2020年焦半径公式的证明

作者：旧在几

作品编号：2254487796631145587263GF24000022

时间：2020.12.13

焦半径公式的证明

【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）.

这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.

第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”.

遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌.

为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”.

一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)

是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.

【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程

“消y”即可.

【解答】由两点间距离公式，可知

|PF1|= (1)

从椭圆方程解出

(2)

代（2）于（1）并化简，得

|PF1|=(-a≤x≤a)

同理有|PF2|=(-a≤x≤a)

【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r1=a+ex r2=a-ex (e=)

从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.

二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.

【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.

【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.

【解答】依题意，有方程组

②-③得

代①于④并整理得r1-r2=⑤

联立①，⑤得

【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.

三、焦半径公式与准线的关系

用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.

如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：

x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆

的第二定义，则有

即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.

对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

【例3】P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1.

求证：.

【解答】由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.

对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+.

故有.

【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程

现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.

其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

【例4】设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.

【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.

【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知

r1=a+ex①

同理还有

r2=a-ex②

①+②得r1+r2=2a

即 |PF1|+|PF2|=2a.

即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.

【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.

因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

作者：旧在几

作品编号：2254487796631145587263GF24000022

时间：2020.12.13