2012高三数学综合训练题

2012高三数学综合训练题（6）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1. 已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A （ ）
A 、()1,-+∞
B ．()+∞,0
C ．()1,+∞
D ．()2,+∞
2.已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ） A 、（1）（2）（3） B 、（1）（4） C 、（1）（2）（4） D 、（2）（4）
3. 已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 （ ）
A. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
C. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
D. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
4. 已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数y=(||1)f x +的图象大致是（ ）
5、已知直线0=++C By Ax （其中0,2
2
2
≠=+C C B A ）与圆42
2
=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ）
.A - 2 .B - 1 .C 1 .D 2
6. 关于函数函数=)(x f 1)sin 3(cos cos 2-+x x x ，以下结论正确的是（ ）
A ．)(x f 的最小正周期是π，在区间
），（12
512π
π-是增函数
B ．)(x f 的最小正周期是π2，最大值是2
C ．)(x f 的最小正周期是π，最大值是3
D ．)(x f 的最小正周期是π，在区间
），（6
12π
π-是增函数
7. 3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 8. 设 x 、y 均为正实数，且
33122x y
+=++，则xy 的最小值为（ ） A ．4
B ．34
C ．9
D ．16
9、函数12
12
log ,0,()log (),0,x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（-1，0）∪（0，1）
B ．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C ．（-1，0）∪（1，+∞）
D ．（-∞，-1）∪（0，1）
10. 函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数()ln ()g x x f x '=+的
零点所在的区间是
（ ）
A ．11
(,)42
B ．1
(,1)2
C ．（1，2）
D ．(2,3)
11. 函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意x R ∈ ，都有
)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是
A. 奇函数但非偶函数
B. 偶函数但非奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
12．已知函数f （x ）＝x 9x 3m ⋅-+m+1对x ∈（0，∞+）的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是
（ ）
A ．2－22＜m ＜2+22
B ．m ＜2
C ． m ＜2+22
D ．m ≥2+22
第Ⅱ卷 非选择题 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13.设,x y 满足约束条件3
123x y x y x y +⎧⎪
--⎨⎪-⎩
≥≥≤，若目标函数
(0,0)x y
z a b a b
=
+>>的最大值为10，则54a b +的最小值为 .
14. ．已知某个几何体的三视图如图（正视图
中的弧线是半圆），根据图中标出的 尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积为
15. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0,0f x =>当时，有2
()()
0xf x f x x
'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集为 。

16. 关于函数()sin 2cos2f x x x =-有下列命题： ①函数()y f x =的周期为π； ②直线π
4
x =
是()y f x =的一条对称轴；
③点π(,0)8是()y f x =的图象的一个对称中心；④将()y f x =的图象向左平移π
8
个单位，可得到
2y x 的图象．其中真命题的序号是 ．
（把你认为真命题的序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知向量(
)(1,cos ,sin m x n x ωω== ()0ω>，函数()f x m n =⋅
，且()f x 图象上一个最高点的坐标为,212π
⎛⎫
⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，,,a b c 是角A 、B 、C 所对的边，且满足
222a c b ac +-=，求角
B 的大小以及()f A 的取值范围.
18．（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且1
2
PA AB AD CD ===
，//AB CD ， 90ADC ∠=︒.
(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面
PAD ？证明你的结论；
(2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD ； (3) (理科做，文科不做)求平面PAD 与平面PBC 所
A P
B
C
D
Q
成锐二面角的余弦值. 19．（本小题满分12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成
本为()C x ，当年产量不足80千件时，21
()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，
10000
()511450C x x x
=+
-万元．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（I ）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．（本小题满分12分）在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，||OM ON ==
. 过
点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，N N M M OT 11+=. 记点T 的轨迹为曲线C ，点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q （点Q 在A 与P 之间）. (Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l ，使得|BP|=|BQ|，并说明理由.
21．已知}{n a 为等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1） 求}{n a 和}{n b 的通项公式； （2） 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .
22.（本小题满分14分）已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；
（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex
-＞成立.
2012高三数学综合训练题（6）
【答案及详细解析】
1．B ．2．C ． 3．A.
4．B. log (1),0
(||1)log (||1)log [(1)],0.
a a a x x f x x x x +≥⎧+=+=⎨--<⎩由函数()log a f x x =是增函数知, 1a >.
故选B.
5．A ．解析： 圆心O 到直线0=++C By Ax
的距离1d =
=，所以23
AOB π
∠=
,，所以·=（·cos OA OB 222cos 23
AOB π
∠==- ，故选A ． 6．D ．解析：)62sin(2)(π+=x x f ，最小正周期是π，在），（6
12π
π-是增函数．．
7．C.
8．D ．解析：由
33
122x y
+=++可化为xy =8+x+y, x ，y 均为正实数，∴ xy =8+x+y xy 28+≥（当且仅当x=y 等号成立）即xy-2xy -80≥，可解得xy 4≥,即xy ≥16故xy 的最小值为16． 9．C 10．B.
11．B 【解析】()()211(1)()f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，
即()f x 是周期函数，2T =，又()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，是偶函数. 12．C ．
（二）填空题
13．8; 14．π， 15．（－∞,－2）∪（0,2）； 16. 16．①③④
17．解：（
1）()sin f x m n x x ωω=⋅=
12(sin )2x x ωω=+
2sin()3x π
ω=+. ()f x 图象上一个最高点的坐标为,212π
⎛⎫
⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为
7,212π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
.7212122T πππ∴=-=，T π∴=，于是22T πω==. 所以()2sin(2)3f x x π=+.（2） 2
2
2
a c
b a
c +-=，2221
cos 22
a c
b B a
c +-∴=
= 又0B π<<，3
B π
∴=
.()2sin(2)3
f A A π
∴=+
203
3B A π
π=
∴<<
.于是52333
A πππ
<+<，[]sin(2)1,13
A π
∴+∈-. 所以[]()2,2f A ∈-
18．(1) 解：当Q 为侧棱PC 中点时，有//BQ 平面PAD .
证明如下：如图，取PD 的中点E ，连AE 、EQ .
Q 为PC 中点，则EQ 为PCD ∆的中位线，
∴//EQ CD 且12EQ CD =. //AB CD 且1
2
AB CD =，∴//EQ AB 且EQ AB =，
∴四边形ABQE 为平行四边形，则//BQ AE . ∵BQ ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴//BQ 平面PAD .
(2) 证：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥.∵AD CD ⊥，PA AD A = ，∴CD ⊥平面PAD .∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥.∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥.
∵CD PD D = ，∴AE ⊥平面PCD . ∵//BQ AE ，∴BQ ⊥平面PCD . ∵BQ ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD . …………9分
(3) 解法一：设平面PAD 平面PBC l =. ∵//BQ 平面PAD ，BQ ⊂平面PBC ，∴//BQ l .∵BQ ⊥平面PCD ，∴l ⊥平面PCD ，∴,l PD l PC ⊥⊥.
故DPC ∠就是平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角. ∵CD ⊥平面PAD ，∴
CD PD ⊥. 设1
2
PA AB AD CD a ====
，则PD ==，
PC ==
，故cos 3
PD DPC PC ∠=
=. ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二
面角的余弦值为3
.
解法二：如图建立直角坐标系，设1,2PA AB AD CD ====，则
(0,0,0)A ,(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1)B C P -，则(0,1,1)PB =- ，(1,1,0)BC =-
.
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =
，则 由0
n PB n BC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩
00y z x y z x y -=⎧⇒==⎨-+=⎩，取(1,1,1)n = . 由CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，知AB ⊥平面PAD ，
∴平面PAD 的法向量为(0,1,0)AB =
. 设所求锐二面角的大小为θ
，则
cos 3AB n AB n θ==
=⋅ .
. 。

12分 19．.
80
),10000(1200800,250403
1)(2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-<<-+-=x x x x x x x L 当
80
0<<x 时，
9
50)60(3
1
2504031)(22+--=-+-=x x x x L ，故
千件）时(60=x ， 万元取最大值950)(x L 。

………… 9分
.1000)10080万元取最大值（时，当时，由基本不等式知，x L x x =≥
综合得：.1000)(100万元取最大值（千件）时，当x L x = … 12分
20．解：(Ⅰ)设点T 的坐标为),(y x ，点M 的坐标为),(y x ''，则M 1的坐标为（0，y '），
,)ON x y ''== ，于是点N 的坐标为)55
2,552(y x ''，N 1的坐标
为)0,552(x '
，所以11(,0),(0,).5
M M x N N y ''== …………2分
由⎪⎩
⎪
⎨⎧'=
'='+'=+=.552,
),552,0()0,(),(,11y y x x y x y x N M 所以有
由此得.2
5
,y y x x =
'=' 由,14
5
,5)2
5(
,5,5||222222=+
=+='+'=
y x y x y x OM 得
所以有
即所求的方程表示的曲线C 是椭圆. ……………………6分 (Ⅱ)点A （5，0）在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C
无交点，所以直线l 斜率存在，并设为k . 直线l 的方程为).5(-=x k y ………8分
由方程组.02012550)45()5(,14
522222
2=-+-+⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
k x k x k x k y y x 得
依题意.5
555,0)8016(202
<<-
>-=∆k k 得 …………10分
当5
5
55<<-
k 时，设交点),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点为),(00y x R ， 则.4
5252,455022
2102
221+=+=+=+k k x x x k k x x .4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y
又,1||||-=⋅⇔⊥⇔=BR k k l BR BQ BP …………12分
,420201204204
5251452022222
22-=⇔-=-=+-+⋅=⋅k k k k k k k k k k k BR
而420202
2
-=k k 不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|. …………14分
21．【解析】（1） 设}{n a 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -= 设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得322
3
231=⨯==
a d , 所以()113 1.n
b b n d n =-=-（2）n T ()1124548431n n -=⨯+⨯+⨯+- ①
()244245431n n T n =
⨯+⨯++- ②②-①得：
()()()2132344...44312324.n n n n T n n -=--++++-=+-⋅所以224.33n n T n ⎛
⎫=-⋅+ ⎪⎝
⎭
22.解：（1）由已知知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，……………1分
当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1
(,),()0,()x f x f x e
'∈+∞>单调递增.…2分
①102t t e <<<+，即1
0t e <<时，min 11()()f x f e e
==-； …………………4分
②1
2t t e
<+≤，即1t e ≥时，[](),2f x t t +在上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
所以min
11,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩
≥ （2）2
2ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x
≤++
， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
()x x h x x +-'=，① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递
减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，所以m i n
()(1)4h x h ==，对一切
(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；
（3）问题等价于证明2
ln ((0,))x x x x x e e
>-∈+∞，由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，
则1()x x
m x e
-'=，易知m a x 1
()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex
>- 成
立 ……………………14分。