第三章 经典米氏酶动力学理论

在1913年，Michaelis和Menten提出了一种酶反应可能的化学机制(示意图见
图3.2)：
E + A k1 EA →k2 E + B
k−1
(3.1)
其中E是酶，A是其底物。该模型的关键在于假设有一个酶和底物结合形成的 复合物(中间状态)存在，即当A处于酶中一个具有非常低的介电常数的“口袋”中 时(请记住酶是大分子，比底物大得多)，其转化成产物B的速率将显著地快于它 被水包围的情况，因为此时介电常数很大。实际上，该中间状态一直到上世纪 末才在实验中被间接的证实(Lu&Xie, 1998)。
早先，生物化学家称之为“生物化学活性”，指的是加速某反应或者改变某 溶液颜色的能力。他们尽其所能的从酵母中分离出不同的物质，并研究其生物 化学活性。最终，他们终于可以提纯并结晶出一种具有生物活性的物质。这就 是生物化学和分子生物学的起源。
酶的催化原理基本上可以由著名的transition state theory来解释，即酶可以大 大降低原反应需要跨越的能量势垒，见图3.1。那么酶是如何降低该反应势垒的 呢？与此相关的化学理论有Lock and Key, induced fit, conformational selection等。
图 3.2 酶催化反应图示。 以上模型假设反应EA → EB非常快，以至于中间状态EB可忽略，所以直 接考虑B的释放。给定E的浓度，然后提高A的浓度，最终A的浓度将比E的浓 度大得多：[A] ≫ [E](方括号是化学中表示浓度的标准符号)。但是，由于复合 物EA的浓度被E的总浓度(Etot)所限制，反应式(3.1) 的第二个反应的速率最终 将达到其最大值：k2 · Etot。这就是非线性关系的来源。 3.3.1 MM动力学方程
= u − (u + K)v
u(0) = 1
(3.5)
(3.6a) (3.6b) (3.6c)
– 23 –
3.3. Michaelis-Menten (MM)理论
v(0) = 0
(3.6d)
其中
λ = k2/(k1a0), K = (k−1 + k2)/(k1a0), ϵ = e0/a0.
我们注意到在
当然，当酶的总浓度和底物总浓度差不多时，这种米氏动力学就会有问题 了(图3.4)。
3.3.4 MM动力学，饱和度和双分子反应
以上的讨论说明，在大的时间尺度上，MM方程的外部解是一个很精确的 近似。这正是确认了经典MM方程的合理性，即
d[B] d[A] =− =
k2e0[A] .
dt
dt Km + [A]
仅是u − (u + K)v
=
0，而不是真正的
dv dτ
=
0，因为v会一直随着u的变化而变化。
– 24 –
整理上式的左边我们有
第三章 经典米氏酶动力学理论
{q02 − bq0} + ϵ{2q0x1 − bq1 + 1} + ϵ2{q12 + 2q0q2 − bq2} + O(ϵ3) = 0. (3.10) 式(3.10)给出了一个由无穷多个线性代数方程组成的系统，系数q满足：
V (0) = 0
(3.17a)
(3.17b) (3.17c) (3.17d)
这里仍然有一个ϵ，但是问题在于已经没有奇异性了。这已经可以用规则的摄动 方法解决了，其低阶近似可以令ϵ = 0来得到。
因此
1 − e−(1+K)σ
U (σ) = U (0) = 1, V (σ) =
,
1+K
(3.18)
后 者 是 从 dV
实际上，
1 J+
和
1 [S]
却具有线性关系(因此非S
k→[E]
P 型反应)，这被称作是酶动力学
– 21 –
3.3. Michaelis-Menten (MM)理论
的双倒数(倒易)关系。这里还需要特别注意的是，实验上所测得的反应速率其 实就是在实验刚开始的一小段时间内的平均速率。
3.3 Michaelis-Menten (MM)理论
些变量(快变量)的变化远远快于其它变量(慢变量)的基础之上的，这也被称为
“时间尺度分离”。
为严格解释这件事情，首先我们引入无量纲的变量和参数：
然后方程变为
u(τ ) = a(t)/a0, v(τ ) = c(t)/e0, τ = k1e0t,
du = −u + (u + K − λ)v,
dτ
dv
ϵ dτ
3.3.2 奇异摄动的例子
为了解决这个问题，我们首先考虑一个简单的代数方程x2 − bx + ϵ = 0并
计算其解。如果我们令ϵ = 0，我们就有x1,2 ≈ b, 0。实际上，我们可以利用摄动
方法(x作为ϵ的函数做Taylor展开，类似微分方程的幂级数解法)来得到更好的结
果，其中设
∑ ∞ x = qkϵk
b ± b(1 − 2ϵ/b2 − 2ϵ2/b4)
(
ϵ
ϵ2 )
( ϵ
ϵ2 )
≈ 2
2
= b − b − b3 , b + b3 . (3.12)
摄动方法是工业计算在计算机之前应用的主要方法。
但是，怎么来确定ϵx2 + bx + c = 0的近似解呢? 如果我们令ϵ = 0，则 有x = −c/b。因此我们将丢失该方程的一个解。其实我们有1
当[A] ≪ Km时，该函数随着[A]线性增长；另一个是当[A] ≫ Km时，该函
数是常数，与底物浓度无关。在前一区域，我们可以看到双分子反应机制
d[B] dt
=
d[A] − dt
≈
k2 Km
e0
[A]
when [A] ≪ Km,
(3.20)
– 27 –
3.3. Michaelis-Menten (MM)理论
引入符号：
[A] = a, [E] = e, [EA] = c, [B] = b, e + c = e0, a + b + c = a0. (3.2)
然后根据上一章的化学动力学理论(质量作用定律)，我们得到微分方程：
da dt = −k1ea + k−1c,
– 22 –
第三章 经典米氏酶动力学理论
第三章 经典米氏酶动力学理论
第三章 经典米氏酶动力学理论
3.1 酶：作为催化剂的蛋白质
生物体内的很多化学反应，如果只是简单的把反应物放在实验器皿内，那 么其反应速率是非常非常慢的。但是，在19世纪后半叶，人们发现如果把磨碎 的酵母也放到该实验器皿内，那么其反应速率将突然加快：加速将达到1010倍 甚至更多!
=
τ ϵ
代
替τ
(பைடு நூலகம்什么是
更短的时
间尺
度？请思考)，
τ σ = , u(t) = U (σ), v(t) = V (σ).
ϵ
(3.16)
我们可以重新把微分方程(3.6)写成(作业1，推导之)
dU dσ = ϵ (−U + (U + K − λ)V ) , dV
= U − (U + K)V dσ U (0) = 1
1这里用到了√1
−
x
≈
1
−
1 2
x
−
1 8
x2
(泰勒展开前三项)，当x很小的时候。
– 25 –
3.3. Michaelis-Menten (MM)理论
式(3.8)可以改写成(1
+
K u
)du
=
λdt，因此在初值u(0)
=
1下可解得
u + K ln u = 1 − λt.
(3.14)
因此u当t
→
∞时递降到0。当t
图 3.3 酶与底物的结合。
dc dt = k1ea − k−1c − k2c
(3.3)
其初始状态为
a(0) = a0, b(0) = c(0) = 0, e(0) = e0.
(3.4)
著
名
的
拟
稳
态(quasi-steady-state)假
设
，
就
是
令
dc dt
的
右
边
等
于0，
然
后
计
算
出A → B的近似反应速率。那么为什么可以这么做呢？拟稳态假设是建立在某
√ −b ± b2 − 4ϵc
( c
c2 )
( b
c
c2 )
x1,2 =
2ϵ
≈−
+ϵ b b3
,−
ϵ
−
b
−
ϵ b3
.
(3.13)
丢失的解关于ϵ奇异，并趋于∞。方程解的这样一个突然变化，即丢失一个解， 被称作奇异摄动问题。
3.3.3 奇异摄动理论：外部和内部解以及它们的匹配
上面这个例子提示我们可以令ϵ = 0，但是要小心是不是丢失了什么。
dσ
+ (U
+ K)V
=
U
解
得
的
。
所
以
对
于
快
变
量v(t)的
尺
度
是
1+K ϵ
。
– 26 –
第三章 经典米氏酶动力学理论
当σ
→
∞,
V (σ)
→
1 1+K
和U
(σ)
→
1。这就把v(0)和u(0)在快慢两个尺度上匹配
起来了(图3.4B)。
在时间尺度τ 的解被称作该奇异摄动问题的外部解；而时间尺度σ的解被称 作内部解。它们在σ = ∞和τ = 0的匹配为MM模型给出了一个完整的定量结 果。