )H ( s )＝1 agP( s ) ＝0 Q( s )
a为除 K 以外任意的变化参数，p(s)和Q(s) 与参数a无关。
（2）再用常规根轨迹法则绘制以a为变化参数的根轨迹。
（3）仅闭环极点等效，零点不等效。分析性能时，零点仍用 原闭环系统的零点，极点可用参数根轨迹上的极点。