量子力学_11波函数的统计诠释
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章
波函数与Schrödinger方程
1.1.1 实物粒子的波动性
在Planck-Einstein的光量子论（光具有波粒二
象性）的启发下，面对Bohr的原子的量子论取得的 成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒 子（静质量 m 0 的粒子，例如电子），也具有波 粒二象性（wave-particle duality）的假设.
把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把 微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统 一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.
现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子流
很微弱，电子几乎是一个一个地经过双缝，然后在 感光底片上被记录下来.起初，当感光时间较短时， 底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有什么 规律.当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈 多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没 与点子.最后，底片上的感光点子的密度分布将构成 一个有规律的花样，与X光衍射中出现的花样完全相 似，就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强 波）是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不 同.这种现象应怎样理解呢？
人们可以设想，如在图 1.3b 所示实验中，用 C60
分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应 该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的
C60分子的计数 单位时间
人们应如何理解在干涉实验中 C60分子所展现出的这种波粒二象
性呢？
1.1.2 波粒二象性的分析
人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一 场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrödinger, de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性 的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空 间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与 衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群 速度即电子的运动速度.
实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射 电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器.但 只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明 电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时 才呈现的现象.单个电子就具有波动性.事实上,正是 由于单个点在具有波动性,才能理解氢原子（只含一 个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这 样一些量子现象.
为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现 的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子 弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验 的结果。
1.3(a)
图 1.3a中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与 靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当
只开缝 1 时，靶子上子弹的密度分布为 1 x .
即
与动量为 p 和能量为 E 的粒子相应的波的波长
和频率 为
h p,
E h
1
并称之为物质波.
粒子的双缝干涉是最直观地展现 波粒二象性的实验,也是量子力学中 最难理解的现象.
We can not explain how it works; We will just tell you how it works.
图 1.3b 给出声波的双缝干涉图像. S表示一个具有
稳定频率 的声源,声波经过一个具有双缝的隔音板, 在它后面有一个“吸音板”,到达板上的声波将被吸 收,并把声波强度分布表示出来.
当只开缝1 时，显示出声波强度分布用 I1 x 描述.当
只开缝2 时,强度分布用 I2 x 描述.当双缝齐开时，
在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体 上去
然而究竟应该怎样理解波 粒二象性呢？
1.1.3 概率波，多粒子体系的波函数
仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒 子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒 型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体 出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的 概念有必然的联系.而电子§呈现的波动性，也只不过 是波动最本质的东西——波的相干叠加性，但并不 一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起.
强度分布用 I12 x 描述.
实验表明
I12 I1 I2
当只开一条缝时声音很强的地方（例如 A 点和 B
点）,在双缝齐开时,声音可能变得很弱. 原因是由于出现了声波的干涉现象.
下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典 和量子的区别!
设分别打开缝1和缝 2时的声波用h1 x ei2πt 和h2 x ei2πt 描述，双缝齐开时的声音则用 h1 x h2 x ei2πt
稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。 例如，在非相对论情况下，自由粒子能量E = p2 2m 利用de Broglie关系，可得
= k2 2m
k= 2 3
所以波包的群速度（见附录A1）为
vg d dk k m p m v
4
即经典例子的速度.但由于 vg 依赖于k
dvg dk
d2
dk 2
因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成 的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一 面,而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性.
Baidu Nhomakorabea
然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子,也不是波”.更确切地说,它既不是 经典例子,也不是经典的波.我们也可以说,电子既是粒 子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但 这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念 中的粒子.
m
0
5
自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包 很窄,在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中 去;或者形象地说,随时间的推移,粒子将越来越 “胖”.这与实验是矛盾的.
物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际 上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的。
与物质波相反的另一种看法是:波动性是由于大 量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气 振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形 成的一种分布.这种看法也与实验矛盾.
描述 波的相干叠加性 ，因此声波强度分布 为
I12 x h1 x h2 x 2 h1 x 2 h2 x 2 h1 x h2 x h2 x h1 x I1 x I2 x 干涉项 I1 x I2 x 2
由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒 子的密度分布大不相同.
当只开缝 2 时,靶上子弹的密度分布为 2 x ；
当双缝齐开时，经过缝 1 的子弹与经过缝 2 的子 弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子 弹密度的分布简单地等于两个密度和
12 x 1 x 2 x
结论
子弹经过缝 12 的运动轨道, 与缝 21 存在与否，
并无关系.
1.3(b)
波函数与Schrödinger方程
1.1.1 实物粒子的波动性
在Planck-Einstein的光量子论（光具有波粒二
象性）的启发下，面对Bohr的原子的量子论取得的 成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒 子（静质量 m 0 的粒子，例如电子），也具有波 粒二象性（wave-particle duality）的假设.
把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把 微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统 一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.
现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子流
很微弱，电子几乎是一个一个地经过双缝，然后在 感光底片上被记录下来.起初，当感光时间较短时， 底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有什么 规律.当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈 多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没 与点子.最后，底片上的感光点子的密度分布将构成 一个有规律的花样，与X光衍射中出现的花样完全相 似，就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强 波）是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不 同.这种现象应怎样理解呢？
人们可以设想，如在图 1.3b 所示实验中，用 C60
分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应 该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的
C60分子的计数 单位时间
人们应如何理解在干涉实验中 C60分子所展现出的这种波粒二象
性呢？
1.1.2 波粒二象性的分析
人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一 场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrödinger, de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性 的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空 间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与 衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群 速度即电子的运动速度.
实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射 电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器.但 只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明 电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时 才呈现的现象.单个电子就具有波动性.事实上,正是 由于单个点在具有波动性,才能理解氢原子（只含一 个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这 样一些量子现象.
为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现 的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子 弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验 的结果。
1.3(a)
图 1.3a中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与 靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当
只开缝 1 时，靶子上子弹的密度分布为 1 x .
即
与动量为 p 和能量为 E 的粒子相应的波的波长
和频率 为
h p,
E h
1
并称之为物质波.
粒子的双缝干涉是最直观地展现 波粒二象性的实验,也是量子力学中 最难理解的现象.
We can not explain how it works; We will just tell you how it works.
图 1.3b 给出声波的双缝干涉图像. S表示一个具有
稳定频率 的声源,声波经过一个具有双缝的隔音板, 在它后面有一个“吸音板”,到达板上的声波将被吸 收,并把声波强度分布表示出来.
当只开缝1 时，显示出声波强度分布用 I1 x 描述.当
只开缝2 时,强度分布用 I2 x 描述.当双缝齐开时，
在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体 上去
然而究竟应该怎样理解波 粒二象性呢？
1.1.3 概率波，多粒子体系的波函数
仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒 子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒 型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体 出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的 概念有必然的联系.而电子§呈现的波动性，也只不过 是波动最本质的东西——波的相干叠加性，但并不 一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起.
强度分布用 I12 x 描述.
实验表明
I12 I1 I2
当只开一条缝时声音很强的地方（例如 A 点和 B
点）,在双缝齐开时,声音可能变得很弱. 原因是由于出现了声波的干涉现象.
下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典 和量子的区别!
设分别打开缝1和缝 2时的声波用h1 x ei2πt 和h2 x ei2πt 描述，双缝齐开时的声音则用 h1 x h2 x ei2πt
稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。 例如，在非相对论情况下，自由粒子能量E = p2 2m 利用de Broglie关系，可得
= k2 2m
k= 2 3
所以波包的群速度（见附录A1）为
vg d dk k m p m v
4
即经典例子的速度.但由于 vg 依赖于k
dvg dk
d2
dk 2
因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成 的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一 面,而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性.
Baidu Nhomakorabea
然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子,也不是波”.更确切地说,它既不是 经典例子,也不是经典的波.我们也可以说,电子既是粒 子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但 这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念 中的粒子.
m
0
5
自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包 很窄,在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中 去;或者形象地说,随时间的推移,粒子将越来越 “胖”.这与实验是矛盾的.
物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际 上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的。
与物质波相反的另一种看法是:波动性是由于大 量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气 振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形 成的一种分布.这种看法也与实验矛盾.
描述 波的相干叠加性 ，因此声波强度分布 为
I12 x h1 x h2 x 2 h1 x 2 h2 x 2 h1 x h2 x h2 x h1 x I1 x I2 x 干涉项 I1 x I2 x 2
由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒 子的密度分布大不相同.
当只开缝 2 时,靶上子弹的密度分布为 2 x ；
当双缝齐开时，经过缝 1 的子弹与经过缝 2 的子 弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子 弹密度的分布简单地等于两个密度和
12 x 1 x 2 x
结论
子弹经过缝 12 的运动轨道, 与缝 21 存在与否，
并无关系.
1.3(b)