高考数学《说》系列一轮复习讲义 3.2导数的应用 北师大版
2021版高考数学北师大版攻略专题复习课件：专题三 导数及其应用(讲解部分)
例2 (1)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是
;
(2)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值是
.
解题导引
解析 (1)由题意,得f '(x)=2x.设直线与曲线相切于点(x0,y0),则所求切线的斜
率k=2x0,
由题意知2x0=
y0 x0
-0 1
=
y0 x0
数学 高考专题
3.2 导数的应用
考点清单
考点一 导数与函数的单调性
数学 高考专题
专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
考点清单
考点一 导数的概念与几何意义
考向基础
1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率
lim
Δx 0
=
Δy Δx
lim
Δx 0
f
(x0
Δx)-f Δx
(x0
)
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y'|xx0
,即f
Δy Δx
=
lim
Δx 0
f (x0
Δx)-f (x0 )
Δx
.
2.用导数运算法则求导数应注意的问题:
(1)求函数的导数时,先要把函数拆分为基本初等函数的和、差、积、商的
形式,再利用导数的运算法则求导数.
(2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,而且还要注意不
要混用公式,如(ax)'=axln a,a>0且a≠1,而不是(ax)'=xax-1,a>0且a≠1.还要特别
1-2ln 2
所以f '(x)= 2 ·2x·ln 2+2x,所以f '(2)= 2 ×22×ln 2+2×2= 4 .
高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件
x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一 利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次 函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
高考数学《说》系列一轮复习讲义 3.2导数的应用课件 北师大版
(2)最值概念的理解 ①如果函数 f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么 f(x)在闭区 间[a，b]上必有最大值和最小值，它的最大值(或最小值)是函数 f(x) 的极大值(或极小值)及 f(a)、f(b)中最大的(或最小的)． ②函数的最值是一个整体性的概念，是指函数在给定区间(或定 义域)内所有函数值中最大的值与最小的值． ③最值与极值的联系和区别：函数的最大值、最小值是比较整 个定义区间的函数值得出的；函数的极大值、极小值是比较极值点 附近的函数值得出的，是局部的概念，函数的极值可以有多个，但 最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得， 有极值未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值， 最值只要不在端点必定是极值．
⑤连续函数 f(x)在其定义域上的极值点，可能不止一个，也可 能没有极点．函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的 一个极小值也不一定比它的一个极大值小，如图所示．
⑥可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是极值点，因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件， 其充分条件是这点两侧的导数异号．
(5)利用导数求参数的取值范围 对于含有参数 a 的函数 y＝f(x，a)，若已知此函数的某一单调增 区间(或减区间)，则此函数的导数 y′≥0(或 y′≤0)在此区间上恒 成立，对此，常用分离系数求最值的方法来求参数的取值范围．
2．函数的极值 (1)对极值的概念的理解 ①函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义是指在点 x0 及其左右邻域都 有意义． ②极值点是函数 f(x)定义域中的点，因而端点绝不是函数的极 值点，因为函数在端点不可导． ③极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言， 要注意极值必须在区间内的连续点取得． ④若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)上绝不是严格单 调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数与
(2)因 V(r)＝5π(300r－4r3)(0<r<5 3)， 故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 故 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 所以当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大.
考点突破
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
考点突破
当 x>0 时，令 h(x)＝x3－3x2＋4， 则 g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)． h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调 递增， 所以 g(x)>h(x)≥h(2)＝0. 所以 g(x)＝0 在(0，＋∞)没有实根． 综上，g(x)＝0 在 R 有唯一实根， 即曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只有一个交点．
大．
考点突破
• 规律方法 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： • ①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其
定义域； • ②求函数的导数f′(x)，解方ห้องสมุดไป่ตู้f′(x)＝0； • ③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用课件 理 北师大版
考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】 设函数 f(x)＝aln x＋xx－ ＋11，其中 a 为常数.
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－ ＋11，x∈(0，＋∞).
此时 f′(x)＝（x＋21）2.可得 f′(1)＝12，又 f(1)＝0，所以曲线 y＝ f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.
A.(－∞，－2]
B.(－∞，－1]
C.[2，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析 依题意得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，
即 k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，
∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1，故选 D. 答案 D
4.函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝23.
2.(2016·咸阳调研)如图是f(x)的导函数f′(x)的图像， 则f(x)的极小值3
D.4
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数
符号为左负右正. 答案 A
3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，
＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
则 x1＝－（a＋1）a ＋
2a＋1，x2＝－（a＋1）a －
2a＋1 .
由 x1＝a＋1－－a2a＋1＝
a2＋2a＋1－ －a
2a＋1＞0，
所以 x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减. 综上可得： 当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算课件
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
导函数 f′(x)＝____0____ f′(x)＝__n_x_n_－_1__ f′(x)＝___co_s_x___ f′(x)＝__－__si_n_x__
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0)
f′(x)＝___a_x _ln_a__
关键能力·题型剖析
题型一导数的运算
例1 (1)(多选)[2024·河南南阳模拟]下列求导数的运算正确的是( )
A．(x3－1x)′＝3x2＋x12
B．(ln 2)′＝12
C．(xex)′＝(x＋1)ex
D．(sin
3x)′＝cos
x 3
答案： AC
(2)[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x) 的导函数，则f(2)＝( )
【常用结论】 1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切时只有一个公共点． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数．
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第一节 导数的概念、运算及几何意义 课件(33张)
Δ→0
,那么 f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)为 y=f(x)的导函数,
也简称为导数,有时也将导数记作 y'.
微点拨 关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
点P处的切线”,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”,
点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=xα(α∈R,且 α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
2024
第四章
第一节 导数的概念、运算及几何意义
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,
体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
课标
解读
2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
C.-3
D.-5
(3)已知函数 f(x)=f'(0)e2x-e-x,则 f(0)=
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第三节 利用导数研究函数的极值、最值 课件(35张)
微点拨 函数最值与极值的区别
(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一
个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;
(2)极值只能在函有最值的不一定有极值.
常用结论
1.有极值的函数一定不是单调函数.
且f(x)的极大值为4,则b=(
A.-1
B.2
C.-3
)
D.4
(2)(2022·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极
值,则实数a的取值范围为(
A.(0,e)
C.
1
0,
2
B.
1
0,
e
D.
1
0,
3
)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-axbx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有
极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考 对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
取得极值的条件
极值
极值点
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在
任何不为x0的一点处的函数值都
小于点x0处的函数值
高考北师大版数学总复习课件：3.2导数的应用
2．(文)函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则 a，b应满足( ) B．a>0且b∈R D．a<0且b∈R
A．a<0且b＝0 C．a<0且b≠0
[答案] B
[解析] f′(x)＝2ax，当x<0时，由f′(x)＝2ax<0，得 a>0，∴a>0，b∈R.
(理)函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( 1 A ． a＝ 3 C ． a＝ 2 B．a＝1 D ． a≤ 0
(理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数 的图像，其中一定不正确 的序号是( ．．．．． )
A．①② C．①③
B．③④ D．①④
[答案] B
[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0， 而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同 理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， ∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点 处可导． ∴x＝±1使方程f′(x)＝0， 即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系得 2b －3a＝0 c ＝－1 3a ① ②
x e ＋ a＝ 0 x y′＝e ＋a，由条件知， x>0
有解，
∴a＝－ex<－1.
4．(2011· 青岛二模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的 最大值、最小值分别是( A．5；－15 C．－4；－15 ) B．5；－4 D．5；－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12，令y′＝0⇒x＝－1(舍去)或x ＝2. x＝0时y＝5，x＝2时y＝－15，x＝3时y＝－4. ∴ymax＝5，ymin＝－15.故选A.
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定 定义域；
• (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝ 0得出定义域内的实根，确定极值点；
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小，获得所求的最大(小)值；
【变式训练】 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝
1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10 10
，
若x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
• 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(三) 在导数应用中如何构造函数
()
g(x)= ;
e
(4)对于f(x)满足x2f'(x)>1,构造函数F(x)=f(x)+
1
.
对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成
立,则(
)
A.f(1)<ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
f(x)=x-2ex 上和直线 g(x)=2-x 平行的切线方程,由 f'(x)=1-2ex=-1,得 x=0,所以
切点坐标为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2 的最小值为
|0-2-2|
1+1
2
=8.
规律方法 解题中若遇到比较大小及有关不等式、方程及最值之类的问题,
设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最
3
1
2
,即
x=
,y=
时,等号成立,因为不等式
+
≥m
对任意的正实数
4
2
x,y 恒成立,所以
8
m≤ ,所以实数
3
m
8
的最大值为 .
3
b
,e e 这三个数先取自然对数再除以
a
(2)对 a ,b
ln
=
ln ln e e
,
1
e
= =
=
ln
=
ln ln
,
=
高考数学一轮复习第3章导数及其应用第13节导数的概念与运算课件文
2021/12/13
第二十四页，共四十二页。
命题角度 3 导数与函数图象
(2018 许昌模拟)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且 其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．y＝2x
D．y＝x
【答案】D
2021/12/13
第三十五页，共四十二页。
【解析】∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 故选 D.
2.(2018 江西南昌六校联考)若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，则 a＋b 的值等于________．
【答案】－3
2021/12/13
第三十页，共四十二页。
【解析】∵直线 2x－7y＋3＝0 的斜率 k＝27， ∴切线的斜率为－72， ∵曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，
【答案】0
2021/12/13
第三十二页，共四十二页。
【解析】由题意可知，直线 y＝kx＋2 与曲线 y＝f(x)的切点为(3,1)， 则可得1f＝3＝3k＋1，2
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题教师用书
第5课时 利用导数研究函数的零点问题考点1 讨论函数的零点个数——综合性(2021·海口模拟)已知函数f(x)＝．(1)判断f(x)的单调性，并比较2 0202 021与2 0212 020的大小；(2)若函数g(x)＝(x－2)2＋x(2f(x)－1)，其中≤a≤，判断g(x)的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln 2≈0.693．解：(1)函数f(x)＝，定义域是(0，＋∞)，故f′(x)＝．令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则f(2 020)＞f(2 021)，即＞，故2 021ln 2 020＞2 020ln 2 021，故ln 2 0202 021＞ln 2 0212 020，故2 0202 021＞2 0212 020．(2)因为g(x)＝(x2－4x＋4)＋2ln x－x，所以g′(x)＝ax＋－2a－1＝．令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝，①当a＝时，则g′(x)＝≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(2)＝2ln 2－2＜0，g(6)＝2ln 6－2＞0，故g(2)g(6)＜0，故存在x0∈(2,6)，使得g(x0)＝0，故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点；②当<a<时，则＜2，则g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故g(x)在(0，＋∞)上有极小值g(2)，g(2)＝2ln 2－2<0，有极大值g＝2a－－2ln a－2，且g(2)＝2ln 2－2＜0，g(6)＝8a＋2ln 6－6＞2ln 6－2＞0，故g(2)g(6)＜0，故存在x1∈(2,6)，使得g(x1)＝0，故g(x)在(2，＋∞)上只有1个零点，另一方面令h(a)＝g＝2a－－2ln a－2，h′(a)＝2＋－＝2>0，所以h(a)在上单调递增，所以h(a)<h＝e－－2－2ln <0，则g＜0，故g(x)在上没有零点．综上：当≤a≤时，g(x)只有1个零点．已知函数f(x)＝x－(e为自然常数)．(1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设a∈R，讨论函数g(x)＝x－ln x－f(x)的零点个数．解：(1)f(x)＝x－，则f′(x)＝．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．记φ(x)＝e x＋ax－a，则φ(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，φ′(x)＝e x＋a．当a≥－1时，φ′(x)＝e x＋a＞1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)＞φ(0)＝1－a≥0，所以－1≤a≤1；当a＜－1时，令φ′(x)＝e x＋a＝0，解得x＝ln(－a)．当0＜x＜ln(－a)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0，ln(－a))上单调递减；当x＞ln(－a)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(ln(－a))＝－2a＋a ln(－a)≥0，解得－e2≤a＜－1．综上可得，实数a的取值范围是[－e2,1]．(2)g(x)＝x－ln x－f(x)＝－ln x(x＞0)，令g(x)＝0，得a＝(x＞0)．令h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(0,1]时，ln x≤0，x－1≤0，所以h′(x)≥0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，又h(x)＝∈R，a∈R，所以y＝a与h(x)＝的图象只有一个交点，所以a∈R，g(x)只有唯一一个零点．考点2 由函数的零点个数求参数的范围——综合性(2022·湖南模拟)已知函数f(x)＝x3＋3a(x＋1)(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数g(x)＝f(x)－x ln x－3a在上有两个不同的零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2＋3a．①当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；②当a＜0时，令f′(x)＞0，解得x<－或x>，令f′(x)＜0，解得－<x<，所以f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a＜0时，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．(2)g(x)＝x3＋3ax－x ln x，依题意，x3＋3ax－x ln x＝0在上有两个不同的解，即3a＝ln x－x2在上有两个不同的解．设h(x)＝ln x－x2，x∈，则h′(x)＝－2x＝．当x∈时，h′(x)≥0，h(x)单调递增；当x∈时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h＝－ln 2－，且h＝－ln 2－，h(2)＝ln 2－4，h>h(2)，所以－ln 2－≤3a<－ln 2－，所以－ln 2－≤a<－ln 2－，即实数a的取值范围为．已知函数f(x)＝x2＋ax＋1－，a∈R．(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求a的取值范围；(2)设函数g(x)＝f(x)－x－a－1，若g(x)在(1，＋∞)上无零点，求整数a的最小值．解：(1)由题知f′(x)＝2x＋a＋≤0在(0,1)上恒成立，即a≤－2x恒成立．令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－2＝－2>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以a≤h(x)min＝h(0)＝1．故a的取值范围是(－∞，1]．(2)由已知x>1，假设g(x)＝0⇔－a＝x＋，记φ(x)＝x＋，则φ′(x)＝1＋．令φ′(x)＞0，解得x>1＋，所以φ(x)在(1,1＋)上单调递减，在(1＋，＋∞)上单调递增，φ(1＋)＝1＋＋＝1＋＝1＋∈(2,3)，由题知－a＝φ(x)在(1，＋∞)内无解，故－a<φ(1＋)<3，所以a>－φ(1＋)，所以整数a的最小值为－2．考点3 函数极值点的偏移问题——综合性(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2<＋<e．(1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：因为b ln a－a ln b＝a－b，故b(ln a＋1)＝a(ln b＋1)，即＝，故f ＝f ．设＝x1，＝x2，由(1)可知不妨设0<x1<1，x2>1．因为x∈(0,1)时，f(x)＝x(1－ln x)>0，x∈(e，＋∞)时，f(x)＝x(1－ln x)<0，故1<x2<e．先证：x1＋x2>2，若x2≥2，x1＋x2>2必成立．若x2<2,要证x1＋x2>2，即证x1>2－x2，而0<2－x2<1，故即证f(x1)>f(2－x2)，即证f(x2)>f(2－x2)，其中1<x2<2．设g(x)＝f(x)－f(2－x)，1<x<2，则g′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－ln x－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]．因为1<x<2，故0<x(2－x)<1，故－ln x(2－x)>0，所以g′(x)>0，故g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，故f(x)>f(2－x)，即f(x2)>f(2－x2)成立，所以x1＋x2>2成立，综上，x1＋x2>2成立．设x2＝tx1，则t>1，结合＝，＝x1，＝x2，可得x1(1－ln x1)＝x2(1－ln x2)，即1－ln x1＝t(1－ln t－ln x1)，故ln x1＝，要证x1＋x2<e，即证(t＋1)x1<e，即证ln (t＋1)＋ln x1<1，即证ln (t＋1)＋<1，即证(t－1)ln (t＋1)－t ln t<0．令S(t)＝(t－1)ln (t＋1)－t ln t，t>1，则S′(t)＝ln (t＋1)＋－1－ln t＝ln －．先证明一个不等式：ln(x＋1)≤x．设u(x)＝ln(x＋1)－x，则u′(x)＝－1＝，当－1<x<0时，u′(x)>0；当x>0时，u′(x)<0，故u(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，故u(x)ma x＝u(0)＝0，故ln(x＋1)≤x成立．由上述不等式可得当t>1时，ln ≤<，故S′(t)<0恒成立，故S(t)在(1，＋∞)上为减函数，故S(t)<S(1)＝0，故(t－1)ln (t＋1)－t ln t<0成立，即x1＋x2<e成立．综上所述，2<＋<e．对称化构造是解决极值点偏移问题的方法，该方法可分为以下三步：已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点x1，x2(x1<x2)．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1·x2>e2．(1)解：f′(x)＝－a＝(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，不符合题意．②若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝．当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0．由题意知f(x)有两个零点的必要条件为f(x)＝ln x－ax的极大值f＝ln －1>0，解得0<a<．显然e∈，f(e)＝1－a e<0，∈，f＝2ln－．设t＝>e，g(t)＝2ln t－t，g′(t)＝－1<0，所以g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)<g(e)＝2－e<0，即f <0．所以实数a的取值范围为．(2)证明：因为f(1)＝－a<0，所以1<x1<<x2．构造函数H(x)＝f－f＝ln －ln －2ax,0<x<．H′(x)＝＋－2a＝>0，所以H(x)在上单调递增，故H(x)>H(0)＝0，即f >f．由1<x1<<x2，知－x1>，故f(x2)＝f(x1)＝f <f＝f．因为f(x)在上单调递减，所以x2>－x1，即x1＋x2>．故ln (x1x2)＝ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)>2，即x1·x2>e2．拓展考点 隐零点求解问题已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0．(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2．(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝ax－a－ln x，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0．因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1＝0，得a＝1．若a＝1，则g′(x)＝1－．当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0．综上，a＝1．(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x，f′(x)＝2x－2－ln x(x>0)．设h(x)＝2x－2－ln x，h′(x)＝2－．当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增．又h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零点x0，在上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0．因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈得f(x0)<．因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2，所以e－2<f(x0)<2－2．设函数f(x)＝e x－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解：(1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)(2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，即k<x＋(x>0)恒成立．令g(x)＝＋x(x>0)，得g′(x)＝＋1＝(x>0)．由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数．又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)，且eα＝α＋2．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝＋α．又eα＝α＋2且α∈(1,2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，所以k的最大值为2．1．按导函数零点能否精确求解可以把零点分为两类：1．已知函数f(x)＝e x－a－eln(e x＋a)，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：由函数f(x)＝e x－a－eln(e x＋a)，求得定义域为，对函数求导可得：f′(x)＝e x－，则存在一个x0，使得f′(x0)＝0，且－＜x＜x0时，f′(x)＜0，x＞x0时，f′(x)＞0，则f(x)≥f(x0)＝e x0－a－eln(e x0＋a)＝－a－e·ln e＝e x0＋－2e－a＝e x0＋a＋－2e－2a．因为e x0＋a＋≥2e，所以f(x0)≥2e－2e－2a＝－2a≥0，则a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．2．已知函数f(x)＝．(1)求函数f(x)的零点及单调区间；(2)求证：曲线y＝存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0<－1．(1)解：函数f(x)的零点为e．函数f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e)．(解答过程略)(2)证明：要证曲线y＝存在斜率为6的切线，即证y′＝＝6有解，等价于1－ln x－6x2＝0在x>0时有解．构造辅助函数g(x)＝1－ln x－6x2(x>0)，g′(x)＝－－12x<0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝－5<0，g＝1＋ln 2－>0，所以∃x0∈，使得g(x0)＝1－ln x0－6x＝0．即证明曲线y＝存在斜率为6的切线．设切点坐标为，则y＝＝＝－6x0，x0∈．令h(x)＝－6x，x∈，由h(x)在区间上单调递减，则h(x)<h＝－1，．所以y0<－1求证：x1x2>e2(e为自然对数的底数)．[四字程序]思路参考：转化为证明ln x1＋ln x2>2，根据x1，x2是方程f′(x)＝0的根建立等量关系．令t＝，将ln x1＋ln x2变形为关于t的函数，将ln x1＋ln x2>2转化为关于t的不等式进行证明．证明：欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2．若f(x)有两个极值点x1，x2，则函数f′(x)有两个零点．又f′(x)＝ln x－mx(x>0)，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根．于是，有解得m＝．另一方面，由得ln x2－ln x1＝m(x2－x1)，从而得＝，于是，ln x1＋ln x2＝＝．又0<x1<x2，设t＝，则t>1．因此，ln x1＋ln x2＝，t>1．要证ln x1＋ln x2>2，即证>2，t>1．即当t>1时，有ln t>．设函数h(t)＝ln t－，t＞1，则h′(t)＝－＝≥0，所以，h(t)为(1，＋∞)上的增函数．又h(1)＝0，因此，h(t)＞h(1)＝0．于是，当t>1时，有ln t>．所以ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2．思路参考：将证明x1x2>e2转化为证明x1>．依据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根，构造函数g(x)＝，结合函数g(x)的单调性，只需证明g(x2)＝g(x1)<g．证明：由x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根，且f′(x)＝ln x－mx(x>0)，所以mx1＝ln x1，mx2＝ln x2．令g(x)＝，g(x1)＝g(x2)，由于g′(x)＝，因此，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．又x1<x2，所以0<x1<e<x2．令h(x)＝g(x)－g(x∈(0，e))，h′(x)＝>0，故h(x)在(0，e)上单调递增，故h(x)<h(e)＝0，即g(x)<g．令x＝x1，则g(x2)＝g(x1)<g．因为x2，∈(e，＋∞)，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以x2>，即x1x2>e2．思路参考：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)，推出＝e t1－t2．将证明x1x2>e2转化为证明t1＋t2>2，引入变量k＝t1－t2<0构建函数进行证明．证明：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)．由得⇒＝e t1－t2．设k＝t1－t2<0，则t1＝，t2＝．欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2．即只需证明t1＋t2＞2，即>2⇔k(1＋e k)<2(e k－1)⇔k(1＋e k)－2(e k－1)<0．设g(k)＝k(1＋e k)－2(e k－1)(k<0)，则g′(k)＝k e k－e k＋1．令m(k)＝k e k－e k＋1，则m′(k)＝k e k<0，故g′(k)在(－∞，0)上单调递减，故g′(k)>g′(0)＝0，故g(k)在(－∞，0)上单调递增，因此g(k)<g(0)＝0，命题得证．思路参考：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)，推出＝e t1－t2．将证明x1x2>e2转化为证明t1＋t2>2，引入变量＝k∈(0,1)构建函数进行证明．证明：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)．由得⇒＝e t1－t2．设＝k∈(0,1)，则t1＝，t2＝．欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2，即只需证明t1＋t2>2，即>2⇔ln k<⇔ln k－<0．设g(k)＝ln k－(k∈(0,1))，g′(k)＝>0，故g(k)在(0,1)上单调递增，因此g(k)<g(1)＝0，命题得证．1．本题考查应用导数研究极值点偏移问题，基本解题方法是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．2．基于课程标准，解答本题一般需要具有良好的转化与化归能力、运算求解能力、逻辑思维能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题涉及函数与方程、不等式、导数的计算与应用等知识，渗透着函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养中起到了积极的作用．已知函数f(x)＝x ln x－2ax2＋x，a∈R．(1)若f(x)在(0，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1＋x2>．(1)解：f′(x)＝ln x＋2－4ax．因为f(x)在(0，＋∞)内单调递减，所以f′(x)＝ln x＋2－4ax≤0在(0，＋∞)内恒成立，即4a≥＋在(0，＋∞)内恒成立．令g(x)＝＋，则g′(x)＝．所以，当0<x<时，g′(x)>0，即g(x)在内单调递增；当x>时，g′(x)<0，即g(x)在内单调递减．所以g(x)的最大值为g＝e，所以实数a的取值范围是．(2)证明：若函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，则f′(x)＝ln x＋2－4ax＝0在(0，＋∞)内有两个不等根x1，x2．由(1)，知0<a<．由两式相减，得ln x1－ln x2＝4a(x1－x2)．不妨设0<x1<x2，则<1，所以要证明x1＋x2>，只需证明<，即证明>ln x1－ln x2，亦即证明>ln．令函数h(x)＝－ln x,0<x<1，所以h′(x)＝<0，即函数h(x)在(0,1)内单调递减．所以当x∈(0,1)时，有h(x)>h(1)＝0，所以>ln x，即不等式>ln成立．综上，x1＋x2>，命题得证．。
北师大版高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
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(7)(logax)′＝□11 _x_l_n_a__；(8)(ln x)′＝□12 __x____．
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4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□13 ________f_′__(x_)_±__g_′__(_x_)____． (2)[f(x)·g(x)]′＝□14 ______f_′(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′(_x_)_________． 特别地：[C·f(x)]′＝□15 ______C_f_′(_x_)______(C 为常数)． (3)gfxx′＝□16 __f_′___x_g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)____．
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5．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定 为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定 只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
fx0＋ΔΔxx－fx0．
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，简称导数， fx＋Δx－fx
即 y′＝f′(x)＝□02 _Δl_ix_m→_0 ______Δ_x______．
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2．导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点□03 __P_(_x_0_，__f(_x_0_))____处
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(3)利用导数证明不等式 要证明不等式 g(x)＞φ(x)(或 g(x)≥φ(x))成立，可以构造函数 f(x) ＝g(x)－φ(x)，然后再利用导数研究函数 f(x)＝g(x)－φ(x)的单调性， 根据单调性获得 f(x)＞0(或 f(x)≥0)，从而证明不等式 g(x)＞φ(x)(或 g(x)≥φ(x))． (4)利用导数求函数的值域 利用导数划分函数的单调区间，然后在各个单调区间内求出函 数的取值范围，最后可获得函数在整个定义域内的值域． (5)利用导数求参数的取值范围 对于含有参数 a 的函数 y＝f(x，a)，若已知此函数的某一单调增 区间(或减区间)，则此函数的导数 y′≥0(或 y′≤0)在此区间上恒 成立，对此，常用分离系数求最值的方法来求参数的取值范围．
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⑦函数 f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规律 的．如图所示，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相 邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f(x)在[a， b]上连续且有有限个极值点时，函数 f(x)在[a，b]内的极大值点和极 小值点是交替出现的．
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2．函数的极值 (1)对极值的概念的理解 ①函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义是指在点 x0 及其左右邻域都 有意义． ②极值点是函数 f(x)定义域中的点，因而端点绝不是函数的极 值点，因为函数在端点不可导． ③极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言， 要注意极值必须在区间内的连续点取得． ④若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)上绝不是严格单 调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
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(2)最值概念的理解 ①如果函数 f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么 f(x)在闭区 间[a，b]上必有最大值和最小值，它的最大值(或最小值)是函数 f(x) 的极大值(或极小值)及 f(a)、f(b)中最大的(或最小的)． ②函数的最值是一个整体性的概念，是指函数在给定区间(或定 义域)内所有函数值中最大的值与最小的值． ③最值与极值的联系和区别：函数的最大值、最小值是比较整 个定义区间的函数值得出的；函数的极大值、极小值是比较极值点 附近的函数值得出的，是局部的概念，函数的极值可以有多个，但 最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得， 有极值未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值， 最值只要不在端点必定是极值．
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考点串串讲 1．函数的单调性 (1)利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， ①如果恒有 f ′(x)＞0，则函数 f(x)在区间(a，b)内为增函数． ②如果恒有 f ′(x)＜0，则函数 f(x)在区间(a，b)内为减函数． ③如果恒有 f ′(0)＝0，则函数 f(x)在区间(a，b)内为常数函数． 注意 若函数 f(x)在(a，b)内，f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)(其中有 限个点 f ′(x)＝0)，则函数 f(x)在(a，b)内仍是增函数(或减函数)．例 如：f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)内为增函数，但 f ′(0)＝0，故在区间内 f ′(x)＞0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
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(3)求可导函数极值的基本步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数 f ′(x)． ③求方程 f ′(x)＝0 的全部实根． ④检查 f ′(x)在方程 f ′(x)＝0 的根左、右两侧的符号，如果 左正右负(或左负右正)，那么 f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)． 总之，求可导函数的极值的核心是：解方程 f ′(x)＝0，列表； 模拟图像；确定极大值或极小值．
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(2)函数极值的判定 一般地，设函数 y＝f(x)在点 x0 及其附近可导且 f ′(x0)＝0， ①如果 f ′(x)的符号在点 x0 的左右由正变负，则 f(x0)为函数 f(x) 的极大值． ②如果 f ′(x)的符号在点 x0 的左右由负变正，则 f(x0)为函数 f(x) 的极小值． ③如果 f ′(x)的符号在点 x0 的左右不变号，则 f(x0)不为函数 f(x) 的极值点．
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(2)求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数 f(x)的定义区间． ②求 f ′(x)，令 f ′(x)＝0，解此方程，求出它在定义区间内的 一切实根． ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义 区间分成若干个小区间． ④确定 f ′(x)的各小开区间内的符号，根据 f ′(x)的符号判定 f(x)在每个相应小开区间内的增减性．
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3．函数的最值 (1)函数的最大值与最小值的概念 函数 f(x)在闭区间[a，b]上所有点(包括端点 a，b)处的函数值中 的最大(或最小)值，叫作函数 f(x)的最大值(或最小值)． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大 值与最小值，在开区间(a，b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最 小值，最大值与最小值统称性及单调区间应注意的问题 ①在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判 断函数的单调区间． ②在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点 外，要注意在定义域内的不连续点和不可导点． ③注意在某一区间内 f ′(x)＞0 或 f ′(x)＜0 是函数 f(x)在该区 间上为增(或减)函数的充分条件，如 f(x)＝x3 是 R 上的增函数，但当 x＝0 时，f ′(0)＝0，因此在求可导函数 y＝f(x)的单调增区间时只需 解不等式 f ′(x)＞0，而已知可导函数 y＝f(x)在区间 P 上单调递增， 则必须 f ′(x)≥0 在 D 上恒成立(其中 f ′(x)＝0 的点 x 有限)． ④如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单 调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
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⑤连续函数 f(x)在其定义域上的极值点，可能不止一个，也可 能没有极点．函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的 一个极小值也不一定比它的一个极大值小，如图所示．
⑥可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是极值点，因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件， 其充分条件是这点两侧的导数异号．