高三数学试题精编解斜三角形

高三数学试题精编解斜三角形

第五章 平面向量 四 解斜三角形

【考点阐述】

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】

（一）选择题（共8题）

1.（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3cos 3

αα-+

（C ）3sin 3cos 1

αα-

+； （D ）2sin cos 1αα-+

【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.

2.（湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =

A －22

3 B

22

3 C －

6

D

6

【答案】C【解析】由正弦定理得

1510

sin60sin B

=，解

得

3

sin

3

B=，又因为>b a，所以

A>B，故B<60

∠，所以

cos B=

2

16

1sin B=1-=

3

-,故选C。

3.（湖南卷理6文7）在△ABC中，角A，B，C 所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，2

c a

=,则

A、a>b

B、a

C、a=b

D、a 与b的大小关系不能确定

【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。4. （江西卷理7）,E F是等腰直角ABC

∆斜边AB上的三等分点，则tan ECF

∠=

A ．1627

B ．23

C ．3

D ．34

【答案】D

【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=

10

,再由余弦定理得4cos 5

ECF ∠=

，解得3tan 4

ECF ∠=

解法

2

：

坐

标

化

。

约

定

AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C （0,3）利用向量的夹角公式得

4cos 5

ECF ∠=

，解得

3tan 4

ECF ∠=

。

5.（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于 (A)

222

|||()|a b a b - (B)

222

|||()|a b a b +

(C)

2221

|||()2

|a b a b - (D)

2221

|||()2

|a b a b +

6.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111

,,13115

，则此人能

【答】（ ）

（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形

（C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形

解析：设三边分别为a,b,c ，利用面积相等可知

5:11:13::,5

1

111131=∴==c b a c b a

由余弦定理得0

11

5213115cos 2

22<⨯⨯-+=A ，所以角A 为钝角，

选D

7.（上海卷文18）若△ABC 的三个内角满足

sin :sin :sin 5:11:13

A B C =，则△ABC

（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.

（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由

sin :sin :sin 5:11:13

A B C =及正弦定理得

a:b:c=5:11:13 由余弦定理得

11

5213115cos 2

22<⨯⨯-+=c ，所以角C

为钝角，选C

8．（天津卷理7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2

23a

b bc

-=，sin 2

3sin C B

=，则A=

（A ）0

30 （B ）0

60 （C ）0

120 （D ）0

150

【答案】A

【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得：

23c b

=，所以由于余弦定理得：

222cos 2b c a A bc

+-==222(3)cos 2b c b bc A bc +-==232c bc

bc =

2(23323223b b b

b b =⨯3

A=30°，选A 。

【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。 （二）填空题（共7题）

1.（北京卷理10文10）在△ABC 中，若b = 1，323

C π

∠=

，则a = 。

【答案】1。 解析：

3

sin 1

2sin 123

C B b c =⋅=

，因此

,6

6

B A B

π

π

=

=

=，故1a b ==

2.（广东卷理11）已知a,b,c 分别是△ABC 的三