向量空间的定义例子和子空间

即：设 ?W i是?向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可
以无限）.令
? Wi
i
表示这些子空间的交，则
? W i 仍是V的子空间. i
②和：若是 W 1 , W 2 是向量空间的子空间
则W1 ? W2 ? ?? 1 ? ? 2 | ? 1 ? W1,? 2 ? W2 ?
仍是V的子空间叫做 与 W1的和W2
②要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向量空间，只须对所 给的两种运算首先判断其是否封闭 .其次，再判断它们是否满足8条 运算即可.
③不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元和左零元也是右 逆元和右零元.
④向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其它公理推出（证 明见高代选讲）.
⑤（习题8）向量空间定义中条件中的 8）不能由其余条件推出， 即条件
V V 1在? 中定义了一个加法。对于 中任意两个向量 有 中一个唯一确? , ?
V 定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的和,并且记作
.
?
?
? ??
F a 2?有一个标量与向量的乘法.对于 中每一个数和 中每一个向
? 量 ,有 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与
V Va ? 的积,并且记作
性质2: 每个向量的负向量是唯一的，且把向量
?
的唯一的负向量记作
??
? ? 证明：设
和 ? 都是 ? 的负向量，那么
? ?? ? ? 0 ? ??? ? ? 0 于是
? ?? ? ?? 0 ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? ? ?? ? ??? 0 ? ? ??? ? ??
定义向量的差： ? ? ? ? ? ? (?? )
例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量空间的加法与数乘
运（算实）际为.令数的是普实通数乘域法，）V，是再全规体定正数实乘数K为作成的集合，在
V中定义加法为： ，则V作成K上
的一个线性空间.
? ? ? ? ? ??
k ?? ? ? k (k ? K ,? ? V )
证明：首先要说明这两种运算的封闭性.
? ? x ? W，x1 ? W1 st . x 2 ? x ? x1
又? W1 ? W 2,? x1 ? W2,? x ? x2 ? x1 ? W2
? x ? W ? W2 ? W ? W1 ? x ? W1
? x2 ? W1
习题6：（ⅰ）用反证法，若
? k ? F 都有
? ? k? ? W2 ,? ? ? W2
性质4（命题6.1.2）： 0? ? 0，k0 ? 0, k?? ? ?? ?? k ?? ? ? k?
特别的 ?? 1?? ? ? ? , k? ? 0 ? k ? 0或 ? ? 0
证明（略）
三、一些记法
F 1．设 ? 1, ? 2 , ? 是,? 上n 向量空间V的n个向量，我们把它们排成一行，
第六章 向量空间 §6.1定义和例子
教学目的与要求：①理解向量空间的定义
②掌握向量空间的性质
讲授方式：讲授
重点：向量空间的定义与性质 难点：向量空间的定义 关键：向量空间定义中的两种运算
一．定义和例子
1.定义 令 F 是一个数域 . F 中的元素用小写拉丁 字母 a,b,c,? 来表示 .令 V是一个非空集合 . V 中元 素用小写黑体希腊字母 ? , ? ,? ,? 来表示.我们把 V中 的元素叫做向量而把 F 中的元素叫做标量 .如果下列 条件被满足,就称 V是 F上一个向量空间：
写成了一个以向量为元素
的矩阵
1? n
?? 1 , ? 2 , ? ? n ?
? ? 2．设 A ? a是ij 数域F上一个
n? m 矩阵，我们定义
?? 1 ,? 2 ,? ? n ?A ? ?? 1 , ? 2 ,? ? m ?
（实质可看成矩阵的乘法）
n
? 这里 ? j ? ? i a ij ? ? 1a1 j ? ? 2a 2 j ? ? ? a nj ? n ,1 ? j ? n i?1
性质3：普通移项规则成立，即
? ?? ???
? 证明：“ ”设 ? ? ? ? ?
则?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ????
? ?0???? ? ????
?“ ”设 ? ? ? ? ?
则? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? 0 ? ?
.
a?
3?向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律：
1) ? ? ? ? ? ? ?
2) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? ? )
3个)在向量V中存,都在有V一个零向量,记做0,它?具有以下性0 质?：?对于?
中每一
?
? ? ? ? V ? 4) 对 于 中 每 一 个 向 量 , 在 中 存 在 一 个 向 量
? k? ? W2 ,? ?? ? k? ?? ?? k? ?? W2即? ? W2
与 ? ? W 2 矛盾
（ⅱ）用反证法，若至少有两个
k? F
st ? ? k? ? W1 ? ? k1? ? W1, ? ? k2? ? W1
? ?k1 ? k2 ?? ? W1,? ? ? W1与? ? W1矛盾
显然与都是的子空间，但
W1 ? W2 却不是 R的2子空间。
2.W1,W2 是向量空间V的子空间，则
W1 ? W2 是V的子空间
? W1 ? W2或W1 ? W2 [课堂练习]
5.例题讲解
P225 习题4
证明：（分两种情况讨论）
（ⅰ）若
是V的真子空间，且
W1 ,W2
W1 ? W2或W2 ? W1 结论显然成立.
1?? ? ? 不是显然的，也不是多余的
例如，令 W ? ??a, b?| a, b ? F ?
在V中定义加法如下，
?a1 ,b1 ?? ?a2 ? b2 ?? ?a1 ? a2 ,b1 ? b2 ?
在与中定义数乘如下：
k ?a, b ?? ?ka ,0 ?
3 可以验证如上定义的加法与数乘运算满足 的其余7条但8?）并不满足，
推广到任意有限个的情形：设
W1 ,W 2 ,? W n 是 V
?? ? 的子空间，则 W1 ? W2 ? ? ? Wn ? ? i | ? i ? Wi
仍是V的子空间，称为子空间
W 1 , W 2 ,? W n的和
1 注： 子空间的并，不一定是子空间.
例如在 R 2中令 W1 ? ??a,0?| a ? R ? W2 ? ??0,b?| b ? R ?
? ?? ? 0 V ? ? 得
.这样的 叫做的 的负向量.
,使
5) a(? ? ? ) ? a? ? b ?
6)( a ? b )? ? a? ? b ? 7)(ab)? ? a(b? )
8) 1? ? ? 这里 ? , ? ,是? V 中任意向量,而
是 F 中a任,b意数.
注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定的条件
1 因为V中任意两个元素的乘积仍在V中
2 ? k ? K,? ? V , k ?? ? ? k ? V 3 下验证上述定义的两种运算满足8条
1)? ? ? ? ? ? ?
2)(? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? )
3)V中的零向量为1（而不是通常理解的0），因为
? ? 1 ? ? ?1 ? ?
?即 ?1 ?? ?8 ??
2.举例：
例2 数Hale Waihona Puke Baidu 上F一切
矩m阵所? 成n 的集合对于矩阵的加法和矩阵的乘法
来说作成F上一个向量空间.
特别,F上一切 矩1阵? 所n 成的集合和一切 矩阵所成的n集? 合1 分别作成F
上向量空间.前者成为F上n元行空间，后者称为 F上n元列空间.我们用同
一个符号 来表示这两个向量空间 .
事实上，取
b? 0
?a,b?? ?a,0?? ?a,b?
二．向量空间的性质
性质1：零向量是唯一的
证明：设0和 都0是' 向量空间V的零向量，那么根据零向量的定义，对于
中任意向量 都有
V
?
0?? ? ?
? ?0??? ,于是0 ? 0 ? 0?? 0
（注:通过这种方法要向学生灌输这种证明唯一性的方法）
F 的向量作成 的一n个子空间
? ? 例4： F x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项
式一起作成 的一个子空间.
F ?x?
例5：（补充）数域F上齐次线性方程组
? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ?
? ?
a
21
x1
?
a 22 x 2
?
?
? ?
?
? a1n x n ? 0 ? a2n xn ? 0
不妨假设 ? ? W1,则? ? ? ? ? ? W1 ，这与 ? ? W2但? ? W1
V 矛盾，所以 ? ? ? 不能属于
V 即证
不能表成 W1 ? W2
P225 习题5
证明：① W 1? W2（显然）
② W2 ? W1 ，对? x2 ? W2，让x2 ? W1 ? x2 ? W2 ? W ? W2又 ? W ? W2 ? W ? W1
4)k ?? ? ? ?? ?? ? ? ?k ? ??? ?k
? ? ? ? k ? k ? ? k ? ? k ? k? ? k?
同理可验证⑥⑦⑧也成立，故V作成K上的一个向量空间.
注：①由例6知向量空间的加法与数乘是一种抽象的运算，并不是我 们通常意义下的加法与数乘，比如例 6中的加法实质为数的普通乘法， 而数乘实质为普通数的乘方运算.
?? a m 1 x 1 ? a m 2 x 2 ? ? ? a mn x n ? 0
的全体解向量作成F上的一个线性空间，称为这个齐次线性方程组的解
空间，它是 的一个子空间.
Fn
下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别法则.
定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是的一个子空间，必
Fn
例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间.
事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与一个复数的乘积还
是一个复数.条件
显然都被满足.
3 ，1）? 8）
例4 任意数域C总可以看成它自身上的向量空间.
? ? 例5 数域F上一元多项式环 对于多F项x式的加法和数与多项式的
乘法来说作成上一个向量空间.
? 教学重点与难点： ①子空间的定义 ②子空间的一些等价刻划 ③子空间的和与交
1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集， 若W对于V的加法与数乘作成一个向量空间，则W称是V的一个子空间 （注：给出了W是V的一个子空间的判别方法）
2.定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于F的加法 以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间.
要且只要对于
a,b ? F和任意? , ? ? W
都有 a ? ? b ? ? W
证 如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对
于
都有 a, b ? F ,? , ? ? W
a? ? W , b? ? W .又因为W对于F的加法是封闭的，所以
a? ? b? ? W
反过来，如果对于任意
3.?? 1 ,? 2,? ? n ??AB ?? ??? 1 ,? 2,? ? n ?A ?B
课堂讨论与练习：证明： 不利用向量空间的定义中加法的交换律，证明左 逆元和左零元也是右逆元和右零元.
作业：P221 2，3，4，5 思考：P221 6，7
授课方式：课堂讲授 ? 教学目的：
①理解子空间的定义 ②会判断一个非空集合是否是子空间 ③理解子空间的和与交
a,b ? F,? , ? ? W
都有a? ? b? ? W 取 a ? b ? 1就有
? ? ? ? W 取 b ? 0 就有a? ? W
这就证明了W对于V的加法以及标量的乘法的封闭性.
4．子空间的交与和 ①交：子空间的交仍是子空间（利用定理6.2.2） 推广到有限、无限子空间的交，结论仍然成立.
（ⅱ）若 W1 ,互W不2 包含，用反证法，
? ? V ? W1 ? W2 V ? 0 由于 W1 ,W互2不包含，
故必有 ? ? W1但? ? W2，? ? W2但? ? W1
.下考虑 ? ? ? ，显然有 ? ? ? ? 但? ? ? ? W1 ? W2
.若不然，若 ? ? ? ? ? ? W1 ? W2 ，则有 ? ? W1或? ? W2
注：由1，2知①V的子空间W也是F上的一个向量空间，并且一定含有V中的 零向量.
②由定理6.2.1知，要判断 数乘封闭即可.
? 是? W否是?V的V 子空间只须验证加法与
3.例子
例1：零空间，平凡子空间，真子空间
F 例3： 中n 一切形如
?a1 , a2 ,? ? an?1 ,0 , ai ? F
作业：P225 1，2，3