福师大《初等数论》网络作业

作业11、证明整数5001001个能被1001整除。

证明：利用公式：若n 是正奇数，则1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b ----+=+-+-+ ∴ 513175001001101(10)1=+=+个33163153(101)[(10)(10)101]=+-+-+∴ 31011001+=能够整除5001001个2、若n 是奇数，证明28|(1)n -。

证明：设21,n k k Z =+∈，则221(21)14(1)n k k k -=+-=+∵ k ，k ＋1中必有一个是偶数 ∴ 28|(1)n -3、设正整数n 的十进制表示为10kn a a a =，其中09,0,0i k a i k a ≤≤≤≤≠，且110()k k S n a a a a -=++++，证明9|n 的充分必要条件是9|()S n 。

证明：∵ 10101010k kk n a a a a a a ==⨯++⨯+，110()k k S n a a a a -=++++∴ 1()(101)(101)kk n S n a a -=⨯-++⨯-对所有的0i k ≤≤，有9|(101)i- ∴ 9|(())n S n -∴ 9|n 的充分必要条件是9|()S n4、设r 是正奇数，证明对任意的正整数n ，2n +不能整除(12)r rr n +++。

证明：当n ＝1时，结论显然成立。

下面设2n ≥，令12r rr S n =+++则22(2)[3(1)](2)r r rrr r S n n n =++++-+++利用公式：若n 是正奇数，则1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b ----+=+-+-+∴ 对2i n ≤≤，(2)|((2))r rn i n i +++- ∴ 22(2)S n q =++，q 是整数 ∵ 22n +> ∴ n ＋2不能整除2S ∴ n ＋2不能整除S5、设n 为正整数，证明(!1,(1)!1)1n n +++=。

证明：设(!1,(1)!1)d n n =+++则(!1)d n +，((1)!1)d n ++ ∴ (!1)(1)d n n ++∴[(!1)(1)((1)!1)]d n n n ++-++，即 |d n ∴ |!d n 又∵ |(!1)d n + ∴ |1d∴ d ＝1，即(!1,(1)!1)1n n +++=6、设a b c ，，为正整数，证明[,,](,,)a b c ab bc ca abc =。

证明：[,][,,][[],]([,],)a b ca b c a b c a b c ==,，另一方面([,],)([,],)(,,)(,(,))(,(,))(,)[,][,][,]abc ab a b abc ab a b c ab bc ca ab bc ca ab c a b ab a b a b a b ===== ∴ [,,](,,)a b c ab bc ca abc =7、设x ，y 都是实数，证明[2][2][][][]x y x x y y +≥+++。

证明：设[],01x x a a =+≤<，[],01y y b b =+≤<则[][][]2[]2[][]x x y y x y a b +++=+++[2][2]2[]2[][2][2]x y x y a b +=+++∵ 02a b ≤+<∴ []0a b +=或[]1a b +=如果[]0a b +=，则显然有[][2][2]a b a b +≤+ 如果[]1a b +=，则a ，b 中至少有一个不小于12，所以[2][2]1[]a b a b +≥=+ 因此，都有[][2][2]a b a b +≤+，从而[2][2][][][]x y x x y y +≥+++作业21、设正整数a 的十进制表示为1201(09,01,0)n n i n a a a a a i n a ---=≤≤≤≤-≠，即11101010n n a a a a --=⨯++⨯+，证明3|a 当且仅当103|n i i a -=∑证明：由01101,101,,101(mod 3),i i N ≡≡≡∈利用同余可加性和同余可乘性，得1110(mod 3)n n iiii i a a a --===⨯≡∑∑∴ 3|a 当且仅当13|n i i a -=∑2、求5221+被641除的余数。

解：依次计算同余式得，248163224,216,2256,2154,21(mod 641)≡≡≡≡≡-∴ 523221210(mod641)+=+≡，即52641|(21)+ ∴ 5221+被641除的余数为03、设n 是一个使3333123n ++++不能被5整除的自然数，试求2222123n ++++除以的5的余数。

解：设3333123A n =++++，2222123B n =++++对任意整数，有544333111(5)(5)0(mod 5)i i i t i t i i===+≡+≡≡∑∑∑544222111(5)(5)0(mod 5)i i i t i t i i===+≡+≡≡∑∑∑当1,2,3r =时，3311(5)(mod 5)rri i t i i ==+≡∑∑，但5不能整除31ri i=∑，∴ 当5(,0,1,2,3)n t r t N t r =+∈==时，A 不能被5整除。

对于t N ∈或0t =，通过计算得，当51n t =+时，1(mod5)B ≡当52n t =+时，0(mod5)B ≡ 当53n t =+时，4(mod5)B ≡∴ 当n 是一个使3333123A n =++++不能被5整除的自然数时，2222123B n =++++除以的5的余数为1或0或4。

4、求777n =的个位数字。

解：∵ 12473,71,71(mod10)≡-≡-≡∴ 如果77(mod 4)r ≡，则7777(mod10)r n =≡∵ 777(1)13(mod 4)≡-≡-≡∴ 773377(3)73(mod10)n =≡≡-≡-≡∴ 777n =的个位数字是35、 设a 是整数，n 是正整数，若2不能整除a ，则221(mod2)nn a +≡证明：对n 作数学归纳。

设21()a k k Z =+∈，当1n =时，有223(21)4(1)11(mod 2)a k k k =+=++≡，所以结论成立. 假设n k =时，成立221(mod2)nn a+≡下面要证明1n k =+时，也成立221(mod2)nn a +≡ 由于22221(mod2)12()kkk k a a q q Z ++≡⇒=+∈∴ 122233(12)121(mod2)k k k k a q Q ++++=+=+≡，其中Q 为某个整数∴ 由归纳法，对所有的正整数n ，成立221(mod2)nn a +≡6、设,m n 是任意二个正奇数，则当,a b 是任意二个连续奇数或连续偶数时，有()|()m n a b a b ++.特别地，若,a b 是二个连续的正奇数时，则()|()a b a b a b ++，且()|()b a a b a b ++证明：不妨设a ，b 是任意二个连续偶数，a b >则2,11,22a b a b a b b =+-=++=+，由于1111(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)]m n m n mnmniiiii i i i i i a b a b a a b b b a b ----====+=-++=-++-=++-∑∑∑∑且1,1m n --都是偶数 ∴11(1)m n iiii i a b --==+-∑∑是偶数设110(1)2,m n iiii i a b k k Z --==+-=∈∑∑，则(1)2()m n a b b k a b k +=+=+∴ ()|()m na b a b ++7、设()f x 是整系数多项式，且(1),(2),,()f f f m 都不能被m 整除，证明方程()0f x =没有整数解。

证明：对任意整数x ，(mod ),1x r m r m ≡≤≤利用同余可加性和同余可乘性得()()(mod ),1f x f r m r m ≡≤≤ ∵ (1),(2),,()f f f m 都不能被m 整除∴ ()0f x ≠，即()0f x =没有整数解。

作业31、求不定方程121172138x x +=的整数解。

解：211111(11738)62(94)2121x x x x =-+=-++- 令311(94)21x x Z =-∈，则133311(214)2(34)99x x x x =+=++令431(34)9x x Z =+∈，则341313x x =--从而34,x x 不可能同时为整数 ∴ 原不定方程没有整数解2、甲种书每本5元，乙种书每本3元，丙种书1元三本，现用100元买这三种书共100本，问甲、乙、丙三种书各买多少本？解：设甲、乙、丙三种书分别买,,x y z 本，依题意得方程组1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，消去z 得，74100x y += 显然0,25x y ==是方程74100x y +=的特解因此方程74100x y +=的所有整数解是4(0,1,2,)257x tt y t =⎧=±±⎨=-⎩令0,0x y ≥≥，所以03t ≤≤，即t 可以取整数值12340,1,2,3t t t t ==== 相应地求得(,,)x y z 的值分别是(0,25,75),(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)3、求92451000x y z +-=的一切整数解。

解：因为gcd(9,24)3,gcd(3,5)1=-=，而1|1000，所以原方程有整数解对不定方程9243x y t +=，即38x y t +=，把t 看做常数，得其通解为38,(0,1,2,)3x t uu y t u =-⎧=±±⎨=-+⎩对不定方程351000t z -=，解得通解为20005,(0,1,2,)10003t vv z v =+⎧=±±⎨=+⎩在上述二个式子中消去t 得，原方程的全部整数解为6000158200053,(,0,1,2,)10003x v uy v u u v z v =+-⎧⎪=--+=±±⎨⎪=+⎩4、求不定方程237x y z ++=的所有正整数解。

解：依次解不定方程2,37x y t t z +=+=得2,(0,1,2,)x t v v y v =+⎧=±±⎨=-⎩和13,(0,1,2,)2t uu z u =+⎧=±±⎨=-⎩在上述二个式子中消去t 得，132,(,0,1,2,)2x u vy v u v z u =++⎧⎪=-=±±⎨⎪=-⎩令1,1,1x y z ≥≥≥，则320,1,10u v v u +≥-≥-≥ ∴ 322,1u v u ≥-≥≤ ∴21,13u u ≤≤= 同理，由320,1v v +≥-≥得，31,12v v -≤≤-=-， 把1,1u v ==-代入得，原不定方程的唯一的正整数解是2,1,1x y z ===5、求不定方程1231510661x x x ++=的所有整数解。