柯西--黎曼方程的应用

柯西--黎曼方程的应用

在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。

定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程 y v x u ∂∂=∂∂， x

v y u ∂∂-=∂∂。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西--黎曼方程

y v x u ∂∂=∂∂， x

v y u ∂∂-=∂∂。 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。

定义一 如果实二元函数),(y x ϕ在区域D 内满足02

222=∂∂+∂∂y x ϕϕ，则称),(y x ϕ为在区域D 内的调和函数。

定理三 任何在区域D 内解析的函数，其实部和虚部均为D 内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂，x

v y u ∂∂-=∂∂。 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。

例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：

（1）z w =； （2）)sin (cos )(y i y e z f x +=； （3）)Re(z z w =。

解 （1） x u =，y v -=，1=∂∂x u ，0=∂∂y u ，0=∂∂x v ，1-=∂∂y

v y

v x u ∂∂≠∂∂，柯西--黎曼方程不满足，故z w =在复平面内处处不可导且处处不解析。 （2）y e u x cos =，y e v x

sin =，

=∂∂x u y e x cos ，=∂∂y u y e x sin -，=∂∂x v y e x sin ，=∂∂y

v y e x cos ， y v x u ∂∂=∂∂， x

v y u ∂∂-=∂∂。 柯西--黎曼方程成立，故)sin (cos )(y i y e z f x +=在复平面内处处解析。

（3）xyi x z z w +==2)Re(

2x u =，xy v =，x x u 2=∂∂，0=∂∂y u ，y x v =∂∂，x y

v =∂∂ y

v x u ∂∂≠∂∂，柯西--黎曼方程不满足，故z w =在复平面内处处不解析。 仅当0==y x 时，y v x u ∂∂=∂∂，x

v y u ∂∂-=∂∂，柯西--黎曼方程成立，故函数xyi x z z w +==2)Re(仅在0=z 时可导，但在复平面内处处不解析。

例2 设函数)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=，问常数d c b a ,,,取何值时，

)(z f 在复平面内处处解析？

解 22by axy x u ++=，2

2y dxy cx v ++=， ay x x u +=∂∂2，by ax y u 2+=∂∂，dy cx x v +=∂∂2，y dx y

v 2+=∂∂， 由 y v x u ∂∂=∂∂，x v y u ∂∂-=∂∂ 得 ⎩

⎨⎧--=++=+dy cx by ax y dx ay x 2222， 故当2=a ，1-=b ，1-=c ，2=d 时，函数在复平面内处处解析。

例3 已知函数x y x y x u 3),(22+-=，求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=解析。

解 由于),(),()(y x iv y x u z f +=解析，u 和v 满足柯西--黎曼方程。

x y x u 322+-=，由=+=∂∂32x x u y

v ∂∂，两边对y 积分得 )(32x y xy v ϕ++=，再由)(22/x y x

v y y u ϕ--=∂∂-=-=∂∂得c x =)(ϕ，其中

c 为常数。故c y xy v ++=32。

例4 已知函数2

2),(y x y y x v +=，求函数),(y x u ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=解析。 解 由于),(),()(y x iv y x u z f +=解析，u 和v 满足柯西--黎曼方程。

222)

(2y x xy x v +-=∂∂，2222

2)(y x y x y v +-=∂∂， 由x v y u ∂∂-=∂∂2

22)(2y x xy +=得 ⎰=+=dy y x xy y x u 222)(2),(⎰=++22222)

()(y x y x d x )(22x g y x x ++-， 再由y v x u ∂∂=∂∂得)()(/22222x g y x y x x u ++-=∂∂2222

2)

(y x y x +-=， 故0)(/=x g ，c x g =)(，=+=iv u z f )(+++-c y x x 22z c y

x y i 122-=+。 以上例题展示了柯西--黎曼方程的各种应用方法，类似例题很多，但通过对这些例题解的学习，有助于我们掌握柯西--黎曼方程的各种应用方法，把握其解题规律。